《函数的单调性》教学设计(精品)

1、函数的单调性（一）教学目标1知识与技能（1） 理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2） 能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语 言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知 数学的严谨美.（二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方

2、法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的 学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握 方法.（四）教学过程教学环节教学内容观察一次函数 f (x) = x 的图象：师生互动师：引导学生观察图象的升降. 生：看图. 并说出自己对图象设计意图在函数图象提出问题y1o 1 x的直观认识.师：函数值是由自变量的增大 而增大，或由自变量的增大而的观察中获 取函数单调 性的直观认函数 f (x) = x 的图象特征由左到 右是上升的.减小，这种变化规律即函数的 单调性.识.引入深题观察二次函数 f (x) = x2的图象：yo

3、x函数 f (x) = x2 在 y 轴左侧是下 降的，在 y 轴右侧是上升的. 列表：x 3 2 1 04f(x) 16 9 4 1 0 =x21 2 3 4 师：不同函数，其图象上升、 下降规律不同. 且同一函数在 不同区间上的变化规律也不 同. 这是“形”的方面，从“数” 的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程 中，从列表的数据变化可知自 变量由 4 到 0 变化，函数值 随着变小；而自变量由 0 到 4 变化，函数值随着自变量的变 大而变大.师：表格数值变化的一般规随 是：自变量 x 增大，函数值 y也增大，函数图象上升，称函体会同一函 数在不同区 间上的变化 差异. 引导学生从

4、“形变”过 渡到“数 变”. 从定 性分析到定 量分析.14916 数为增函数；自变量 x 增大，x(，0时，x 增大，f (x) 减少，图象下降.x(0，+)时，x 增大，f (x)也 增大， 图象上升.函数单调性的概念函数值 y 反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.师：增函数、减函数的函数值一般地，设函数 f (x)的定义域为 随自变量的变化而变化怎么用i：数学符号表示呢？由实例探究形成概念如果对于定义域 i 内的某个区间 d 师生合作： 规律从而获 上的任意两个自变量的值 x ，x ， 对于函数 f (x) = x2 在区间(0， 得定义的数1 2当 x x 时，都有 f (x )

5、f (x )， +)上. 任取 x 、x . 若 x x ， 学符号表 1 2 1 2 1 2 1 2那么就说函数 f (x)在区间 d 上是 则 f (x )f (x )，即 x 2x 2.1 2 1 2示.增函数（increasing function）； 师：称 f (x) = x2上为增函数.在(0，+)1yy=f (x)f (x )1f (x )2o xx2x如果对于定义域 i 内某个区间 d 上 的任意两个自变量的值 x 、x ，当1 2x x 时，都有 f (x )f (x )， 1 2 1 2那么就说函数 f (x)在区间 d 上是减函数（decreasing function

6、）. yy=f (x)of (x )1x1f (x )2x x2例 1 如图是定义在区间5，5 上的函数 y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单 调区间上，它是增函数还是减函 数？师：投影例 1.生：合作交流完成例 1. 师：引导学生完成教材 p36 练 习的第 1 题、第 2 题. 师：投影训练题 1 生：学生通过合作交流自主完 成.掌握利用图 象划分函数 单调区间的 方法. 掌握单调性 证明步骤及 原理.内化应用举例训练题 1：（1）请根据下图描述某装配线的 生产率与生产线上工人数量间的 关系.例 1【解】：y= f (x)的单调区定义，强化间有5，2），2，1），划

7、分单调区1，3），3，5. 其中 y = f (x) 间的方法. 在区间5，2），1，3）上是减函数，在区间2，1），3，5上是增函数.训练题 1 答案：（1）在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某kk12个数量时，生产效率达到最大 值，而超过这个数量时，生产 效率又随着工人的增加而降 低. 由此可见，并非是工人越（2）整个上午（8001200） 多，生产效率就越高.天气越来越暖，中午时分（12（2）001300）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（1800）才 增区间为8，12，13，18； 又开始转凉. 画出这一天 800 减区间为：

8、12，13，18，20. 2000 期间气温作为时间函数的 （3）函数在1，0上是减函 一个可能的图象，并说出所画函数 数，在0，2上是增函数，在 的单调区间. 2，4上是减函数，在4，5 （3）根据下图说出函数单调区间， 是增函数.以及在每一单调区间上，函数是增 师：打出例 2，请学生阐明应用函数还是减函数.定义证明（判定）并总结证明 单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程， 教师点评.例 2物理学中的玻意耳定律例 2 分析：按题意，只要证明p = (k 为正常数) 告诉我们，对 v于一定量的气体，当其体积 v 减小 时，压强 p 将增大. 试用函数的单 调性证明之.训练题 2：证明函数

9、 f (x) = 2x函数 p = 在区间（0，+）上 v是减函数即可.证明：根据单调性的定义，设 v ，v 是定义域（0，+）上的1 2任意两个实数，且 v v ，即1 2强化记题步 骤与格式.+1 在 r 上是减函数.k k v -vp(v ) -p (v ) = - =k 2 1v v vv1 2 1 2.由 v ，v (0，+)，得 v v 1 2 1 20.由 v v ，得 v v 0. 1 2 2 1又 k0，于是 p (v ) p (v )0，1 2即p (v ) p (v ).1 2所以，函数pkv，v，+)归纳小结1 体会函数单调性概念的形成过 程.2 单调性定义.3 利用图

10、象划分单调区间.4 利用定义证明单调性步骤.是减函数，也就是说，当体积 v减小时，压强 p 将增大.师：投影训练题 2生：自主完成训练题 2 证明：任取 x ，x r，1 2且 x x ，1 2因为 f (x ) f (x ) =2 (x1 2 2x )0，1即 f (x )f (x )，1 2所以 f (x) = 2x +1 在 r 上是减函数.师生合作：回顾单调性概念的 反思回顾 形式与发展. 整理知识， 师：阐述单调性的意义与作用. 提升能力.课后练习1.3 第一课时习案学生独立完成巩固知识培养能力备选例题：例 1 证明函数 f (x) =3x +2 在 r 上是增函数.【证明】设任意 x 、x1 2r，且 x x ，1 2则 f (x ) f (x ) = (3x +2) (3x +2) = 3(x x ).1 2 1 2 1 2由 x x 得 x x 0. f (x ) f (x )0，即 f (x )f (x ).1 2 1 2 1 2 1 211f (x) =3x +2 在 r 上是增函数.例 2 证明函数 f (x) = 在（0，+）上是减函数.x【证明】设任意 x 、x1 2，