如何求异面直线所成的角

1、A1A如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也 是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作证 求。其中“作是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢？本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处 理方法。I、用平移法作两条异面直线所成的角、端点平移法 例1、在直三棱柱 ABC A1B1C1中， CBA 900 ,点D , F分别是 AQ , ABi的中点，假设AB BC CCi,求CD与AF所成的角的余弦值。解：取BC的中点E，连结EF，DF，:DF/EC 且 DF EC四边形DFEC为平行四边形EF / DCEFA 或它的补

2、角为CD与AF所成的角。设 AB 2,那么 EF 、_6，AF故EFAEF2 FA2 EA22Ef|fA,3010EFA436arccos10、中点平移法例2、在正四面体ABCD中,M , N分别是BC, AD的中点，求AM与CN所成的角的余弦值。解：连结MD，取MD的中点O，连结NO，O、N分别MD、AD为的中点，NO为DAM的中位线，NO/AM，ONC 或它的补角为AM与CN所成的角。设正四面体ABCD的棱长为2,那么有NO 二，CN2故 cos ONCno2 cn2 co22N0|cN2 ONC arccos-、特殊点平移法 例3、如图，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上

3、的点，AB 4 , CD 20 ,EF 7，仗1，求异面直线AB与CD所成的角FD EC 3EBFAD解：在BD上取一点G ,使得 匹 1，连结EG、FG，GD 3在 BCD中，匹 匹 1，故EG/CD，EC GD 3同理可证：FG/ABFGE 或它的补角为AB与CD所成的角。一 EG/CD，匹匹1,故EG 5 ；CD BC 4同理可得：FG/AB，且 匹-，故 FG 3;AB AD 4在FGE中，利用余弦定理可得EG2 GF2 EF 23252 72cos FGE2EG GF2 3 5故 FGE 120 .因为EG/CD，FG/AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角, 于是AB

4、与CD所成的角等于60 .点评：作两条异面直线所成的角时，我们通常考虑在其中一条直线所对应线段的顶点或者 中点或特殊点作另一条直线的平行线，常用的作平行线的方法有构造平行四边形和三角形 的中位线或利用平行线分线段定理四、交线平移法 例4、正三棱柱ABC ABC的各棱长都相等,求AB!与B所成的角的余弦值。解：取BB.的中点O，BQ!的中点F，AB的中点E,F、O分别B1C1、B0为的中点，FO为B1BC1的中位线，FO / BC1，同理可证：OEABjFOE 或它的补角为AB1与BC1所成的角 设正三棱柱 ABC A1B1C1的棱长为2,cos FOEOE2 OF2 EF22OE(OF1所以A

5、B!与B所成的角为arccos-.4点评：我们用平移法在其中一条直线所对应线段的顶点或者中点作另一条直线的平行线 时,这条直线总是跑到图形的外面去，此时考虑两条都要平移如何平移呢？关键在于找到这 样一条连接两条异面直线所对应线段端点的线段，然后在这条线段的中点作这两条异面直线的平行线如练习中BBJU、用补形法作两条异面直线所成的角例5、如下图,正方体ABCD ABiCiDi中,求AC与AD!所成角的大小.法一补形法 解：如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1的上方补上一个同样大小的的正方体 AB1C1D1 A2B2C2D2，连结 AD?.* AA| / D1D2且 AA1 D1D2四边形A

6、D1D2A1为平行四边形A D2 / AD1CA1D2 或它的补角为AC与AD1所成的角。设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,那么有A1D2 2 2 , AC又因为 cd22 ad22 AC2故AC与AD1所成角为90 .解：法二平移法连结AC，取AC的中点0 , AA的中点E ,Ad的中点F ,连结EF , EO ,-E、F分别AA、A1D1为的中点，EF为A1AD1的中位线，EF /AD1,同理可证：OE/ACFEO 或它的补角为AC与AD1所成的角连结FO ,设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2,那么有EF ,2 , EO ,3 , FO 、5又因为FO2 EF2 EO2故AC与ADi所成角为90 .点评：补形法就是在长方体或者正方体中，当我们在其中