《函数单调性》的教学案例剖析

1、函数单调性教学案例1. 【案例背景】“函数的单调性 ”是新课标人教版数学 1第一章第三节的教学内容。 “课标 ” 规定两个课时，所选案例为第一课时。函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始， 之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，不仅要用到以前学过的函数知识，还要由这些知识出发获得函数自身的更深人的认识，并由这些认识解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对

2、后面几节的知识产生正迁移作用。2. 【教学内容分析】首先，从单调性知识本身来讲 .学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段， 第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性 .高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化， 又为高三的学习奠定基础其次，从函数角度来讲 . 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念 .函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时

3、，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据 .最后，从学科角度来讲 .函数的单调性是学习不等式、极限、 导数等其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材 .3. 【学情分析】高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单调性的本质是利用定量的方法来

4、研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新问题其次重视学生发现的过程充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程最后重视学生的动手实践过程通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义4. 【教学过程】一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，

5、2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的7 月25 日推迟到8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事 .下图是北京市今年8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题 1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考）【设计意图】 通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，让学生感受到函数的单调性

6、和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。生 1（主动回答）： 04 时，温度下降， 414 时温度上升， 14 24 时温度下降。问题 2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小设计意图 由生活情境引入新课，激发兴趣二借助图象，直观感知问题 3：观画出 y=x 和 yx2 的函数图象，回答下面两个问题：分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？【设计意图】顺应学生的认知规律。（小组合作探求）生 1：一次函数 y=x 其定义域上是上升的，二次函

7、数 y x2 是先下降后上升。师：这样回答准确吗？生 2：一次函数 y=x 在区间（-，+）上是 “上升 ”的；二次函数 y=x2 在区间（ -， 0）上是 “下降 ”的，（ 0，-）上是 “上升”的。同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升 ”或 “下降 ”的特征描述出来吗？【设计意图】 有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间）这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过几何画板 展示 y=x 图象上 A 点的运动情况，让学生观察 x， y 值的变化。师（及时提问）：同学们能用数学语言把 y=x 图象 上升 的特征描述出来吗？生 3：该函数随着 x 的值增大， y 的值相应的增大。师（面

8、向全体学生）：大家同意生 4 的回答吗？生 4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（ -，+）上随着 x 的值增大，y 的值相应的增大。师：生 5 补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函数 y x2 呢？生 5：函数 yx2 在区间（ -，0）上随着 x 的值增大， y 的值相应的减小；在区间（ 0， +）上是随着 x 的值增大， y 的值相应的增大。师：在数学上，我们把y 随着 x 的增大而增大，称为增函数；把y 随着 x 的增大而减小，称为减函数。三探究规律，理性认识问题 4：如何从解析式的角度说明f ( x)x 2 在 0,) 为增函数？生 6：因为 12,f (

9、1)f (2),所以f ( x)x 2 在 0,) 为增函数生 7 ：因为1 234 5f (1)f (2)f (3)f (4) f (5)所以 f ( x)2在，x 0,) 为增函数生 8：不对，以上只在两个或有限个特殊值之间进行比较，不能代替所有值。师：很好，所有的都拿出来比较，能做到吗？一一列举行吗？（意图：通过这一问题，让学生联想到用字母符号来表示任意的数值）生：拿两个就行了。师：原来不都是每次拿两个来进行比较的吗？为什么不行？生（终于明白）：任意两个。师：找任意两个？怎样能做到这一点。生：用字母表示数字。师：更清晰一点说呢？生：用 x1 , x2 表示两个变量，用f ( x1 ),

10、f ( x2 ) 表示对应的函数值。师：好，请大家回想一下上述过程，试用x1, x2 、f ( x1 ), f (x2 ) 来刻画增函数的定义。学生尝试用符号表达单调增函数的定义，师生共同修正：任取x1, x2 0,), 且 x1x2 ,因为x12x22( x1x2 )( x1x2 )0 ,即x12x22 ，所以f (x)x2 在 0,) 为增函数对于学生错误的回答， 引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析 ,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 x1 , x2 设计意图 把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度, 完成对概念的第二次认识

11、事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.四抽象思维，形成概念问题 5：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义板书定义：函数的单调性：设函数f(x) 的定义域为 I.如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, 当 x1x2 时：若总有 f(x1)f(x2),则称函数 y=f(x) 在这个区间上是减函数。如果函数y=f(x) 在某个区间上是增函数或减函数，则称函数y=f(x) 在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间。师：你能否举出一个具体函数的例子，使它在区

12、间(,) 上对任意 x1x2 ，总有f (x1)f (x2 )生：f ( x)x师：你能否举出一些具体的例子，使它在区间(0) 上，对任意的x1x2 ，总有f (x1)f ( x2)生：f ( x)1， f ( x)x2x【设计意图】 打通抽象与具体之间的联系。单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性；对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 (如一次函数 )，可以是定义域内某个区间 (如二次函数 )，也可以根本不单调 (如常函数 )，因此单调性是函数的局部性质。问题 6：依据上述定义，试判断函数f ( x)x在（ 0，+）上是增函数还是x1减函数，并给予证明

13、。（小组合作交流）【设计意图】 让学生体会符号化，形式化的必要性。生 9：老师，该函数的图象是什么？师：这位同学问得非常好，那么在不知图象的前提下，我们能得知该函数是增还是减吗？（让学生大胆的去猜想）生 10：可以用定义法证明函数f ( x)x在（ 0，+）上是增函数。x1师：那么具体怎么证明呢？带着这个问题让我们先来看例1.例 1.证明函数 f ( x)1在 (0,) 上是增函数x1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取 x1, x2(0,), 且x1x2 ,f ( x1 )f ( x2 )11x1x2x2x1x1x2x1x2 , x1x20, x1 x2 0 f

14、( x1 ) f ( x2 )0, 即 f (x1 ) f ( x2 ),函数 f ( x)x2 在 (2,) 上是增函数x2归纳解题步骤设元求差变形断号定论引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论问题 7：能用定义法证明 f (x)1在 (,0) 上是增函数么？x问题 8：能证明 f ( x)1在 (,0)(0,) 上是增函数么？x设计意图 函数在定义域内的两个区间 A, B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上是增（或减）函数五、巩固概念，适当延展练习1：试判断函数f ( x)x在（ 0，+）上是x1增函数还是减函数，并给予证明。（最后教师用 “几何画

15、板 ”作出 f (x)x的图象）x1练习 2：证明函数 f ( x)x 在 0,) 上是增函数问题 8：要证明函数 f (x) 在区间 (a, b) 上是增函数，除 了 按 以 上 步 骤 来 证 ， 如 果 可 以 证 得 对 任 意 的x1 , x2 (a, b) ， x1x2，都有 f (x2 )f (x1 )0 可以吗 ?x2x1引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x)x 在 0,) 上是增函数设计意图 初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔(2) 巩固概念练习 3：判断题：1）

16、 已知 f (x)1 ,因为 f ( 1) f ( 2), 所以函数 f ( x)是增函数 x2）函数f ( x)2, 对任意 x0满足 f ( x) f (0),则函数f (x)在 ，上为增函数 x0)）因为函数 f ( x)1,0)和 (0, )上都是减函数，所以1在3在区间 (f ( x)xx( ,0) (0,) 上是减函数 .设计意图 让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的 第三次认识 . 六、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结1小结(1) 概念探究过

17、程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等2. 课后探究：研究函数 yx1 (x 0) 的单调性，并结合描点法画出函数的草图x5. 【课堂教学实录】教学教学活动问题呈现环节一、创设情境，引入课题课前布置任务：(1) 由于某种原因， 2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因 .(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况 .课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬

18、，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降， 比较适宜大型国际体育赛事 .下图是北京市今年8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图 .引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考生 1（主动回答）： 04 时，温度下降， 4 14 时温度上升， 14 24 时温度下降。归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小问题 1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考）问题 2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等问题 3：观画出 y=x 和生 1：一次函数 y=x 其定义域上是上升的， 二次函yx2 的函数图象，

19、回数 yx2 是先下降后上升。师：这样回答准确吗？生 2：一次函数 y=x 在区间（ -，+）上是“上升 ” 的；二次函数 y=x2 在区间（-，0）上是 “下降 ”的，（ 0，-）上是 “上升 ”的。这时学生们思维较为混乱， 无从下手。教师及时通过 几何画板 展示 y=x 图象上任意 A 点的运动情况，让学生观察 x， y 值的变化。师（及时提问）：同学们能用数学语言把 y=x 图象上升 的特征描述出来吗？生 3：该函数随着 x 的值增大， y 的值相应的增大。师（面向全体学生）：大家同意生 4 的回答吗？生 4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-，+）上随着 x 的值增大， y 的值

20、相应的增大。师：生 5 补充的很好，明确提出了函数变量在对答下面两个问题：分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？ 同学们能用数学语言 把这两个函数图象“上升 ”或“下降 ”的特征描述出来吗？二 借 助 图象，直观感知应区间上的变化情况，那么函数yx2 呢？生 5：函数 yx2 在区间（ -， 0）上随着 x 的值增大， y 的值相应的减小；在区间（ 0， +）上是随着 x 的值增大， y 的值相应的增大。师：在数学上，我们把 y 随着 x 的增大而增大， 称为增函数；把 y 随着 x 的增大而减小，称为减函数。生 6 ：因为 12, f (1) f (2) ,所 以

21、 f ( x)x 2在 0, ) 为增函数生 7：因为1 2 34 5 ， f (1) f (2) f (3) f (4)f (5)所以 f (x)x 2 在 0, ) 为增函数问题4：如何从解生 8：不对，以上只在两个或有限个特殊值之间进析 式 的角 度 说 明行比较，不能代替所有值。f ( x) x 2在 0, ) 为师：很好，所有的都拿出来比较，能做到吗？一一增函数？三探究规律，理性认识列举行吗？（意图：通过这一问题，让学生联想到用字母符号来表示任意的数值）生：拿两个就行了。师：原来不都是每次拿两个来进行比较的吗？为什么不行？生（终于明白）：任意两个。师：找任意两个？怎样能做到这一点。生

22、：用字母表示数字。师：更清晰一点说呢？生：用 x1, x2 表示两个变量， 用 f ( x1 ), f ( x2 ) 表示对应的函数值。师：好，请大家回想一下上述过程，试用x1 , x2 、f ( x1 ), f ( x2 ) 来刻画增函数的定义。学生尝试用符号表达单调增函数的定义师生共同修正：任 取x1 , x2 0, ), 且 x1 x2, 因 为x12x2 2( x1x2 )( x1x2 ) 0 , 即 x1 2x2 2 ， 所 以f ( x)x 2 在 0,) 为增函数对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析 ,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导

23、学生在给定的区间内任意取两个自变量 x1 , x2 师生共同探究，得出增函数严格的定义， 然后学生类比得出减函数的定义板书定义：yyf ( x1 )f ( x ) f ( x2 )f ( x1 )2Ox1 xx2xxO12x（一）、函数的单调性概念设函数的定义域为A，区间I , 如果对于任意的x1 、 x ，当 x1 x 2 时，都有 f(x 1)f(x ) ，则称函数f(x) 在区间上严格递增的称区间是f(x) 的单调上升区间。如果对于任意的x、x，当 x x 时，都有 f(x) f(x ) ，则称函数f(x) 在区间上严格递减的（或者说函数f(x)在区间上是减函数，称区间是f(x) 的单调

24、下降区间。如果 f(x) 在定义域上是严格递增的（或严格递减的） ，则称f(x) 是严格单调函数。函数在某个区间上递增或递减的性质统称为函数的单调性。师：你能否举出一个具体函数的例子，使它在区间(,) 上对任意 x1x2 ，总有 f (x1 )f (x2 )生： f (x)x师：你能否举出一些具体的例子，使它在区间(0)上，对任意的x1 x2 ，总有 f ( x1 ) f ( x2 )生： f (x)1， f (x)x2x问题 5：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗 ?生 9：老师，该函数的图象是什么？师：这位同学问得非常好，那么在不知图象的前提下，我们能得知该函数是增还是减吗？ （

25、让学生大胆的去猜想）生 10 ：可以用定义法证明函数f (x)x在（ 0，+）x1上是增函数。师：那么具体怎么证明呢？带着这个问题让我们先来看例 1.例 1.证明函数 f ( x)1在 (0,)上是增函数x1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流四抽象思维，形成概念证明：任取 x1 , x2(0,), 且x1x2 ,设元f ( x1 )f ( x2 )11求差x1x2x2x1变形x1x2x1x2 , x1 x20, x1 x2 0 f ( x1 ) f (x2 )0, 即 f (x1 )f ( x2 ),断号函数 f ( x)x2 在 (2,) 上是增函数 . 定论x2归纳解题

26、步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤： 设元、作差、变形、断号、定论结论：函数在定义域内的两个区间A, B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB 上是增（或减）函数问题 6：依据上述定义，试判断函数 f (x)xx 1在（ 0， +）上是增函x数还是减函数，并给予在（ 0，+）上是增函证明。（小组合作交流）练习 1：试判断函数 f (x)x 1数还是减函数，并给予证明。（最后教师用 “几何画板 ”作出 f ( x)x的图象）x1练习 2：证明函数 f ( x)x 在 0,) 上是增函数引导学生分析这种叙述与定义的等价性让学生尝试用这种等价形式证明函数f ( x)x 在 0,) 上是增函

27、数练习 3：判断题：1） 已知函数 f (x)1 ，因为 f (1)f (2) ，所以函数f(x) 是增函数x2） 已知函数 f ( x)x2 ，对任意 x0，都有 f (x) f (0) ，因此 f(x) 是 (0,) 上增函数。3） 已知 f (x)1 在 (,0) 和 (0,) 上都是减函数，则x在 ( ,0)(0,) 上也是减函数。小结 :1、函数单调性的概念，增（减）函数的概念，注意关键词2.判断函数单调性的方法：（ 1）图像法（从“形”的角度）（2）定义法（从“数”的角度）问题 7：能用定义法证3、函数单调性的证明步骤：明 f (x)1 在 (,0) 上x取值作差变形判断符号下结论

28、。是增函数么？14、数学思想方法：数形结合思想。问题 8：能证明f ( x)x在 ( ,0)(0,) 上是课后探究：研究函数 y x1 ( x 0) 的单调性，并结合描点法增函数么？x画出函数的草图问题 9：要证明函数 f (x) 在区间 ( a, b) 上是增函数，除了按以上步骤来证，如果可以证得对任意的x1 , x2 ( a,b) ， x1x2 ，都 有 f (x2 )f (x1 )0x2x1可以吗 ?五、巩固概念，适当延展六、归纳小结，提高认识6. 【教学路线图】根据课堂活动的情况，本课的教学路线图如下：创设情境，引入课题借助图像，直观感之探究规律，理性认识抽象思维，形成概念巩固概念，适

29、当延展通过生活实例，初步引导学生观察函数图像上升下降趋势。通过具体函数，从感性认识初步上升到理性认识。探究具体函数单调性的定义，能用数学符号表示。探究一般函数单调性的定义，能用数学符号表示。运用定义，证明一般函数的单调性对于本节课进行总结，强调突出注归纳小结，提高认识意点。7. 【教学过程的整体分析】本节课通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的学习、能力的培养二个方面收获都比较大，基本上达到了预期的教学目的。在整个教学过程当中收获了以下几点心得：1、概念教学就是对知识发生过程的了解，数学概念是一系列常识不断精细化的结果，之所以要进一步形式

30、化，完全是数学精确性、严密性的要求。本案例通过“直观 ”到 “抽象 ”的跨越，使学生意识到自己能力上的缺陷， 从而引发认知上的不平衡，产生学习的动力。2、概念形成困难的原因在于新旧知识结构上的矛盾（如语言形式上的差异太大，学生认知水平、抽象水平与新内容的要求落差大等），所以解决的策略应是要培植知识的生长点，搭建恰当的脚手架。为此，我循序渐进、螺旋式地设计了问题组和运用了信息技术， 是学生从 “形 ”到“数”有了清新的认识。 学生的知识得到不断重组和内化，从而使学生形成了完整的知识体系和良好的认知结构，也优化了课堂的教学结构。3、以学为本，因学论教，围绕学生的学习需求设计和推进学习过程。在学习过

31、程中，把学习的权利还给学生，把思考的时间留给学生，把发现的过程给学生，把概括总结的机会给学生，使学生说出自己的思路、讲述研究的过程、表达形成的见解、阐述最终的成果。实际的教学效果是学生自主创新力有所提高参与积极性高，但“角色 ”转换不太到位，不能放开手脚自主担当。4、在教学过程中，注重了小组合作这一有效地实现调动、研讨、交流、合作的学习形式，突出了个体和集体力量的和谐统一，在挖掘学生学习的潜能、促进学生的个性发展以及综合素质的提高上，有所效果，使教学成为课程创生与开发的过程，这是新课程理念所倡导的。5、在教学中相信学生也是非常重要的，教师要敢于放手，学生才能有效地自主学习，相信学生的能力，相信

32、学生的工作，教师要做的就是在适当的时候给予学生合适的指导和帮助，但在讨论问题时，场面有些混乱，学生不能高效学习，对课本依赖性强，教师的引导不到位。学生的潜能太大了，需要我们提供和搭建一个让他们尽情发展的平台。新课程改革就是要通过我们的努力工作，通过我们的不断实施，为他们创造这样的一个最有利于他们发展的机会，给他们以时间和空间，帮助他们成才，帮助他们成功。8. 【教学过程的局部分析】1.情境问题的处理：本着 “以新课程标准为依据，教师为主导，学生为主体，注重过程，探究合作”的原则进行设计与教学，因此创设情境的关键是有利于学生发现问题从而揭示数学本质，本节课创设的情境既体现了单调性的本质，又与学生熟悉的生活经验和知识经验相联系，基本上达到了预期的教学目的。2.例题教学：本课例题教学的两个目的：一是让学生进一步了解单调性内涵，二是让学生感知单调性证明的要点与方法。本课讲解的例题证明过程注重数形结合，先让学生观察图像，形成感性认识；再给出形式化证明，突