解析几何部分公式、方法

1、解析几何部分公式、方法、技巧直线和圆的方程（i 与直线AxByC0平行的直线方程为:AxBy m0( m C)与直线ykxb平行的直线为：y kxm(mb)与直线AxByC0垂直的直线方程为:BxAy m0与直线ykxb(k0）垂直的直线为：1 y x mk给定直线Ax By Ci 0与直线12 : A2X B2y C2 0:若 11 /12讨论B1,B，；若 1112A,A2B1B20 ；(2)过直线h：Ax Biy Ci 0与12 : A2X B?y C2 0的交点的直线方程为：Ax Biy Ci(A2X B?y C2) 0 (当 0时表示h，但不表示J)(3)点A（X0,y。）关于直线A

2、x By C 0对称的点的坐标为（x , y ），则:x x0 2A Ax0 By0 CA2 B2y y。2Ba2（填空题、选择题可用上面公式，解答题一定要写出下列过程：Ax0 By。 CB2y y。xX0C 0C 0中点在直线上即斜率之积为-i解得:(4)li到12的角ta nk2ki （适用于ki,k2存在且k k2i)(5)li与12的夹角:tank2 ki（适用于K, k2存在且kik2i)斜率为k的直线与二次曲线相交于A, B两点，且A（xi, yi）, B（x2, y2），则有:AB Ji k2x2xii k2 x2)2 4x2 (此即弦长公式)【注】该公式在圆锥曲线上有着广泛的应

3、用，但在抛物线的焦点弦问题上，最好能从焦半径公式入手简化计算量，另外用该公式时，求出值往往要用判别式验证。(6)点P（xo, y。）到直线Ax By C 0的距离dAxo By。CA2 B2(7)(8)(9)两平行直线l1: Ax By C1 0与l2 : Ax ByC20的距离:Ci C2d L （注意：应用该公式时一定要使得Ja2 B2求曲线C1 : f(x,y)在曲线C2上任取一点C2方程为：f（2xoli与12的A, B一致）0关于点（Xo,y）对称的曲线C2:（x,y）关于（Xo,y）对称的点为（2xox,2yo y）代入曲线Ci方程，即可得曲线x,2yo y) o点关于特殊直线的对

4、称点坐标的求法：（理解记忆）(a,b)关于X轴(a, b)(a,b)关于y轴（a,b)关于直线yX关于直线y x(a,b)(b,a)(a,b)(b,(a,b)关于直线xm (b,a)(a,b)关于直线y n(a,2nuuuruur给定点P(x, y), P(xo, yo), F2(X2, y2)，若RPPP，则：X1X2YiY2Xo1yo1【注】上述方法也适用于曲线关于特殊直线的对称曲线的求法!（且极为好用!P（x）,yo）的切线方程为:xoxyoy2 r过圆x2y2r2上一点a)b)过圆（xa)2 (y b)2【求法】考虑切线方程:半径列出方程求出【与类似结论】二元二次方程 Ax2二元二次方

5、程 x2r2上一点P（xo,y。）的切线方程:y yo是否满足？设方程为 yyok（x xo），再利用点到切线的距离等于k即可!(X。 a)(x a) (yo b)(y2Bxy Cy Dx Ey Fy2 Dx Ey F 0表示圆b) r2o表示圆ABD2C 00E2 4AF 0D2E24F方程为：(D1 D2)x (E1 E2)y (F1 F2)0其中圆心为(D,-)，半径为r2 2、D2 E2 4F2(10)已知点(11)PA若直线PB Dx0 Ey FAx By C 0与圆(x a)2 (y b)2 r2有公共点，则一Aa Bb CB2(即圆心到直线的距离小于或等于半径!(12)给定点P(

6、xo, yo)和圆(x a)2 (yb)2r2，则:点在圆内2 2(X。 a) (y。 b)点在圆上(x a)2(yob)2点在圆外2 2(X。 a) (y。 b)【注】圆锥曲线有着类似的性质，比如给定椭圆1 ：点在椭圆内2 x 2 a2y00r 1 ；点在椭圆上b2 2竽乌 1;点在椭圆外a b2x0(13)判断直线与圆的位置关系，主要有两条路:通过圆心到直线的距离与半径的大小关系的比较加以判断;(首选)联立直线与圆的方程然后判断的符号加以判断；(二次曲线与直线位置判断通法(14)圆系方程:过直线AxBy圆x2y2 DxEy F 0的交点的圆系方程可设为：2 2x y DxEyF (AxBy

7、C) 0_ 2过两圆G:xD1x E1 y F120 与 C2 : x2y D2X E?y F2 0的交点的圆系方程为:2 2(x y D1X EF1) (1)(2 2x y D2x E2y F2)0【推广】过两曲线 G：f(x,y)0与C2: g(x, y) 0的曲线系方程为:f (x, y) (1)g(x, y) 0(15)过两圆 C1 : x2 y2 D1xEF1 0与C2 : x y D2X E?y F2 0的交点的直线(公共弦)的2 2P(x0,y)在圆xy Dx Ey F 0的外部，过P作圆的切线，切点分别为 A,B，则切线长椭圆(1)椭圆的一般式方程:mx22ny 1(m0, n

8、 0, m n)(2)椭圆的面积公式 Sab(3)椭圆的第一定义:PRPF2 常数（即2a）定点距离（即2c）（其中F,F2称为焦点,a为长半轴长，c为半焦距，P为椭圆上任一点）椭圆第二定义:PF到定点的距离e（ e ）（即到定直线的距离常数（0,1 ）其中F为椭圆的焦点，d为任意点P到该焦点的相应准线的距离，e为离心率。【推论】过焦点F1的直线与椭圆交于P、Q两点，贝U PQF2的周长为4a(3)椭圆标准方程中的基本量的计算公式:（离心率越大，椭圆越扁；）(4)(5)(6)(7)(8)a2b2 c2椭圆焦半径公式:PRb2e2准线计算为R为左焦点（下焦点）F2为右焦点（上焦点）exo (或

9、a eyo)PF2 a exo (或 aeyo)【推论】椭圆上一点到焦点的距离的最大值为a c，最小值为a c焦点在x轴上的椭圆上不同三点 A（xn yj, B（X2, y2）,C（X3,y3），则相应三条焦半径成等差数列坐标成等差数列，即 2x2X1X3以椭圆上任一点 P的一条焦半径为直径作圆，此圆必与以椭圆长轴为直径的圆相切。以焦点弦为直径的圆必与相应准线相离。过焦点F焦点弦PQ的两端点P、Q在相应准线上的射影为 P ,Q，则 PFQ （0,）2uurn uuuuPF Q F 0 即可！)已知P为椭圆上任一点,F1PF2，则 S F1PF2圧怕它（其中b为短半轴长）三点横（只需证明【注】关

10、于F1PF2,很多资料书称之为焦点三角形,试题经常给定该三角形的一些条件，求椭圆的离心率、面积、周长等；此时须记：因为它是出现在椭圆里的特殊三角形，所以在解题时能立马想到椭圆第定义、余弦定理、正弦定理等知识。(c,町a0，则为线段F,F2的中垂线；若将定义中的2c 改为 2c ，则为两条射线；若将定义中的2c 改为 2c ，则轨迹不存在;双曲线第二定义:PF/和口到定点的距离e（e ）（即到定直线的距离常数（1,+其中F为双曲线的焦点，d为任意点P到该焦点的相应准线的距离,e为离心率。【推论】过焦点 Fi的直线与双曲线的一支交于P、Q两点，若焦点弦4a 2mPQ m，贝y PQF2的周长为(3

11、)双曲线标准方程中的基本量的计算公式:（离心率越大开口越大；）(4)2 2.2cabb2准线计算为双曲线焦半径公式:Fi为左焦点（下焦点）F2为右焦点（上焦点）PFia ex)(或 a ey。)PF2a exo (或 a e% )遵循“左加右减、长正短负”八字规则。(5)以双曲线焦点弦为直径的圆必与相应准线相交。(6)已知P为双曲线上任一点,F1PF2，则 S f1PF22b cot-（其中b为虚半轴长）（9）椭圆的通径（过焦点与长轴垂直的弦）端点的坐标是双曲线部分双曲线的一般式方程：mx2ny21(m n 0)222 2x双曲线笃y2(x y0）与双曲线221共渐近线为：xaba ba2 2

12、渐近线为-y0的双曲线的方程可以写成x y (0)aba b双曲线的第淀义:|PF1PF2常数（即2a）（ 2c）(1)(2)(3)b （其中F-!, F2称为焦点，a为实半轴长，c为半焦距，P为双曲线上任一点）【注意】若将定义中的绝对值去掉，则为双曲线一支；若将定义中的常数改为2(7)P是双曲线x2ay21(a0,b0)上任意一点,b2FF2分别为左、右焦点，焦距为2c,则PFE的内切圆圆心的横坐标为 a或 a(8)双曲线的通径(过焦点与长轴垂直的弦)端点的坐标是(c,b2)，且通径长a2b(9)当 b2a2时，双曲线2xa2 kb2 k2 21与双曲线爲爲a2 b21共焦点;(10) 直线

13、与双曲线的位置关系：联立方程整理得ax2 bx c 01 )当a 0时，直线与双曲线的渐近线平行；此时，若 b 0,则有一个交点。2 )当a 0时， =0,则相切； 0，则相交；0，则相离；【注意】此时：“交点只有一个”是“相切”的必要不充分条件。抛物线部分(1)抛物线的定义：到直线外一定点的距离等于到该直线的距离的点的轨迹;【特别注意】定义中，定点 F不在定直线I上是一个重要的隐含条件，否则动点的轨迹不是抛物线。(2)抛物线的标准方程形式: 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2 ax(a 0)，此时焦点为(空,0)，准线为4焦准距为2 顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2

14、 ay(a 0)，此时焦点为(0,空)，准线为4焦准距为2【谨记】写焦点、准线、焦准距时一定要记得把方程变为标准方程！同时要注意焦点所在的位置“对称轴为一次项代表的轴，开口方向由 a的符号决定！”(3)抛物线焦点弦的性质(如图所示)：设抛物线方程为y2 2px( p 0)，则焦点 F Cp ,0)， 准线I : X过焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点，作A,B分别为A, B在准线I上的射影，则: AB xi x2 p 2p ，特别地，当一sin2时， AB 2p,即通径长为2p；抛物线的焦点弦长中，通径最短！ AB与x轴不垂直也不平行时，设弦 AB所在直

15、线的斜率为k（k0），则方程为y k（x卫）2，联立yk(x 22px消去y，得:k2x22(k p 2p)x或消去X，得:2p y p20，有:yiy2p2（定值），y22pk（不定）xiX22（定值），xi4X2k2pk2空（不定）若焦点弦AB被焦点F分成长度分别为m,n的两部分，则（定值）以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线I相切；以抛物线焦半径AF（或BF ）为直径的圆与 y轴相切。若M为AB的中点,则 MF ABAF BF （即 AFB 2梯形AABB中，两对角线 AB与BA相交于抛物线的顶点 0（4）直线与抛物线的位置关系：联立方程整理得ax2 bx c 01 ）当a 0时，直线与

16、抛物线的对称轴平行或重合，此时，有一个交点。2 ）当a 0时， =0，则相切； 0，则相交； 0，则相离;【注意】此时：“交点只有一个”是“相切”的必要不充分条件。补充知识点、方法、技巧2 2（1）对于方程 1（m0, n 0或mn 0）上任意一点P与过中心的弦AB的两端 点A, B连线m nPA PB与坐标轴不平行，则 kpA kpB （定值）m当m n 0时，方程为圆，此时 kPA kPB 1 ； 当m 0, n 0且m n时，方程为椭圆，此时 kPA kPBm 当mn 0时，方程为双曲线，此时kpA kpB；mAB及其中点M，则x2 v2【推论】对于方程1(m 0,n 0或mn 0)上任

17、意与坐标轴不平行的弦m n【点评】上述性质可以由点差法容易推得，常用于加快解答选择题、填空题的速度，并对解答题的解答思路起着指引作用、对解答题的答案起着验证功能作用。(2)设圆锥曲线方程为 f (x, y) Ax2 By2 Dx Ey F 0( A,B为非负实数且不同时为0)，则：点P(X), V0)在曲线内部f(X0,y) 0 ;点P(X0,y)在曲线上f(X0,y) 0 ;点P(x, y)在曲线外部f(X0,y) 0 ；(3)直线与双曲线有两个交点位置的条件限制:线y kx m与双曲2 x 2 a2每 1(a0,b0)相交有两个交点，则联立by2xakx m2吐1b21消去y得Ax2Bx0

18、(A 0)，有:若交于左支两点，则满足xiX2x1x20若交于右支两点，则满足x1x2x1x20若交于左、右支各一点，则满足%x20【注】涉及到双曲线、椭圆的一部分与直线之间的关系的问题时，更多的是利用数形结合的思想，务必掌握该思想。(4)弦中点问题的处理：(【解答题用、圆锥曲线通用】，下以双曲线方程为例子加以说明)22设双曲线笃a1(a0,b 0)的弦 AB，且 A(xn yj, B(x2, y?)，弦的中点 M (x。，y。)，则有:2Xi2a2X22a2yi2b21L L1L L由一可得:(x?Xi)(X22aXi)(y?yi)(y2 yi) o p o将 Xi X 2xo, yiy2

19、2yo, kAB 上一如 代入上式整理，得kABx2xib2Xo2a yo【点评】这是弦的斜率与中点的关系，要求学会推导，并能运用。(5) 过两已知点的双曲线、椭圆的标准方程的求法，设方程为2 mxny2 i给出实轴(或长轴)与虚轴(或短轴)之间关系求双曲线、椭圆的标准方程的求法，必须要讨论好焦点的位置。(6)设直线方程的技巧:过点P(Xo, yo)的直线可设为x Xo或y k(xX。)yo过点(a,O),(O, b)(a O,b O)的直线可设为xa两截距相等的直线不要忘了考虑过原点的情况；设直线方程为y kxb，则该直线不包括倾斜角为的情况;2设直线方程为x aym，则该直线不包括倾斜角为0的情况；(此种设法往往能很好地避免讨论斜率存在与不存在的情况;(7)圆锥曲线的一类最值问题：利用圆锥曲线的定义求最值为焦点，e为离心率:点(m,n)为圆锥曲线C内一定点，P为圆锥曲线上一动点,i求PA -|PF的最小值；(方法：定点于F相应准线的距离:e求PAPF的最大最小值；(方法：利用第一定义得 2aAF ,2a AF ,其中F为另一个焦点。)【注】涉及焦半径的最值问题往往利用焦半径公式或第二定义。(8