2021年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案_第1页
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1、一、填空题每题8分，总分值64分1、，那么_.解：0或两式平方相加，得或0或2、不等式的解集为_.解：原不等式等价于设，那么在R上单调增.所以，原不等式等价于3、x=x-x(x表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，那么_.解：.由于，所以当时，原方程即；当时，原方程即.4、在平面直角坐标系中，设点，一只虫子从原点O出发，沿轴正方向或轴正方向爬行该虫子只能在整点处改变爬行方向，到达终点A的不同路线数目记为. 那么_.解：猜想，可归纳证明.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触假设小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，那么这只小球的半径为_.解：3或11.

2、分别以三个面两两的交线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.设点P坐标为，小球圆心O坐标为所以，6、将表示成两个型分数的乘积的不同方法数是_.其中与是同一种表示方法解：24.设是正整数，满足的正因数的个数为.注意到与是相同的表示方法，故所求的方法数为.7、设E为正方形ABCD边AB的中点，分别在边AD、BC上任取两点P、Q，那么PEQ为锐角的概率为_.解：设正方形边长为1，.那么从而，. 又.故所求概率为两直线及曲线所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即8、实系数一元二次方程有实根，那么使得成立的正实数的最大值为_.解：不妨设，方程的两实根为.由韦达定理，从而，当时等号成立.二、解答题第

3、一道小题总分值16分，后两道小题每题总分值20分9、数列的各项均为正数，且对任意，都有问：是否存在常数，使得对任意都成立？解：在中，令，得假设存在常数使得，那么，.由于，上式两边同除以，得所以，即存在常数，使得对任意都成立.10、两点，设A，B，M是椭圆上三点，满足，点N为线段AB的中点，求的值.解：设，那么 由，得.M在椭圆上， 综合得，又线段的中点为，上式说明，点N在椭圆上，且该椭圆两焦点恰为两点.所以，由椭圆定义有11、，两个有限正整数集合满足：这里用表示集合的元素个数.平面向量集满足. 证明：证明：不妨设令由柯西不等式， i=12n-mui2i=12n-maii=12n-muiai2=i=1n-muiai+i=n-m+1nuiai+i=n+12n-muiai2 =i=1n-mui1+i=n-m+1nui4+i=n+12n-mui12 =i

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