数学函数论文

1、本 科 毕 业 论 文学 院 数学与计算机科学 专 业 数学与应用数学 届 别 2012届 题 目 函数一致连续性的判定与应用 学生姓名 朱晓龙 学 号 20080740420 指导教师 杜晓朴 教 务 处 制云南民族大学毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。本声明的法律结果由本人承担。 毕业论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日关于毕业论文（设计）使用授权的说明本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，即：学校有权保留

2、、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文（设计）。（保密论文在解密后应遵守）指导教师签名： 论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日目录1 引言42 函数的连续与一致连续的关系52.1函数连续、一致连续及非一致连续的概念52.2 函数连续性与一致连续性的关系63. 函数一致连续性的判定与性质73.1 函数一致连续性的充分条件（判定）73.2 函数一致连续性的必要条件（性质）123.3 函数一致连续性的充要条件124 函数一致连续性的应用155 致谢166 参考文献17函数一致连续性的判定及应用朱晓龙（云南民族大学 数学与

3、计算机科学学院 云南昆明 650500）摘要：本文从函数连续与一致连续的概念和关系出发，主要对一元函数在不同类型区间上函数一致连续的判定方法进行了讨论，总结和应用，并且将部分判定一元函数一致连续的方法推广到了多元函数，使大家对函数一致连续的内涵有更全面的理解和认识。关键字：函数，连续，一致连续函数decisions of uniformly continuous function and applicationzhu xiao long（school of mathematics ,yunnan university of nationalities , kunming 650500 yunn

4、an）abstract: from the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of uniformly continuous function in different kinds of intervals. moreover, we extend some of the results to function with many variables in different region.ke

5、y words: function; continuity; uniformly continuity1 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。函数在某区间内连续，是指函数在该区间内每一点都连续，它反映函数在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数的变化趋势及性质。因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。2 函数的连续与一致连续的关系2.1函数连续、一致连续及非一致连续的概念2.1.1

6、定义定义1 函数在某内有定义，则函数在点连续是指，使得当时，有 。 定义2 设函数在区间上有定义，若对，只要，就有， 则称函数在区间上一致连续。定义3 设函数在区间上有定义，若，使，总，虽然有， 但是 ， 则称函数在区间上非一致连续。2.2 函数连续性与一致连续性的关系函数在区间上连续与一致连续是两个不同的概念，但它们之间也有联系。函数在区间上一致连续性一定连续，反之，函数在区间上连续则不一定一致连续性，具体有如下结论：（1） 函数在区间上一致连续，则在上连续。例1 证明函数在内每一点都连续，但在内不一致连续。证明: 先证连续：，有=得征函数在内每一点都连续；再征函数在内不一致连续：取 ，对（

7、充分小且不妨设），取，则虽然有 ， 但 。 所以函数在内不一致连续。（2） 在闭区间上连续的函数在上一致连续。总的来说，我们可以在一点处讨论函数的连续性，却不能在一点处讨论函数的一致连续性。函数的连续性反映的是函数的局部性质，而函数的一致连续性则反映的是在整个区间上的整体性质3. 函数一致连续性的判定与性质3.1 函数一致连续性的充分条件（判定）定理1（contor定理） 若函数在上连续，则在上一致连续4。分析：用闭区间套定理来证明。由函数一致连续的实质知，要证在上一致连续，即是要证对，可以分区间成有限多个小区间，使得在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于。证明：若上述事实不成立，则至少存在

8、一个，使得区间不能按上述要求分成有限多个小区间。将二等分为 、则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为；再将二等分为 、依同样的方法取定其一，记为；.如此继续下去，就得到一个闭区间套，n=1，2， ，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足 且属于所有这些闭区间，所以，从而在点连续，于是， 当时,就有 。 于是我们可取充分大的k，使,从而对于上任意点，都有。因此，对于上的任意两点， 。 这表明能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间的取法矛盾，从而得证。注：定理1对开区间不成立。例如函数在内每一个点都连续，但在该区间并不一致连续。定理2 在内一致连续的充分条件是在内连续，且都存在

9、。证明：（1） 先证在上一致连续。令，由柯西收敛准则有对使对，有 。 现将分为两个重叠区间和，因为在上一致连续，从而对上述，使，且时，有 。 对上述，取，则，且，都有 。 所以函数在内一致连续。（2） 同理可证函数在内一致连续。由（1）、（2）可得在内一致连续。注：若将分为和，则当与分别在两个区间时，即使有，却不能马上得出的结论。由定理2还容易得出以下推论：推论1 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论2 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。推论3 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论4 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。例1 判定下列函

10、数在指定区间上是否一致连续。（1）；（2）；（3）。解：（1） 易见在内连续，且， 即与都存在，从而在内一致连续。（2） 易见在内连续，且， ， 因此在内一致连续。（3） 易证在内连续，且， ， 所以在内一致连续。定理3 连续函数在区间内非一致连续的充分条件是和至少有一个不存在。定理4 连续函数在区间非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，使得，但。 例 证明函数在上非一致连续。证明：法一 ，对，虽然有， 但是 。 所以在上非一致连续。现在利用判别法4证明该例题。法二 取，则， 但是 。 所以由判别法4知在上非一致连续。注 利用这两个判别法证明函数在区间上非一致连续的优点是易见的：它不用直

11、接确定找满足，而只须观察和的存在性或找出两个数列和满足判别条件即可。定理5 若函数在区间上满足利普希茨（lipschitz）条件，即存在常数，使得对都有 成立，则在区间上一致连续。证明：因为函数在区间上满足lipschitz条件，即，有，于是对，取，只要，就有 。故函数在区间上一致连续。例1 证明函数在上一致连续。证明：由于对，使得，都有 ， （3-16）即在上满足lipschitz条件。所以函数在上一致连续。定理5仅仅是函数在区间上一致连续的充分非必要条件，如下例例2 证明在上一致连续但不满足lipschitz条件。证明：在上连续，由contor定理在上一致连续。取 显然，且有 ， ， 。

12、从而，对任意充分大的正整数，总存在使得， 即 。 故在上一致连续，但在上不满足lipschitz条件。由著名的利普希茨（lipschitz）条件得到启发，还可得推论 设存在，使对任意，都有成立，且在区间上一致连续，则在区间上一致连续。证明：由在区间上一致连续，则，就有， 于是，对上述，只要，就有 。 故在区间上一致连续。3.2 函数一致连续性的必要条件（性质）定理1 函数在区间上一致连续，则在上连续。定理2 若函数在有限区间上一致连续，则在上有界。定理3（牛顿-莱布尼茨公式） 若函数在上连续，且存在原函数，即，x，则在上可积，且。定理3 若函数在上可积，在上连续，且出有限个点外有，则有。3.3

13、 函数一致连续性的充要条件定理1 函数在内一致连续在连续，且与都存在。证明： 若在内一致连续，则对，当时，有 ， 于是当时，有。 根据柯西收敛准则，极限存在，同理可证极限也存在，从而在连续，与都存在。 若在连续，且和都存在，则令 于是有在闭区间上连续，由contor定理，在上一致连续，从而在内一致连续。根据定理2容易得以下推论：推论1 函数在内一致连续在连续且存在。推论2 函数在内一致连续在连续且存在。 注： 当是无限区间时，条件是充分不必要的。例如，在上一致连续，但是，不存在。定理2 设是定义在上的以为周期的周期函数，则在上一致连续的充要条件是在上连续6。证明： 必要性易证，下证充分性。 因

14、为在上连续，所以在上也连续，从而一致连续。因此，对，使得对，且，有 。 ，且，不妨假设且，即 。 （1） 若，则， 此时 ， 故 。 （2） 若，则， 此时 且，故。 综上所述，函数在上一致连续。注 运用定理2，易得三角函数等周期函数在上一致连续，较之用函数一致连续的定义来证明简单。定理3 函数在区间上一致连续，只， 就有 。 证明： 由在上一致连续知，使得，只要，就有 。 又，知，对上述存在，有 ， 从而对有 ， 即 。 若不然，则必存在，虽然， 但是 。 显然 ， 但是 。 推出矛盾，故在一致连续。注 此定理主要用来判定函数非一致连续。4 函数一致连续性的应用若函数在区间上可导，其导函数在

15、区间上的性质与函数f(x)在上的一致连续性有密切的关系。4.1 若在上可导，则当且仅当0）则在区间上一致连续。4.4幂函数y=，在定义域的有限区间（开或闭）上一致连续，在无限区间上（以（0，）为例）有如下结论：4.4.1 y=在（0，）上：非一致连续（破坏点为0），1。 若在区间i上满足莱普栖茨条件，则复合函数,r的一致连续性与在相应区间上的一致连续性保持一致。注意：这里所说的“一致连续性保持一致”指的是函数曲线的图像都是“平缓”的或都是“陡峭”的，但其具体状态不尽相同。实际上，判别函数在区间上一致连续的指导思想还有很多，例如（1） 一致连续函数的线线性：即 在区间上一致连续，r，则在上一致连

16、续；两个一致连续函数的积分不一定仍一致连续；（2） 一致区间可加性：即f分别在，上一致连续，且，则f在上一致连续。若=，则结论不成立。（3） 整体与部分性：即在区间上一致连续，j,则在j上一致连续，反之不然。致谢:本论文是在杜晓朴老师指导下完成的。她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。在此，我向杜老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！并感谢我的论文中被我引用或参考的文献的作者。在此表达我衷心的谢意！参考文献：1 朱时.数学分析札记m.贵州：贵州省教育出版社，1994：181-195.2 南京师范大学主编.数学分析选论m.江苏：江苏教育出版社，1988：63-70.3 华东师范大学数学系.数学分析上册（第三版）m.北京：高等教育出版社，2001：79-82.4 李锋杰，刘丙辰等.关于函数的一致连续问题.烟台师范学院学报，2001；4：305-307.5 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义