高中数学必修4平面向量知识点总结(背诵版)（精华版）

1、知识点归纳高中数学必修 4 知识点总结平面向量一. 向量的基本概念与基本运算1 向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用 a,b, c 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ab 几何表示法ab ， a ；坐标表示法axiyj( x, y)向量的大小即向量的模（长度） ，记作| ab | 即向量的大小，记作 a 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量： 长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量 a 0 a 0 由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量， 故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有 “非零向量”这

2、个条件（注意与 0 的区别）单位向量： 模为 1 个单位长度的向量向量 a0 为单位向量 a0 1平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a b 由于向量可以进行任意的平移 ( 即自由向量 ) ，平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量， 只有大小、 方向两个要素， 起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量： 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可

3、以重合，记为 ab 大小相等，方向相同( x1, y1 )(x2, y2 )x1x2y1y22 向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 aba, bcb ，则 a +b = abbc = ac（1） 0aa0a ；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ：（1） 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线， 方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从减向量的终点指向被减

4、向量的终点当两个向量的起点公共时， 用平行四边形法则； 当两向量是首尾连接时， 用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ab bc cdpq qr ar ，但这时必须“首尾相连” 3 向量的减法 相反向量： 与a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a , 零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）(a) = a ； (ii)a +(a )=(a )+ a =0 ；(iii)若a 、b 是互为相反向量，则 a =b , b =a , a + b =0向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与b 的差，记作： aba( b)求两个向量差的运算，叫

5、做向量的减法作图法： a起点）b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、b 有共同4 实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度与方向规定如下：（）aa ；（）当0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当0 时， a 的方向与 a的方向相反；当0 时， a0 ，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5 两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a共线有且只有一个实数，使得 b = a6 平面向量的基本定理：如果 e1 ,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1 ,2使： a1e12 e2 ，其中不共线

6、的向量e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意 :（1） 向量的加法与减法是互逆运算（2） 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3） 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线（重合）的情况（4） 向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关， 只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形， 以形观数， 用代数的运算处理几何问题， 特别是处理向量的相关位置关系， 正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂 直等 由于向量是一新的工具

7、，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例 1给出下列命题： 若| a | | b | ，则 a =b ； 若 a，b，c，d 是不共线的四点，则 abdc 是四边形 abcd为平行四边形的充要条件； 若a =b ， b = c ，则 a =c ， a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a / b ； 若a / b ， b /c ，则 a / c ，其中正确的序号是解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 abdc ， | ab | | dc |且 ab/ dc ，又 a，b，c，d是不共线的四点， 四边形 abcd为平行四

8、边形；反之，若四边形 abcd为平行四边形，则，ab/ dc 且|ab| | dc |，因此， abdc 正确 a =b ， a ， b 的长度相等且方向相同； 又b c ， b ， c 的长度相等且方向相同， a ， c 的长度相等且方向相同，故 a c 不正确当 a / b 且方向相反时，即使 | a |=| b | ，也不能得到 a = b ，故| a |=| b | 且a / b 不是 a = b 的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑 b = 0 这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习一方面要构建良好的知

9、识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想例 2 设 a、b、c、d、o是平面上的任意五点，试化简： abbccd ， dbacbd oaocobco解：原式 = ( abbc)cdaccdad原式= ( dbbd)ac0acac原式= (oboa)(occo)ab(occo)ab0ab例 3 设非零向量 a 、b 不共线， c =k a +b ， d =a +k b ( kr)，若 c d ，试求 k解： c d由向量共线的充要条件得： c = d ( r)即 k a +b =( a +k b )( k )a + (1k)b =0又 a 、 b 不共线由平面向量的基本定理k0

10、k11k0二. 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成 axiyj ，由于 a 与数对 (x,y)是一一对应的， 因此把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2 平面向量的坐标运算：(1) 若ax1, y1,bx2 , y2，

11、则 abx1x2 , y1y2(2) 若 ax1, y1 , bx2 , y2，则 abx2x1, y2y1(3)若a =(x,y) ，则a =(x,y)(4) 若ax1, y1,bx2 , y2，则 a / bx1 y2x2 y10(5) 若ax1 , y1,bx2 , y2，则 a bx1 x2y1 y2若 ab ，则 x1x2y1y203 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算类型向1 平 行四 边形a b (x1x2,y1y2)abba量法则的2 三角形法则(a b)c a (b c)abbcac加法向三角形法则

12、量a b (x1x2,y1y2)aba( b)的减法a(x,y)(a)()a()aaa向 a 是 一 个 向量 ,的 满足:乘 0 时, a 与abbaoboaab法a 同向;0 时,a 与a 异向;=0时 ,(ab)aba baba = 0向a量b 是一个数a bx1x2y1y2abbaa0 或b的数a b=00时,( a) ba ( b)(a b量a0 且 b0积时,(ab)cacbca b |a|b|cosa,b| a |a 2| a |2,x2y2| ab | | a | b |例 1 已知向量 a(1,2), b( x,1), ua2b ，v2ab ，且 u / v ，求实数 x 的

13、值解：因为 a(1,2), b( x,1), ua2b ， v2ab所以 u(1,2)2(x,1)(2 x1,4) ， v2(1,2)( x,1)(2x,3)又因为 u / v所以 3(2 x1)4(2x)0 ，即10 x5解得 x12例 2 已知点 a(4,0), b(4,4),c(2,6) , 试用向量方法求直线 ac 和ob（ o 为坐标原点）交点 p 的坐标解：设p(x,y) ，则 op(x, y), ap( x4, y)因为 p 是 ac 与ob 的交点所以 p 在直线 ac 上，也在直线 ob 上即得 op / ob, ap / ac由点 a(4,0), b(4,4), c(2,6

14、) 得， ac( 2,6), ob(4,4)6( x4)2 y04x4y033得方程组x解之得y故直线 ac 与ob 的交点 p 的坐标为 (3,3)三平面向量的数量积1 两个向量的数量积：已知两个非零向量 a 与b ，它们的夹角为，则a b = a b cos叫做 a 与b 的数量积（或内积）规定 0 a02 向量的投影： b cos= a b| a |r，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影3 数量积的几何意义：a b 等于 a 的长度与 b 在a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：a aa 2| a |25 乘法公式成立：ababa 2b222ab；2aba

15、22a bb 222a2a bb6 平面向量数量积的运算律：交换律成立： a bb a对实数的结合律成立：aba babr分配律成立： abca cb ccab特别注意 ：（1）结合律不成立： abca bc ；（2） 消去律不成立 a ba c不能得到 bc（3） a b =0不能得到 a =0 或b =0 7 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 a( x1, y1), b( x2 , y2) ，则 a b = x1x2y1 y28 向量的夹角： 已知两个非零向量a 与b ，作 oa = a ,ob =b , 则 aob=（ 00180 0 ）叫做向量 a 与b 的夹角cos= cos

16、a,bab=x1 x2y1y222abx1y122x2y20当且仅当两个非零向量 a 与b 同方向时， =0 ，当且仅当 a 与b 反方向时=1800，同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9 垂直： 如果 a 与b 的夹角为 900 则称 a 与b 垂直，记作 a b10两个非零向量垂直的充要条件 ：a ba b ox1x2y1 y20 平面向量数量积的性质例 1 判断下列各命题正确与否：（1） 0 a0 ；（ 2） 0 a0 ；（3）若 a0, a ba c ，则bc ；若 a ba c ，则 bc 当且仅当 a0 时成立；（5） ( a b)ca (b c) 对任意a, b,c 向量都成立；2（6） 对任意向量 a ，有 a 2a解：错； 对； 错； 错； 错；对例 2 已知两单位向量 a 与b 的夹角为120 0 ，若 c2a bd,b3 a，试求 c 与d 的夹角解：由题意， ab1 ，且 a 与b 的夹角为 120 0 ，所以，a ba bcos12001 ，2222cc c(2ab) (2ab)4a4a bb7 ，c7 ，同理可得d13而c d(2a