2020年高考各省市模拟试题分类汇编：立体几何(解析版)

1、2020年高考各省市模拟试题分类汇编：立体几何1（2020东北师大附中高三模拟（文）已知m，n是空间中两条不同的直线，a，b是两个不同的平面，则下列说法正确是（）a若m/a，aib=n，则m/nb若ma，m/b，则abc若nb，ab，则n/ad若ma，nb，aib=l，且ml，nl，则ab【答案】b【解析】对于一个任意长方体，a中，如图，取m=ab，a=面ccdd，11b=面bbcc，aib=cc=n，而abcc，即mn，故a错；b中，若m/b，则根据线面平1111行的性质，平面b内必存在直线l/m，而ma，则la，由面面垂直的判定定理可得ab，b对；c中，如图，取n=ab，a=面abba，b

2、=面bbcc，则nb，ab，而na，故c错；d1111中，取a=面ab1c1d，b=面bb1c1c，aib=b1c1=l，m=ab1a，n=bb1b则ml，nl，但a,b不垂直，故d错；故选b。（22020安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文）已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（）a16+12pb32+12pc24+12pd32+20p【答案】a【解析】由三视图知：该几何体是正四棱柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以几何体的表面积为：s=14p22+p22+2224=12p+16，故选a23（2020安徽省滁州市定

3、远育才学校高三模拟（文）已知三棱锥a-bcd的各棱长都相等，e为bc中点，则异面直线ab与de所成角的余弦值为()6ba5336c336d11med，因为三棱锥a-bcd的各棱长都相等，设为1，则me=1【答案】b【解析】取ac中点m，则因为e为bc中点，因此me平行ab，从而异面直线ab与de所成角等于3,dm=de=,2233=，即异面直线ab与de所成角的余弦值为，故选b。cosmed=(313)2+()2-()2222222631648b24c12d1（42020福建省漳州市高三测试（文）已知正四棱柱abcd-abcd的底面边长为1，高为2，m为bc111111的中点，过m作平面a，使

4、得平面a/平面a1bd，若平面a把abc-a1b1c1分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为（）a18【答案】b【解析】取c1d1的中点g，c1c中点n，mg中点q，里那个ac，bd交于o点，并且连接mg，mn，gn，nq，bd，111故mg/b1d1，又在正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，bd/b1d1mg/bd又mg平面a1bd,bd平面abdmg/平面abd，同理mn/平面abd11平面mqn/平面abo1平面mqn即为平面a，体积较小的几何体为三棱锥n-mqc1由题意：mc=gc=1112,nc=11111111=所以三棱锥n-mqc1的体积为：322224，故选b。（520

5、20河北省沧州市高三一模（文）四棱锥v-abcd的底面是正方形，且各条棱长均相等，点p是vc的中点，则异面直线ap与cd所成角的余弦值为（）a35c5b5510d3510【答案】d【解析】如下图所示，设四棱锥v-abcd的各条棱的棱长为4，连接ac、bd交于点o，则o为ac的中点，且vo平面abcd，连接op，取oc的中点e，连接pe，q四边形abcd为正方形，ab/cd，则ac=42，所以，异面直线ap与cd所成角为pab或其补角，qva=vc=4，va2+vc2=ac2，vavc，qo为ac的中点，qvo=1ac=22，21qe、p分别为oc、vc的中点，pe/vo且pe=vo=2，2qv

6、o平面abcd，pe平面abcd，qac平面abcd，peac，ae=34ac=32，由勾股定理得pa=pe2+ae2=25，qdvbc是边长为4的等边三角形，p为vc的中点，pb=4sinp3=23，qab=4，由余弦定理得cospab=故选d。pa2+ab2-pb2352paab10.（62020河北省沧州市高三一模（文）在四面体abcd中，ab=ac=bc=bd=cd=2，ad=则四面体abcd的外接球的表面积为（）6，a16p3b5pc20psd20p3【答案】d【解析】如下图所示：易得me=mf=1取bc的中点m，连接am、dm，设dabc和dbcd的外心分别为点f、e，分别过点f、

7、e作平面abc和平面bcd的垂线交于点o，则点o为外接球球心，由题意可知，dabc和dbcd都是边长为2的等边三角形，qm为bc的中点，ambc，且am=dm=3，qad=6，am2+dm2=ad2，amdm，qbcidm=m，am平面bcd，qam平面abc，平面abc平面bcd，3223am=，be=dm=，3333qam平面bcd，oe平面bcd，oe/am，同理可得of/dm，则四边形oemf为菱形，qamdm，菱形oemf为正方形，qoe平面bcd，be平面bcd，oebe，所以外接球的半径为ob=oe2+be2=153，因此，四面体abcd的外接球的表面积为4pob2=20p，故选

8、d。3（72020河南省安阳市高三一模（文）已知四棱锥e-abcd，底面abcd是边长为1的正方形，ed=1，平面ecd平面abcd，当点c到平面abe的距离最大时，该四棱锥的体积为（）6b3c2a213d1【答案】b【解析】过点e作ehcd，垂足为h，过h作hfab，垂足为f，连接ef.因为平面ecd平面abcd，所以eh平面abcd，2)，则eh=sinq，ef=1+sin2q.所以ehhf.因为底面abcd是边长为1的正方形，hf/ad，所以hf=ad=1.因为cd/平面abe，所以点c到平面abe的距离等于点h到平面abe的距离.易证平面efh平面abe，所以点h到平面abe的距离，即

9、为h到ef的距离h.不妨设cde=q(0qpvehf=因为s12efh=12ehfh，所以h1+sin2q=sinq，q=p所以h=sinq1+sin2q=11sin2q+122，当2时，等号成立.此时eh与ed重合，所以eh=1，v1121=1e-abcd33.故选b。（82020河南省鹤壁市高级中学高三二模（文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ap+412bp+13cp+1dp+14【答案】a【解析】由三视图还原原几何体如图，所以，该几何体的体积为v=11psh=12+11=，故选a。该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高

10、为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1p+433412（92020河南省开封市高三模拟（理）一个四面体的顶点在空间直角坐标系o-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可以为abcd【答案】a【解析】因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zox平面为投影面，则得到正视图为：故选a。10（2020黑龙江哈尔滨师大附中

11、高三模拟（文）已知a，b是两个不同的平面，直线ma，下列命题中正确的是()a若ab，则m/bc若m/b，则a/bb若ab，则mbd若mb，则ab【答案】d【解析】若ab且ma，则m与b相交、平行或mb，a、b错误；若m/b且ma，则a与b可能相交或平行，c错误；由面面垂直判定定理可知，d选项的已知条件符合定理，则ab，d正确。11（2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（文）如图,四边形abcd是边长为2的正方形，ed平面abcd，fc平面abcd，ed=2fc=2，则异面直线ae与bf所成角的余弦值为（）a15c10d23b53103【答案】c【解析】根据题意画出图形,取ed中点p,连接ap,

12、pfqpd/fc且pd=fc四边形pdfc是平行四边形pf/dc且pf=dc又q四边形abcd是的正方形可得ab/dc且ab=dc故ab/pf且ab=pf四边形abpf是的平行四边形bf/ap且bf=ap故eap为异面直线ae与bf所成角在rtvapd根据勾股定理可得:ap=在rtvead根据勾股定理可得:ae=ad2+dp2=22+12=5ad2+ed2=22+22=22在veap中根据余弦定理:ep2=ea2+ap2-2eaapcoseap可得：coseap=ea2+ap2-ep22eaap=8+5-13310=22252510，故选c。12（2020湖北省随州市高三调研（文）已知m，n是

13、空间内两条不同的直线，a，b是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（）a若mn，ma，则n/ac若aib=m，n/a，则m/nb若ab，aib=m，nm，则nad若ma，n/b，a/b，则mn【答案】d【解析】若mn，ma，则npa或na，故a错误；若ab，aib=m，nm，若nb，则na，故b错误；若aib=m，n/a，m与n的关系是异面或平行，故c错误；若ma，a/b，mb，又因为n/b，所以mn，故d正确，故选d。13（2020湖北省随州市高三调研（文）已知三棱锥s-abc的所有顶点在球o的球面上，sa平面abc，vabc是等腰直角三角形，sa=ab=ac=2，d是bc的中点，过点d作

14、球o的截面，则截面面积的最小值是()apb2pc3pd4p【答案】b【解析】点d是rtvabc的外心，过点d作do平面abc使do=o是外接球球心，半径设为r，则oa=os=r.在直角梯形sado中，sa=2，od=1，ad=2，得r=3，过点d作球o的截面，当od截面时，截面面积最小，此时截面圆的半径为r2-od2=2，截面面积的最小值是2p，故选b。12sa=1，14（2020湖北省武汉市高三质检（文）在正方形sg1g2g3中，e、f分别是g1g2及g2g3的中点，d是ef的中点，现在沿se、sf及ef把这个正方形折成一个四面体，使g1、g2、g3三点重合，重合后的点记为g，那么，在四面体

15、sefg中必有（）aefg所在平面csef所在平面befg所在平面dsef所在平面cd的中点，过点a、c、e、f的截面与平面bddb的交线为m，则异面直线m、cc所成角的正【答案】a【解析】在正方形sg1g2g3中，因为sg1g1e，所以在四面体中有sgeg.又因为sg3g3f，所以在四面体中有sgfg，且geigf=g，所以efg所在平面。故选a。（152020湖南省长郡中学高三测试（文）在棱长为1的正方体abcd-abcd中，e,f分别为ad，11111111111切值为()4ca2b3222d24【答案】d【解析】如图所示，记ef与bd交于点p，bd与ac交于点o，连结op，11op即为

16、过点a、c、e、f的截面与平面bddb的交线m，11在正方体abcd-a1b1c1d1中，则dd1/cc1，直线dd与m所成角与异面直线m、cc所成角相等，11记直线dd1与m所成角为a，由题可知dd1与m都在平面平面bdd1b1上，44易知dp=112bd=1112，do=db=，22由此可求得tana=do-d1p=24=2，故选d。22-dd141（162020吉林省实验中学高三第一次检测（文）在四棱锥p-abcd中，pb=pd=2，ab=ad=1，pc=3pa=3，bad=120，ac平分bad，则四棱锥p-abcd的体积为（）2b63d3a6c6【答案】a【解析】依题意可得,pa2+

17、ab2=pb2,则paab,同理可得paad,因为abad=a，所以pa平面abcd,则paac.(3)=因为pc=3pa=3,所以ac=32-26.所以四边形abcd的面积为163因为bad=120,且ac平分bad,32=22,从而四棱锥p-abcd的体积为13263=322，故选a。17（2020江西省名师联盟高三第二次大联考（文）如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥p-abcd中，e为侧棱pd的中点，则异面直线pb与ce所成角的余弦值是（）17ba3423417c51717d31717【答案】d【解析】如图，取pa的中点f，ab的中点g，bc的中点h，连接fg，fh，gh，ef，

18、则ef/ch，ef=ch，从而四边形efhc是平行四边形，则ec/fh，且ec=fh.因为f是pa的中点，g是ab的中点，所以fg为dabp的中位线，所以fg/pb，则gfh是异面直线pb与ce所成的角.由题意可得在dpcd中，由余弦定理可得cosdpc=，在dgfh中，由余弦定理可得cosgfh=fg=3，hg=1ac=22.2pd2+pc2-cd236+36-1672pdpc2669则ce2=pc2+pe2-2pcpecosdpc=17，即ce=17.fg2+fh2-gh29+17-83172fgfh231717.故选d。18（2020江西省名师联盟高三一模（文）如图，网格纸上小正方形的边

19、长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）3ba1122p4411p3c4411pd1122p【答案】b【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥a-bcd，在doen中，由nff为bd的中点，外接球球心o在过cd的中点e且垂直于平面bcd的直线l上，又点o到a,b,d的距离相等，所以o又在过左边正方体一对棱的中点m,n所在直线上，mf22=，即=，得oe=3，neoe3oe所以三棱锥a-bcd外接球的球半径r=oe2+be2=32+(2)2=11，v=4411p3。19（2020陕西省西北工业大学附中高三一模（文）已知圆柱的轴截面周长为12，体积为v，则下列总成

20、立的是（）av8pbv8pcvpdvp体积为v=pr2hp1(r+r+h)=p6=8p【答案】b【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意得：4r+2h=12，即2r+h=6，3333当且仅当r=h时取等号，由此可得v8p恒成立，故选b。20（2020四川省眉山市高三二诊（文）已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形abc，d为底边bc的中点，以ad为折痕，将三角形abd翻折，使bdcd，则经过a，b，c，d的球的表面积为（）a10pb12pc16pd20p【答案】a【解析】ab=ac=3，bc=2，则ad=32-12=22，bdcd，又bdad，cdad，可以将三棱锥d-abc可补成一个长方体

21、，则经过a，b，c，d的球为长方体的外接球，设球的半径为r，故(2r)2=ad2+bd2+cd2=8+1+1=10，所以r2=52，所以所求的表面积为s=4pr2=10p，故选a。21（2020云南昆明一中高三（文）在正方体abcd-abcd中，e为ad的中点，f为bd的中点，11111则（）aef/cd11cef/平面bccb11befad1def平面abcd11【答案】d【解析】连结ac，d1c，则f为ac的中点，所以ef/d1c，因为d1cdc1，d1cad，adidc=d，所以dc平面abcd，所以ef平面abcd，选d.11111122（2020云南昆明一中高三（文）在三棱锥p-ab

22、c中，平面pab平面abc，dpab和dabc均为边长为23的等边三角形，若三棱锥p-abc的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】20p.【解析】由题意可知，设dpab和dabc的外心的半径为r1，r2，sin60则2r=2r=23121=4，r=r2=2，o2h=1，o1h=1，ah=3，r2=ao2=ah2+oh2+oo2=5，r=5，11所以球的表面积为s=4pr2=20p.23（2020陕西省西北工业大学附中高三一模（文）已知三棱锥p-abc中，pc平面abc，若pc=bc=6，ab=2，pa与平面abc所成线面角的正弦值为面积为_64，则三棱锥p-abc外接球的表【

23、答案】16p【解析】qpc平面abc，pa与平面abc所成线面角的正弦值为64，pc6=pa4，pa=4，根据勾股定理可得ac=pa2-pc2=10，在dabc中，bc=6，ac=10，ab=2，则dabc为直角三角形三棱锥p-abc外接球即为以pc，ac，ab为长宽高的长方体的外接球，故2r=6+6+4=4，三棱锥外接球的表面积为s=4pr2=16p。24（2020四川省成都市金堂中学校高三模拟（文）如图，在四棱锥c-abod中，co平面abod，ab/od，obod，且ab=2od=12，ad=62，异面直线cd与ab所成角为30，点o，b，c，d都在同一个球面上，则该球的表面积为_【答案

24、】84p【解析】如图，过点d作deab,由ab/od，obod，且ab=2od=12，7p，则四棱锥p-abcd的表面积为_.可得四边形debo为矩形，be=do=6,ob=de=ad2-ae2=6，由od=6，由于abod，异面直线cd与ab所成角为30，co平面abod,故cdo=30，则co=odtan30o=23，设三棱锥o-bcd外接球半径为r，结合ocod,ocob,odob可将以oc、ob、od为相邻三条棱补成一个长方体，可得：(2r)2=ob2+oc2+od2=84=4r2，该球的表面积为：s=4pr2=84p.25（2020江西省名师联盟高三一模（文）在四棱锥p-abcd中，

25、底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，且dpad为等边三角形，若四棱锥p-abcd的体积与四棱锥p-abcd外接球的表面积大小之比为3【答案】8+3+7【解析】如图，连接ac，bd交于点o1，取ad的中点为n，连接pn.设四棱锥p-abcd外接球的球心为o，等边三角形pad外接圆的圆心为o2，3则o2为dpad的重心，则po2=2|pn|，正方形abcd外接圆的圆心为o.1所以po=23x，oo=x，3因为pnad，平面pad平面abcd，所以pn平面abcd，所以oo1/pn，所以四边形oo1no2为矩形，所以oo2=no1.设正方形abcd的边长为2x，则|pn|=3x，22所以四

26、棱锥p-abcd外接球的半径为|po|2=po22+oo22=73x2，所以四棱锥p-abcd外接球的表面积为s球=28p3x2，四棱锥p-abcd的体积为vp-abcd=1434x23x=x3，333x3x3所以vp-abcds球=，即=7p7p7p，解得x=1，正方形abcd=4，所以正方形abcd的边长为2，所以sdpad=3,sdpab=2,sdpdc=2,sdpcb=7,s所以四棱锥p-abcd的表面积为8+3+7。26（2020陕西省西安中学高三二模（文）如图，已知圆柱的轴截面abba是正方形，c是圆柱下底面11弧ab的中点，c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，那么异面直线ac1与b

27、c所成角的正切值为_.【答案】2【解析】取圆柱下底面弧ab的另一中点d，连接c1d,ad，则因为c是圆柱下底面弧ab的中点，所以ad/bc，所以直线ac与ad所成角等于异面直线ac与bc所成角.11因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点，所以c1d圆柱下底面，所以c1dad.因为圆柱的轴截面abb1a1是正方形，所以cd=2ad，1所以直线ac与ad所成角的正切值为2.1所以异面直线ac与bc所成角的正切值为2。127（2020江西省名师联盟高三第二次大联考（文）在四面体abcd中，ad=ac=bc=bd，ab=cd=42.球o是四面体abcd的外接球，过点a作球o的截面，若最大的截面面积为9p

28、，则四面体abcd的体积是_.【答案】323【解析如图，因为ad=ac=bc=bd，ab=cd=42，球o的半径为r，则r=，因为过点a作球o的截面，最大的截面面积为9p，所以r=3，所以该长方体的长和宽都是4，设该长方体的高为h，16+16+h221则h=2，故四面体abcd的体积是442-14424=32323.。28（2020湖南省长郡中学高三测试（文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为_.【答案】3【解析】如图所示，将此几何体放入一个边长为2的正方体内，三棱锥p-abc即为该几何体，2，cd=ad=3，由图可得pa=5，ab=1，pb=22，bc=5，pc=12+

29、22+22=3，ac=12+22+12=6，最长的棱的长度为3.（292020吉林省高三二模（文）如图，在五面体abcdef中，ab/dc，bad=p四边形abfe为平行四边形，fa平面abcd，fc=5，则直线ab到平面efcd距离为_【答案】374【解析】作agfd如图由ab/dc，dc平面efcd，ab平面efcd2，则cdad所以ab/平面efcd所以直线ab到平面efcd距离等价于点a到平面efcd距离又fa平面abcd，cd平面abcd所以facd，又bad=pad,fa平面fad，adfa=a，所以cd平面fadag平面fad，所以cdag又cd,fd平面efcd，cdfd=d所

30、以ag平面efcd所以点a到平面efcd距离为ag由cd=ad=3，所以ac=cd2+ad2=32又fc=5，所以af=fc2-ac2=7在dafd中，fd=ad2+af2=4又1137fdag=adafag=224。30（2020河南省安阳市高三一模（文）将底面直径为4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为_.【答案】3p【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则3-h3所以h=3-3r.2r=，2=2prh=2pr3-r=3p-(r-1)2+13p，2s侧3当r=1时，s侧的最大值为3p。31（2020安徽省滁州市定远育才学校高三模拟（文）如图，在长方体abcdabcd中，1111aa=6,ab=3,ad=8，点m是棱ad的中点，n在棱aa上，且满足an2na，p是侧面四边形111adda内一动点(含边界)，若cp平面cmn，则线段cp长度最小值是_.1111【答案】1711【解析】取ad1的中点q,过点q在面add1a作mn的平行线交dd1于e则易知面c1qe/面cmn,在dc1qe中作c1pqe,则c1p=17为所求。（322020东北师大附中高三模拟（文）正三棱柱abc-abc的所有棱长都相等，m是棱ab的中点，11111则异面直线am与bc所成角的余弦值为_【答案】510【解析】将正三棱柱补