毕业论文-特殊类型定积分的计算方法与技巧

1、 特殊类型定积分的计算方法与技巧 xx学院xx专业 xx届 xx摘 要: 定积分的计算是微积分的一个重要组成部分,在定积分的计算中，一些容易求得原函数的常用牛顿莱布尼兹公式计算，而一些不易求原函数的特殊类型的定积分的计算是却是难点，本文通过举例分析了几种特殊类型的定积分的计算方法与技巧,开拓解题思路,提高计算定积分的能力.关键词: 定积分; 特殊类型；计算方法中图分类号: o172.2 methods for computation of special type of definite integral abstract：the calculation of definite integra

2、l is a main part of calculus, and in the calculation of definite integral, it is easy for newtonleibniz to compute the original function. while the most difficult point is the uneasy computation of the original function in some special types of definite integrals calculation. in order to solve these

3、 types of problem, in this article, the author not only gave some examples but also analyzed the method in these special types of definite integral. meanwhile, this paper offers some methods and calculation to deal with some of these special types definite integral to exploit new tracks to solve pro

4、blems and improve ours capability.key words: the integral; special type; calculation method 目录1 引言12 对称性与奇偶性定积分的计算22.1 利用对称区间上奇、偶函数的定积分性质22.2 利用对称区间上非奇、非偶函数的定积分性质22.3 利用非对称区间可转化为对称区间定积分的性质33 周期函数在一些定积分中的计算43.1 以为周期的周期函数定积分43.2 以为周期的周期函数定积分44 利用特殊公式计算定积分54.1 利用递推公式计算定积分54.2 对称区间上公式的推广64.3 非对称区间上公式的推广

5、65 分段函数的定积分的计算76 含有绝对值符号的定积分的计算76.1 找“零点”分区间，将绝对值脱去86.2 利用被积函数的奇偶性在对称区间上的性质计算定积分96.3 利用分段函数进行积分96.4 利用适当的变量代换法求定积分的值107 含有变上限（变下限）的定积分的计算118 巧用二重积分求解定积分129 利用泰勒级数求定积分的值12结束语13参考文献13致谢14特殊类型定积分的计算方法与技巧1 引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其它学科的基础.常见的定积分的计算方法包括分项积分法、分段积分法、换元积分法、分部积分法.另外对于找不出原函数或者被积函数十分复

6、杂的定积分，往往是很难求出其原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些特殊类型定积分的计算方法，其中包括对称性与奇偶性的定积分的计算、周期函数的定积分的计算、用特殊公式计算定积分、分段函数的定积分的计算、含绝对值的定积分的计算，特别的，在含绝对值定积分的计算中，我们又详细的分为了四种方法，包括找“零点”法，将绝对值脱去法，用被积函数的奇偶性在对称区间上的性质计算定积分、利用分段函数进行积分、以及利用适当的变量代换求定积分的.另外还有一些特殊类型定积分的计算技巧，例如巧用二重积分求解定积分和泰勒级数公式求解定积分，并列举

7、相应的例子进行了说明.然而，这些方法的应用都是不同的，如对称性与奇偶性的定积分的计算方法主要是利用被积函数的对称性和奇偶性的特点来简化计算，周期函数的定积分的计算方法主要是在被积函数具有周期性这一特点时来应用的，用递推公式计算定积分的方法主要是应用在求三角函数定积分以及正余弦函数定积分互换中，利用分段函数进行积分的方法主要是当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式来加以应用的，含绝对值的定积分的计算方法主要是应用在被积函数中含绝对值符号不易计算时来应用的，每一种方法都有其各自的特点，当然，这些方法有时也是相通的，本文将视具体情况具体讨论. 2 对称性与

8、奇偶性定积分的计算 2.1 利用对称区间上奇、偶函数的定积分性质 设为奇函数，则.设为偶函数，则.例2-11 计算定积分分析：注意到是区间上的偶函数，是区间上的奇函数，利用函数的奇偶性不难求得所给定积分的值.解 因为是区间上的偶函数，故 因为是区间上的奇函数，故 于是 = = 2.2 利用对称区间上非奇、非偶函数的定积分性质对任何函数,有（1） （2）例2-22 求定积分 解 令 则 利用公式（1） 原积分例2-32 求定积分解 令 利用 所以有利用公式（2）则原积分 2.3 利用非对称区间可转化为对称区间定积分的性质对任何区间,有（1）例2-42 求定积分 解 令 那么 ,利用公式（1）有

9、3 周期函数在一些定积分中的计算 3.1 以为周期的周期函数定积分设函数是定义在上的可积的周期函数，是它的一个周期，对，有，即周期函数在一个周期上的定积分等于常数.例3-13 计算.解 =. 3.2 以为周期的周期函数定积分设是以为周期的连续函数，则对，有.例3-23 计算解 是以为周期的函数.于是 = = =4 利用特殊公式计算定积分 4.1 利用递推公式计算定积分三角函数递推公式：例4-14 计算解 = = 4.2 对称区间上公式的推广设在上连续，则例4-24 求定积分 的值.解 原式 4.3 非对称区间上公式的推广设在上连续，则例4-34 求定积分 的值.解 原式 5 分段函数的定积分的

10、计算对于此类题要认清楚积分上下限是被积函数定义域的哪个区间段的端点，然后按段积分求和；当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式，与此同时积分限也要相应改变.例5-15 设 求 分析：先把被积函数化为,积分上下限要相应改变解 令 = =6 含有绝对值符号的定积分的计算当被积函数中含有绝对值符号时，首先要根据积分变量在积分区间的范围设法去掉绝对值符号，再进行计算.有些积分要根据被积函数和积分区间的不同情况，采用不同方法进行计算.以下将介绍几种特殊的方法来简化运算. 6.1 找“零点”分区间，将绝对值脱去先令绝对值内式子等于零，求出被积函数在积分区间上

11、的根，将积分区间分为若干子区间，在每一段上去掉绝对值符号，再分段积分.例6-15 计算.解 例6-26 求 的值.解 6.2 利用被积函数的奇偶性在对称区间上的性质计算定积分例6-37 求 的值.解 因为是偶函数在对称区间上的积分由偶函数在对称区间上积分的性质得 又是奇函数在对称区间上的积分由奇函数在对称区间上积分的性质知 故 6.3 利用分段函数进行积分例6-48 求 其中e为闭区间中使被积函数有意义的一切值所组成的集合解 因为在所给的中的区间中有意义，而在区间中化成分段函数即可去掉绝对值，亦即可求积分值了故 例6-59 计算 解法1 化成分段函数后积分, 解法2 注意到是奇函数在对称区间上

12、的积分，由奇函数在对称区间的性质知 而 故 6.4 利用适当的变量代换法求定积分的值例6-610 计算 解 利用变量代换, 令 则 7 含有变上限（变下限）的定积分的计算对于此类题可用分部积分法做，将变上限（变下限）积分取作，其余的部分取作;也可将原积分化为二重积分,再更换累次积分次序. 例7-111 设计算分析：把取作取作解 =另解 =8 巧用二重积分求解定积分例8-112 计算积分.解 因为，所以=.故.9 利用泰勒级数求定积分的值例9-112 求定积分.解 而幂级数 于是有结束语本文给出了几种特殊类型的定积分的计算方法，主要包括含绝对值的定积分的计算、对称性与奇偶性的定积分的计算、周期函

13、数的定积分的计算、分段函数的定积分的计算、巧用二重积分求解定积分以及巧用泰勒级数公式计算定积分，并列举相应的例子进行说明. 参考文献1 同济大学数学教研室.高等数学(上)m.北京:高等教育出版社，2001.2 刘书田、冯翠莲.微积分m.北京:高等教育出版社,2003.3 龚冬保.高等数学典型题m.西安:西安交通大学出版社,2000.4 数学分析:上册m.第三版.北京：高等教育出版社，2001.87.-5 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法m.北京：高等教育出版社，2001.128-167.6 缪彩花.浅谈定积分的计算技巧j.高校理科研究,2007.545-547.7 罗威.定积分计算中的若干技巧j.沈阳师范大学学报,2010,28（02）:165-1688 李大华等. 高等数学典型问题100类. 华中工学院出版社.9 张自兰等. 高等数学证题方法. 陕西科学技术出版社.10 费定晖,周学胜.数学分析习题集题解（三）m.济南：山东科学技术出版社，1999.11 林学文.被积函数含绝对值的定积分的计算j.二炮工程学报,1994(04).12 李若平.某些定积分的特别积分法j.工科数学,1991,01（07）:179-181致谢本文是在xxx老师的悉心指导和严格要求下完成的，从选题到定稿，无不凝聚着老师的