平面向量地数量积地性质

1、U；,.J平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a , b , B为a与b的夹角.1. 若a b = 0，则a与b有什么关系？【提示】a b = 0 , a 工0, b 工0 ,.cos0 ,90 , a 丄 b.2. a a等于什么？【提示】|a| |a|cos 0 卡巴如果e是单位向量，则 a e = e a = |a|cosa, e(2) a丄b? a b = 0;(3) a a= |a|交换律：a b = b a; 分配律：(a + b) c = a c + b c;数乘向量结合律：对任意实数入，入(a b) = ( X a) b = a (入b).琨疑堆邮主艺劭 u ”絆

2、益 即|a| = -a a ；a b(4) cosa, b=(|a|b|却);|a|b|(5) |a b|a|b|.逊二平面向量数量积的运算律向量的数量积运算(2013 海淀高一检测已知|a| = 5, |b| = 4 , a与b的夹角为120求ab ；求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解【自主解答】(1)a b = |a|b |cos 91=5 X4 Xcos 120。屿 X4 X(- 2)= 10.5-lalcos9= 1. (2013 玉溪高一检测已知|a| = 6, |b| = 3，a b = 12，贝U a在b方向上的射影的数量是() Xcos 12

3、0 =2，5在b方向上的射影的数量为-2.I规律方法I1在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“ ”连接，而不能用“X”连接,更不能省略不写2. 求平面向量数量积的方法(1) 若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a b = |a|b|cos 9.(2) 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积 的几何意义求a b.训练A. 4B.4C. 2D.2a 122|a|b|6 X33【解析】cos =一，向量a在向量b方向上的射影的数量为 |a|cos = 6X 3 = 4，故选 A.3【答案】 A2. 已知|a| = 6, e为单位向量，当向量a、e之间的夹角B分别等于45 ,

4、90 ,135 时，分别求出a 及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】 当向量a和e之间的夹角B分别等于45 ,90 ,135。时，|a| 1e| cos 45 =6X1 xf = 3 ：2;|a| |e| cos 90 =6X1 xo = 0 ；|a| |e| cos 135当向量a和e之间的夹角B分别等于45 ,90 ,135。时,a在e方向上的 正射影的数量分别为：|a|cos 0 = 6 Xcos 45 =3 .2 ;|a|cos 0 = 6 Xcos 90 =;|a |cos 0 = 6 Xcos 135 =-3 12.IJ与向量模有关的问题已知向量a与b的夹角为120 且|a|=

5、 4, |b| = 2，求:(1)|a+ b|; |(a + b)(a 2b)|.【思路探究】利用a a = a2或|a| =，a2求解.【自主解答】由已知 a b = |a|b|cos 0 = 4X2 Xcos 120 =-4, a2=|a|2=16 , b2 = |b|2= 4. v|a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2a b + b2 = 16 + 2 X(-4) + 4 = 12 ,：|a + b| =(2) v(a + b) (a 2b)= a2 a b 2b2 = 16 (-4) 2 X4 = 12 ,：|(a+ b)(a2b)| = 12.I规律方法I1. 此类

6、求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系 .2. 利用a a = a2 = |a|2或|a|=. a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. Sttilllg设e1、e2是夹角为45 的两个单位向量，且a = e1 + 2e2, b = 2e1 + e2，试求|a + b|的值.【解】-a + b = (e1 + 2e2)+ (2e1 + e2)= 3(e1 + e2)，|a + b |= |3(e1 + e2)| = 3|e1 + e2| = 3 e1 + e2卜例=3 e1 + 2e1 e2 + e2 = 3 . 2+2.僮世一 4与向量夹角有关的问题（2014 济南高一检测）若向量a，

7、b，c两两所成的角均为120。，且a|= 1，|b| = 2，|c| = 3，求向量a+ b与向量a + c的夹角0的余弦值.【思路探究】先利用已知条件，分别求出（a+ b） （a + c）, |a + b|和|a + c|的大小，再根据向量的夹角公式求解【自主解答】(a + b) (a + c) = a2 + a b + a c + b c9=1 + 1 沱 5 120 + $ 5 120 + X3 5 120。十，|a + b|=a + b 2 = a2 + 2a b + b2=12+ 2X1 X2 Xcos 120 +2 = ,：3 , cos|a + c| = - a2 + 2a c+

8、 c2a + b - a + c|a+ b|a + c|所以向量a+ b与a + c的夹角B的余弦值是一14I规律方法I1求向量a, b夹角的流程图2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避免复杂的运算.变 Bans（1）（2014 辽宁师大附中高一检测）若向量a与b不共线，a （工0，且c = aa ab，则a与c的夹角为(a bA.0nB.6nc-3nD.2(2014-贵州省四校高一联考)若|a| = 2 , |b匸4且(a + b)丄a，则a与b的夹角是(2 nA.3nB.-32 nD.3【解析】(1)a aa c = a -a a ba20Ta b 二a2齐0

9、，又a 勿，na与c的夹角为，故选D.因为(a+ b)丄a，所以(a + b) a = a2+ a b = 0，即 a b = a2= 4，所以a b 4cos =|a|b|2 X4i2，又因 0，冗，所以a与b的夹角是2 n才，故选A.【答案】 (1)D(2)A巧x册解疑射曲邂昭矣升区I混淆两向量夹角为钝角与两向量数量积为负之间关系致误典便 设两向量ei, e2满足：|ei| = 2, |e2| = 1, ei, e2的夹角为60。.若向量2tei + 7e2与向量ei + te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.1【错解】由已知得ei e2 = 2 X11，于是2(2tei + 7e2)(

10、ei + te2)= 2te1+ (2t2 + 7)ei e2 + 7te = 2t2 + 15t + 7.因为2tei + 7e2与ei + te2的夹角为钝角，1 所以 2t2 + 15t + 70，解得7 t -.2【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180。，其数量积也为负.1【正解】由已知得ei e2 = 2 X11，于是2(2tei + 7e2)(ei + te2)= 2te1+ (2t2 + 7)ei e2 + 7te2 = 2t2 + 15t

11、 + 7.因为2tei + 7e2与ei + te2的夹角为钝角，1所以 2t2 + 15t + 70，解得一7 t -一.2但是，当2tei + 7e2与ei + te2异向共线时，它们的夹角为180也有2t2 + 15t + 70 ,这是不符合题意的.此时存在实数入使得故所求实数t的取值范围是-7，22tei + 7e2 = A(ei + te2)，即 2t = 2且 7 =兀，ACCCCCCCCCCCCCCCC1. 两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正 （当a 丸），b丸）,0。胡90。时，也可以为负（当a丸）,b却,90 9 是一个与 c共线的向量，而（a ） b

12、 =|a|c|cosa，c b是一个与b共线的向量，两者一 般不同.3. a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区 分.譴堂稣 主生兰动 运”艰标1. 对于向量a，b，c和实数入，下列命题中正确的是（）A. 若 a b = 0，贝U a = 0 或 b = 0B. 若Aa = 0，则a = 0或入=0C. 若 a2= b2，则 a = b 或 a= bD. 若 a b = ac，贝U b = c【解析】由向量数量积的运算性质知 A、C、D错误.【答案】2. (2013 安徽高考若非零向量a , b满足|a| = 3|b| = |a + 2b|,则a与b夹角的余弦值为.【

13、解析】 由 |a| = |a + 2b |，两边平方，得 |a|2 = (a + 2b)2 = |a|2 + 4|b|2 + a b |b |214a b，所以 a b = |b |2.又|a| = 3|b|，所以 cosa, b=2 =一.|a|b| 3|b|231【答案】 一33. 已知|a匸4, |b| = 6，a与b的夹角为60。，则向量a在向量b方向上的射影是.1【解析】 向量a在向量b方向上的射影是|a|cos 60 =4= 2.【答案】 24. 已知|a| = 4，|b| = 5,当(1)a /b ; (2)a丄b ; (3)a 与 b 的夹角为 30。时, 分别求a与b的数量积

14、.【解】当a /b时，若a与b同向，贝U启0 , a b = |a|b |cos 0 =4 X5 = 20 ；若a与b反向，贝U启180 ,Wb = |a|b|cos 180 =4 X5X( 1) = 20.n(2)当 a丄b 时， =；.n a b = |a|b |cos； = 4 X5 X0 = 0.当a与b的夹角为30。时，5? 6知能检测a b = |a| b|cos 30用h卿白務详计找”考益n定测 评区!、选择题1.|a|= 1, |b| = 2 , c = a + b 且 c丄a,则 a 与 b 的夹角为()B.60A. 30C.120 D.150【解析】c丄a,设a与b的夹角为

15、0,则(a + b) a = 0，所以a2 + a = 0 ,所以 a2+ |a|b|cos 启 0,则 1 + 2cos0 = 0，所以 cos10= 一，所以 0= 120。.故选 C.2【答案】C2.若向量a与b的夹角为60,|b| = 4，且(a + 2b) (a 3b) = 72，贝U a的模为（）A.2B.4C.6D.12【解析】v(a + 2b) (a 3b) = a2 a b 6b2=|a|2 |a| |-b|cos 60 -6|b|2=|a|2 2|a| 96 = 72 ,|a|2 2|a| 24 = 0,.|a| = 6.【答案】 C3.SBC 中，AB AC v 0,贝A

16、BC 是(A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形 【解析】-AB AC = |AB |AC|cos A v0,cos A v 0. .A是钝角.zABC是钝角三角形.【答案】C4. (2014 怀远高一检测已知i与j为互相垂直的单位向量，a = i - 2j, b = i+ 4且a与b的夹角为锐角，则实数 泊勺取值范围是()1A. (-,- 2) U -2 , 21B. ,+x22 2C. - 2，3 U 3 *1D.一 OO1，2【解析】tab = (i - 2j) (i + 沪 1 2 入0,1 Xv2，又a、b同向共线时，a b 0，设此时a = kb(k0)，贝U

17、i 2j =k(i + X)，k 二 1，12) U一2，2，故选 A.2 = k X，X= 2，.方、b夹角为锐角时，入的取值范围是(一X，【答案】A5. (2014 皖南八校高一检测在OAB中，已知0A = 4, OB = 2,点P是AB的垂直平分线I上的任一点，贝U OPAB =()D. 12设 AB 的中点为 M，贝UOP AB = (0M + MP) AB = OM AB (0AA.6B. 6C.12【解析】 1 + 0B) (0 B 0A) = -(0B2 0A2) = 6.故选 B.【答案】 B、填空题6. (2014 北大附中高一检测向量a与b的夹角为120 ,|a|= 1,

18、|b匸3,贝U |5a b 匸.3【解析】因为 a b = |a|b|cos 120 =，所以 |5a b|2 = 25a2 10a b2+ b2 25 10 X -3-2 + 9 49，所以 |5a b| 7.【答案】77. 已知a丄b，|a| = 2，|b| = 3，且3a + 2b与七b垂直，则入等于【解析】.(3a+ 2b)丄(也b)(Aa b) (3a + 2b) = 0，3 A2 + (2 入3)a b 2b2 = 0.又v|a| = 2 , |b| = 3，a丄b，12 入 + (2 入3) X2 X3 Xcos 908 0 ,312 入一 18 = 0 ,入 =_.23【答案】

19、28. (2014 温州高一检测已知a是平面内的单位向量，若向量 b满足b (a b) = 0，则|b|的取值范围是.【解析】设a , b的夹角为由b (a b)= 0,得|b|a|cos B|b|2= 0.解得|b匸0或|b| = |a|cos 启cos 91，所以|b|的取值范围是0,1.【答案】0,1三、解答题9. 已知向量a、b的长度|a匸4, |b匸2.(1) 若a、b的夹角为120。，求3a 4b|;若|a + b| = 2 ：3，求a与b的夹角9.【解】(1)a b = |a|b|cos 120 1=4 X2 X 一 = 4.2又|3a 4b|2 = (3a 4b)2 = 9a2

20、 24a b + 16b2=9 X42 24 X( 4) + 16 X22 = 304，.|3a 4b|=4，19.(2) -la + b |2 = (a + b)2= a2 + 2a b + b2=42 + 2a b + 22= (2 ：3)2，a b 41 a b = 4，.cos 9=一.|a|b| 4 X222 n又旺o,n,.启丁.10. 已知a丄b，且|a匚2 , |b| = 1，若有两个不同时为零的实数 k, t，使得 a + (t 3)b与一ka + tb垂直，试求k的最小值.【解】.a丄b，.a b = 0，又由已知得a + (t 3)b ( ka + tb)= 0，ka2

21、+ t(t 3)b2 = 0.a| = 2, |b|= 1，a4k + t(t 3) = 0.1139k - 4(t2-3t)蔦(t - 2)2 -存 切3 9故当时，k取最小值一二.21611. (2014 淄博高一检测设向量a, b满足|a| = |b匸1,且|3a 2b|=Q7.(1)求a与b夹角的大小；(2)求a + b与b夹角的大小;|3a + b|求R的值.【解】(1)设 a 与 b 的夹角为 9, (3 a 2b)2 = 9|a|2 + 4|b|2 12ab = 7 ,1又lal = lb匸 即cos e= 2. , -a b = ，1|a|b|cos 9=；,n 又旺0 ,n,：a与b的夹角为-.313(2)设 a + b 与 b 的夹角为 a, v(a + b)b = b2+ a b = 1 +,|a + b| = - a2+ b2 + 2a b = ：；3, |b| = 1 ,3a + b b 2a/3 COS a= = -1 |a + b|b|、32n 又口 0,冗,+ b与b的夹角为一.6(3) (3 a +