平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计(1)

1、平面向量的正交分解及坐标表示教学设计武山一中【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示” ，向量基本定理实际上是 建立向量坐标的一个逻辑基础， 因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基 底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据 , 同时，只有正确地构建向量的坐 标才能有向量的坐标运算。节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1. 平面向量的基本定 理，2. 平面向量的正交分解及坐标表示， 3. 平行向量的坐标运算， 4. 平面向量共 线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第 2 节。【目标与目标解析】知识与技能：1. 掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求

2、： （ 1）能写出 给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2. 掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求： （1） 知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标； （2）i （1,0） ，j （0,1） ， 0 （0,0）3. 理解向量与坐标之间是一一对应关系。过程与方法：学生经历向量的几何表示线性表示坐标表示的实现过程， 从中体会 由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点 与坐标关系的类比思想。情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中， 学生独立探索、 参与讨论交流， 从中加 深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。重点

3、：平面向量坐标表示的定义突破办法： 渗透从特殊到一般的归纳， 由“形”到“数”的数形结合的思想 .难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】一、知识再现、学习准备平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向a1、 2a一. 一.量 ，有且只有一对实数，使入y +入2e2。e、e?(1) 我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不唯一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式唯一.入1,入2是由a,、？唯一确定的数

4、量。二、教学过程设计.(一) 问题情境1:倾斜角为30度的斜面上，质量为100kg的物体匀速下滑， 欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解设计说明：引出课题。回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问 题做铺垫。(二) 向量坐标表示的定义探究提出问题1. 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标) 表示.对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢2. 在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的3. 平面向量的正交分解及坐标表示(讲授新课)师：如图，在光滑斜面上的一个木块受到了那些力的作用这些力之间有什么关系生：该木块受到重力G的作用，产

5、生两个效果，一是木块受平行于斜面的力 F1的作用沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2也就是说，重力G的的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2. 师：物理学中，G=F1+F2叫做把重力G分解.由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a均可以分解为不共线的两个向 量 1 ei2 e2，使 a= 1 ei+ 2e2.在不共线的两个向量中，垂直是一种重要情形.把一个向量分解为两个垂直 的向量，叫做把向量 正交分解.如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 正交分解是向量分 解中常见的一种情形.4平面向量的坐标表示师：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序

6、实数（即 点的坐标）表示.那么，直角坐标平面内的向量如何表示呢如图，在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴 方向相同的两个单位向量i、作为基底.对于平面内的 一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对 实数x、y，使得a= xi + yj .这样，平面内的任一向量a都可以x、y唯一确定, 我们把有序数对（x,y）叫作向量a的坐标，记作a= （x,y），其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，式子a= （x, y）叫作向量的坐标表示. 根据向量坐标表示的意义，两个单位向量i、j以及零向量的坐标表示是怎样的生：i （1,0），j （0,1），0 （0,0）.（三）向量与坐标的对

7、应关系师：如图，在直角坐标平面中，以原点0为起点作LULVOA a，则点A的位置由向量a唯一确定.uuivuuv设OA xi + yj，则向量0A的坐标（x,y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x,y）就是向量0A的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对表示.有人说：直角坐标平面内向量 a的坐标就是它的终点坐标.这句话正确吗生：这种说法不正确.只有当向量a的始点是坐标原点时，向量的坐标才是 它的终点坐标.师：这就是说，直角坐标平面内点的集合只是与这平面内从原点出发的向量 的集合之间有一一对应关系.（四）例题讲解 例1如图6,分别用基底1、j表示向量a、b、c

8、、d,并求出它们的坐标活动：本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向 量的大小.把向量a用i、表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向 量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标.另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系 ：a 与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等.由一个 向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a= AA + AA2 =xi +yj ,-a=(2,3).同理,b=-2 i

9、+3j =(-2,3);c=-2i -3j =(-2,-3);d=2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标.拓展训练:【解】设0A = a, Ob = b, OC例2.在直角坐标系 xOy中，向量a, b, c的方向如图所示, 且|a|= 2, |b|= 3, |c|= 4，分别计算出它们的坐标.又 J |OA|= |a|= 2, |OB |= |b|= 3, A( .2,；2) , B 3, 3二3 , C(2 ,3, - 2),2 2 a= ( .2 ,，b= 3 , 3卫3 , c= (2 ,.3 , 2)2 2（五）本节课时小结

10、同一平面内任意向量都可以表示成为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的起点放在一起， 那么，平面内的任意一个点都可以通过两个 不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线 的向量表示.通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对表示；反过来任一有序实数对就表示一个向量. 这就是说，一个平面向量就是一个有序实 数对，从而给出了向量的另一种表示形式一一坐标表示式.向量的线性运算都可以用坐标来进行，使得向量完全代数化，将数与形紧密地结合起来.（六）课后作业：1课本102页习题 B组 3.2预习课本Ro6Pio8，思考下列问题：已知向量的坐标怎样进行向量的加法、减法与数乘运算怎样求一个用有向