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1、大一上学期高数知识点第二章 导数与微分一、主要内容小结1. 定义定理公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2） 定理与运算法则定理1 存在 .定理2 若在点处可导，则在点x处连续；反之不真.定理3 函数在处可微在处可导.导数与微分的运算法则：设均可导，则, , ， （3）基本求导公式2. 各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法.方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对求导）.（7）分段函数微分法3

2、. 高阶导数（1）定义与基本公式高阶导数公式： 莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法 直接法 间接法4. 导数的简单应用(1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率相关变化率二、 例题解析例2.1 设 , （K为整数）.问：（1）当K为何值时，在处不可导；（2）当K为何值时，在处可导，但导函数不连续；（3）当K为何值时，在处导函数连续？解 函数在x=0点的导数：= = 即 当时, 的导函数为：为使，取即可。因此，函数当K1时，在处不可导；当时，在处可导，但导函数在处不连续；当时，在处可导且导函数在处连续。例2.2 ， 求。分析 本例当然可以用商的求导法则来求，但比较麻烦，若先对函数表达式进行变形

3、就可用代数和的求导法则来求，这样就简便多了。解 = 。所以 。如果不经过化简，直接求导则计算将是十分繁琐的。例2.3 ，求。分析 本例若直接对原式利用差的求导法则及复合函数求导法来求，比较麻烦，但若利用对数性质对函数表达式的第二项变形，再利用差及复合函数求导法来求，就简便得多。解 因为 所以 = 例2.4 设，求。解 利用积的求导法则及复合函数求导法则，有 = = 。例2.5 设方程 , 求 .本例是隐函数求导问题，对隐函数求导可用下面两种方法来求。解 (方法一) 方程两端同时对求导( y看作x的函数),由复合函数求导法可得 (方法二) 方程两边同时微分：所以 例2.6 已知 , 为二次可微函

4、数,且 ，求 , 。分析 这是由参数方程所确定的函数的高阶导数的计算问题，可按参数方程求导法则来求。解 因为 = 所以 。又 所以 = 。常见错解： 。错误原因 没有搞清求导对象. 是一阶导数对求导,而是一阶导数对t求导。例2.7 求函数 的微分。解 = = 例2.8 设 , 求 。 分析 本例是求分式有理函数的高阶导数，先将有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和，再将有理分式写成部分分式之和，最后仿的表达式写出所给定的有理函数的n阶导数。解 = = = （）例2.9 设 求的导函数 的连续区间，若间断，判别类型，并分别作与的图形。 分析 函数是用分段表达的函数. 在的两侧： 当 时，；当时， .因此，在 处，的可导情况，需根据定义来作判断，求出导函数后，再判别它的连续区间。解 因为 ，所

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