3.4整数规划应用案例分析

1、一、投资项目的选择一、投资项目的选择例例1：整数规划的应用整数规划的应用整数规划的应用整数规划的应用二、固定成本问题 例例2高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。 资源小号容器中号容器大号容器金属板（吨）248劳

2、动力（人月）234机器设备（台月）123解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi 0 时) 或0（当不生产第 i种容器即 xi = 0 时）。 引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 50

3、0 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj 0 yj 为0-1变量，i = 1,2,3三、指派问题三、指派问题 有有 n n 项不同的任务，恰好项不同的任务，恰好 n n 个人可分别承担这些任务，但由个人可分别承担这些任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把指派每个人去完成一项任务，怎样把 n n 项任务指派给项任务指派给 n n 个人，使个人，使得完成得完成 n n 项任务的总的效率最高

4、，这就是项任务的总的效率最高，这就是指派问题。指派问题。 例例3(P653(P65例例4.6)4.6)某游泳队拟选用某游泳队拟选用A A、B B、C C、D D四名运动员组成一个四名运动员组成一个4 4100100混合游泳接力队，参加运动会，他们的混合游泳接力队，参加运动会，他们的100m100m自由泳，蛙泳，蝶自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表，如何安排游泳才能最大可能得取得好成绩？泳，仰泳的成绩如下表，如何安排游泳才能最大可能得取得好成绩？解解：引入01变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i名队员游第j种姿势)或0（当不指派第 i名队员游第j种姿势)这可以表示为一个0-1整数规

5、划问题：Min z=56x11+74x12+61x13+63x14+63x21+69x22+65x23+71x24+57x31+77x32+63x33+67x34+55x41 +76x42+62x43+62x44s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (A只能游一种姿势) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (B只能游一种姿势) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (C只能游一种姿势) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (D只能游一种姿势) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( 自由泳只能一人游) x12+ x22+ x32+ x42= 1 (

6、 蛙泳只能一人游) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( 蝶泳只能一人游) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( 仰泳只能一人泳) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4 四、分布系统设计四、分布系统设计例例5（P73练习4.8）某企业在某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产地已有一个工厂，其产品的生产能力为能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中地中再选择几个地方建厂。已知在再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成地建厂的固定成本分别为本分别为175千元、千元、300千元、千

7、元、375千元、千元、500千元，另外，千元，另外， A1产产量及量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价到销地的单位运价(每千箱运费每千箱运费)如下表所示。如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小固定成本和总的运输费用之和最小? 销地产地B1B2B3产量(千吨)A184330A252310A343420A497530A5104240销量(千吨)302020解：解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的

8、运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5这可以表示为一个整数规划问题：Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10 x51 +4x52+2x53（其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。）s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x

9、41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij 0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0-1变量，k =2,3,4,5。 b) 如果由于政策要求必须在如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂地建一个厂，应在哪几个地

10、方建厂? 五、投资问题五、投资问题 例例7 7（P74P74练习练习4.94.9）某公司在今后五年内考虑给以下的项目投）某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：资。已知：项目项目A A：从第一年到第四年每年年初可以投资，并于次年末回收本从第一年到第四年每年年初可以投资，并于次年末回收本利利115%， 但第一年如果投资则最低金额为但第一年如果投资则最低金额为4万元，第二、三、万元，第二、三、四年不限四年不限；项目项目B B：第三年初可以投资，到第五年末能回收本利第三年初可以投资，到第五年末能回收本利128，但规定，但规定最低投资金额为最低投资金额为3万元，最高金额为万元，最高金额为5万元万

11、元； 项目项目 C：第二年初可以投资，到第五年末能回收本利：第二年初可以投资，到第五年末能回收本利140%，但规，但规定其投资额或为定其投资额或为2万元或为万元或为4万元或为万元或为6万元或为万元或为8万元。万元。 项目项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项投资金额不限。此项投资金额不限。 该部门现有资金该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大?解：解：1) 设xiA、xiB、xiC

12、、xiD ( i 1，2，3，4，5)分别表示第 i 年年初给项目A，B，C，D的投资额； 设yiA， yiB，是01变量，并规定取 1 时分别表示第 i 年给A、B投资，否则取 0（ i = 1, 2, 3, 4, 5）。 设y2C 是非负整数变量，并规定：第2年投资C项目8万元时，取值为4；第 2年投资C项目6万元时，取值3；第2年投资C项目4万元时，取值2；第2年投资C项目2万元时，取值1；第2年不投资C项目时，取值0； 这样我们建立如下的决策变量： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C=20000y2C D x1D x2D

13、x3D x4D x5D 2 2）约束条件：）约束条件：第一年：年初有100000元，D项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000；第二年：A的投资第二年末才可收回，故第二年年初的资金为1.06x1D，于是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；第三年：年初的资金为 1.15x1A+1.06x2D，于是 x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D；第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D；第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是

14、x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D。 关于项目A的投资额规定: x1A 40000y1A ，x1A 200000y1A ，200000是足够大的数；保证当 y1A = 0时， x1A = 0 ；当y1A = 1时，x1A 40000 。 关于项目B的投资额规定: x3B 30000y3B ，x3B 50000y3B ； 保证当 y3B = 0时， x3B = 0 ；当y3B = 1时，50000 x3B 30000 。 关于项目C的投资额规定: x2C = 20000y2C ，y2C = 0，1，2，3，4。3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40 x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+