2.1平面点集与多元函数ppt课件

1、第十六章第十六章 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 16.1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数 16.2 二元函数的极限二元函数的极限 16.3 二元函数的连续性二元函数的连续性 1. 简要介绍多元函数的概念(一元函数只依赖一个自变量，多元函数依赖多个自变量)。2. 多元微积分是一元微积分的推广（思想方法完全一致；同样有：极限、函数、连续、导数、微分、积分几个部分；许多结论可以完全类似地给出；但是，也有部分内容，多元与一元是不一样的。应当注意！）引言3. 二元函数是多元函数的代表特别是在微分学中）。一元函数推广到二元函数，不论是本质上，还是形式上都不相同。差异较大。而二元函数推广到

2、n元函数n3），形式上稍有差异，本质相同。因而，二元函数有，书写简便，内容直观，又能反映出多元函数的特征。我们将重点研究二元函数。16.1 平面点集与多元函数平面点集与多元函数 一.平面点集:由平面解析几何知道，2(1) ( , )x y R有序数对.坐标平面(1 1) ( , )x y数对平面上的点. 等同2(2) R 的子集平面上的点集. 等同(3) ( , )( , ),P a bQ c d点与点之间的距离 定义为22( ,)P Qacbd( , )|0 x yx ( , )|0 x yx a( , )|x yxaxyoyaxbxyo , , a bc dxyo 矩形域 ( , )| 1

3、x yxyxyo1111 圆域：开圆，闭圆，圆环，圆的某个部分. xyoaaaa222( , )x y xyaxyoaaaa222( , )x y xyaxyoaaaabbbb2222( , )x y axyb特别极坐标表示圆域 ( )x ryoa2aaa( , )|2 cos rra ( )xryoaa2aa( , )|2 sin rra角域： ( , )|ror222( , )x yxaya( , )|2 cos rra222( , )x y xyaa( , )|2 sin rra12( , ),( )( )xDx y axbxyx简单域 X 型域Y 型域12( , )( )( ),yDx

4、 yxxx cydxba1( )yx2( )yxxDxyocd1( )xx2( )xxyD2. 邻域邻域 A 00(,),A xy设是平面上一定点,一正实数(1) :平面点集2200( , )()()x yxxyy.A称为点 的圆形邻域00(2) ( , ),x yxxyy.A称为点 的方形邻域xyoxyoA A的圆形邻域与方形邻域,A统称为 的 邻域,( , ),( ).U AU A记为或(3) :平面点集2200( , ) 0()()x yxxyy0000( , ),( , )(,)x yxxyyx yx yA称为点 的去心邻域,( , ),( ).UAUA记为或 AxyoxyoA注：圆邻

5、域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心方邻域0000( , ),( , )(,)x yxxyyx yx y00( , )|0 | , 0 |x yxxyy与集.的区别xyoAxyoAEA 二.点集拓扑的基本概念:1.内点、外点和界点 22AE RR:设是上一点,平面点集定义，(1) 0, ( , )U AE如果使，.AE则称是的内点int,.EEE集合 的全体内点集表示为称为 的内部(2) 0, ( , )U AE如果使，.AE则称是的外点(3) 0, 如果有:( , )U AE， ( , )cU AE且.AE则称是的界点(边界点)AA,.EEE集的边界点 称为的边界.记为EA AA:说明E集合

6、的内点,E外点,界点E可能E可能的内点、外点集和边界 . xyo2211内点外点集边境,AE平面点集定 点义0,:如果有( , ),UAEAE则称 为 的聚点(极限点).()AEE的聚点 的任意邻域内,都有无穷多个 的点AP0AAE定义 ,AEE平面点集 点如果00,:如果使0( ,),UAEAE则称 为 的孤立点.2.(以凝聚程度分为) 聚点和孤立点: 1E:说明). ,.iAEEE的聚点可能亦可能). .ii孤立点是边界点). ;.iii内点是聚点 非孤立的边界点是聚点). ,iv既非孤立点 又非聚点 则必是外点.3. (以包含不包含边界分为)开集和闭集: 定义:E(1)如果点集的点都是内

7、点，int,.EEE即时 称 为开集221,( , )14Ex yxy例如.E则称为开集.为开集Exyo(2) ,.EEE如果 的聚点集时 称 为闭集.EE如 没有聚点,也称 为闭集. 存在非开非闭集2R和空集 为既开又闭集.E4. (以连通性分为)开区域、闭区域、区域： :定义(1) E平面点集 为连通集,P QE( ,), ( ,).L P QL P Q E连接的有限折线使: ( ,).L P Q注是由有限条直线段连接而成的折线EPQ( ,)L P Q(2) EEE平面点集 为开域是开集,且 是连通集.(3) EE平面点集 为闭域开域其边界.开域与闭域,统称为区域.E开域E闭域以上常见平面

8、点集均为区域 . .Ex 闭域必定是闭集5. 有界集与无界集:2:,ER设 是平面点集定义(1) E是有界点集0,;MEU o M使:(0,0).o 其中是原点(2) E是无界点集0,ME有:;U o M即不是有界点集,就是无界点集.EMEMGE,2. ,讨论下列各集的内点 界点 聚点例,边界,有界性,连通性;是开区域,还是闭区域.22(1) ( , )1 ;x y xyE(2) ( , )0,0 ;x y xyFF22(3) ( , )14 ;x yxyG有界,开区域无界开区域有界闭区域(4) ( , )cos ,sin ,0;x y xryrHH(5) ( , )0 ;x y xyIII(

9、6) , , ( , ),;a bc dx y axb cyd , , a bc dxyoabcd有界闭区域无界不是连通集有界闭区域6. ( ):d E点集的直径111222,:Px yPx y两点的距离22121212( , )PPxxyy212:,ERP PE设点集定义1212, ( )sup( , )P PEd EPP记.称为点集的直径( )d E:( )Ed E是命有界集题有限.7. 不等式：(1)221212()()xxyy12xx12yy或1212xxyy123(2) ,P P PE:有三角不等式121323(,)(,)(,)P PP PP Pxyo1P2P3P三. 点列的极限:

10、0:(lim)nnPP用邻域语言,定义定义 220,nPPRR设平面点列0,0,:NnN 如果有0(, ),nPU P 0,nPP则称点列收敛于点0: lim,nnPP记作0 , .nPPn或000(, ) ,(, ),nnnPxyPxy如果则1PnP2P2200+ ,nnxxyy00,nnxxyy且0(, ),()nPU P圆形0(, ),()nPU P方形0lim(),nnPP按方形邻域00, (1)nnxxyy,且, 于是0lim (),nnPP按圆形邻域0,0nP P2200+ 0. (2)nnxxyy22000000()()nnnnnnxxxxyyxxyyyy或(1),(2)成立成立

11、00lim(),lim().nnnnPPPP故按方形邻域按圆形邻域0. lim,3nnPP例0,0nP P00nnxxyy,且000,nnnP xyP xy其中0,4. PE设 为点集 的一个聚点例0 , lim.nnnPEPP则 点列使0:,PE是 的聚点证由定义明00, (, )UPE有:0, 0(,),PEP P即使1, 取1,PE10 0( ,)1,P P使2,取2,PE20 0(,)1 2,P P使, n取,nPE0 0(,)1,nP Pn使,nPE如此下去 得一平面点列0 (,)0,nP P使0limnnPP即在实数(数轴上的点)的连续性理论中,有几个描述连续性的定理,这些定理可以

12、推广成坐标平面上的点的连续性理论.其中有:闭区域套定理、柯西收敛准则、聚点定理（魏尔斯托拉斯定理）、有限覆盖定理。它们是极限理论的基础。1. Cauchy收敛准则: (柯西收定理敛准则) 2, nP R设则 nP 收敛0,0,: ,.n pnNnNpPP N 有 nP称为柯西列22(, ),()().nnnnn pnn pPxyxxyy设则,n pnPP: (, )Cauchy Cauchynnnnxyxy引为列和均为理列: 证明0,0,:NnNp N有22()()nn pnn pxxyy, .nn pnn pxxyy且（与一元函数平行地有） Cauchynnxy和均为列 0,0,:NnNp

13、N有2, 2.nn pnn pxxyy且22()()nn pnn pnn pnn pxxyyxxyy(, )Cauchynnxy为列.柯西收敛准则的证明: nP收敛 nnxy和均收敛 nnxy和均为柯西列. nP为柯西列.2. 闭集套定理: （与一元函数平行地有）()闭域定套定理理2,:nDR设是中的闭域列 它满足1( ) , 1,2,;nniDDn( ) (), lim0,nnnnii dd Dd0, 1,2,.nPDn则存在惟一的点:证明分析01. ,P用柯西准则 先构造柯西列 逼近所求002. ,.nnnPDDPD是的聚点闭 故03. .P证 的唯一性oxynDnPnDn pDoxynP

14、n pP:()证明存在性, 1,2,nnPDn取点,n pnDD由于,nn pnP PD因此,nn pnP Pd从而有.n 0, nP由柯西收敛准则,知收敛,20limnnPPR设,n任意取定 , p对任何正整数有:n pn pnPDD,p 令nD是闭域,nD是闭集,0nPD而 是的聚点,0lim,n pnnPPD1,2,n ()唯一性00, 1,2,nP PDn设则00,P P00,nnP PP P2nd.n 0,00,0,P P00.PP即/,nD闭域套定理中,闭域换为闭集 得闭集套定理.E3. 聚点原理: Weierstrass聚点原理. （与一元函数平行地有）()定理 聚点定理2,E

15、R设为有界无限点集2.ER则 在中至少有一个聚点:(,)证明分析用区域套定理 四分法1.,构造闭域套 套出要找的 点2.,E验证 此 点 是 的聚点.1D:证明,E由于 是平面有界集合1,DE闭矩形E1D11, ,DD连接矩形对边中点 把分成四个小矩形, 则这四小矩形中 至少有一个小闭矩形,E含有 中无限多个点,2;D记此小闭矩形为2,D再对如上法 分成四个小矩形 其中又有一个E小闭矩形含有 中无限多个点,3.D记此小闭矩形为,:如此下去 得一个闭矩形序列123.DDD,显然(1) 0, ()nDn 的边长(2) nDE每个含有 中无限多个点.0,nMD由闭域套定理1,2,.n 2D3D,0U

16、M0.ME下面来证,是 的聚点00,: ,UME即证,有0, (),nDn的边长,2nnD当 充分大时,可使的边长0,nDUM就有:0(2),UME由中含有 中无限多个点,0,UME./(Weierstrass)推论聚点定理 .knnPP2R有界无限点列必存在收敛子列(自证)Dn4. 有限复盖定理:（与一元函数平行地有）()有限覆定盖定理理2,DR设为一有界闭域为一开域族,DD它们覆盖了即12,n 则在中,必存在有限个开域,1,().niiDD它们同样覆盖了即证明思想:用闭区域套定理来证(反证法).(1).构造闭区域套,套出一点,(2)推矛盾.(自证)说明:此定理中,域集,定理结论依然成立.上

17、述命题是等价的.五.二元函数: 1. 二元函数的定义、记法、图象：2:,;.DDMRR给定一个平面点集定义, f如果按照某一确定的对应法则D内每一数对( , ),P x yzM有唯一的一个实数与它相对应,fD则称 是定义在 上的二元函数 记作:fDM.Df其中平面点集 称为函数 的定义域, ( , ),fDx yz根据法则中任一点所对应的实数( , ),fx y称为 在点的函数值 记作( , )( ).zf x yzf P或Pzf函数 的全体函数值的集合()( , ),( , )f Dz zf x yx yD.M.f称为函数 的值域( , ),Dx yxy把定义域 中的点的两个坐标 与 作为变

18、量看待,.fzf称这两个变量为函数 的自变量 称为函数 的因变量()zxy或称 为 与 的二元函数与一元函数一样, 二元函数的记号:fDM:( , ), ( , )zf x yx yD常表为, ,这个函数的表达式 既给出了函数关系又指明了定义域,还便于算函数值.Pz二元函数的图象:3( , )zf x yR二元函数能够用三维空间的3:R几何图象表示.称中点集, ,( , ) ( , )x y f x yx yD( , ), ( , ).zf x yx yD为函数的图象二元函数 f 的图象通常是一张曲面. f 的定义域D便是这张曲面在xoy平面上的投影.xyzoxyzsin 例如,图形如右图.2

19、222azyx 例如,如左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支:2. 定义域：5例 .求定义域:22229( ). ( , );1xyif x yxy2ln( ) ( , ).ln(1)yii f x yyx:( ).i解 ( , ), f x y要使函数有意义 当且仅当222210,90.xyxy 22 19xy即( , )f x y函数的定义域为圆环22( , )19 .x yxy()如图所示1xyo3D( ) ( , ), iif x y要使函数有意义 当且仅当220,10,11.yyxyx 22 1,0 xyxy 即且( , )f x y函数的定义域为22( , )1,0 .Dx y xyxy 且()如图所示2yx21yxxyo问:多元函数的定义域的确定方法?例6 求 的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 3. 二元函数求值 2 ( , )23, (1, 1) , 1 ,.7.yf x yxyffx求例:解(1,1)f22