第6章 自适应滤波器

1、第6章 现代滤波器经典滤波器 只适合处理信号能量与噪声能量在不同频段的情况现代滤波器 填补其空白。H(z)H(ej)h(n)MiiNiiinxainyb00)()(系统函数系统频率响应函数系统冲激响应系统差分方程逆Z变换Z变换两边Z变换,求Y(z)/X(z)两边DTFT,求Y(ej) /X(ej)z=ejDTFT逆DTFT注:只有在系统稳定时红箭头才成立逆Z变换经典数字滤波器的表示经典数字滤波器的表示:现代滤波器已知信号与噪声的统计特征已知信号与噪声的统计特征(最佳线性滤波器)未知信号与噪声的统计特征未知信号与噪声的统计特征(自适应滤波器)平稳随机信号（维纳滤波器）非平稳随机信号（卡尔曼滤波器

2、）非递归型(即FIR/横向滤波器)格型（收敛速度更快）只有实际输入信号与滤波器所依据的先验信息相一致，才是最佳滤波器（均方误差最小）W是固定的。自适应LMS算法-最小均方算法自适应RLS算法-递归最小二乘算法Wn+1=Wn+W；W是变化的。 最优最优6.1 匹配滤波器匹配滤波器最优滤波器最优滤波器(最佳线性滤波器最佳线性滤波器) 维纳滤波器：处理平稳随机信号 卡尔曼滤波器：处理非平稳随机信号 这两种最优滤波器的设计前提设计前提：要预知所处理信号的统计特性(数学期望,相关函数等)。 遗憾的是,在实际应用中常无法预知信号的统计特性或所处理信号的统计特性是随时间变化的6.2 维纳滤波器 该式表明：已

3、知期望信号该式表明：已知期望信号d(n)与观测信号与观测信号u(n)的互相关矩阵的互相关矩阵r，观测信号观测信号u(n)的自相关矩阵的自相关矩阵R,最佳滤波器最佳滤波器wopt 若滤波器长度若滤波器长度M较大，则计算量大，存储空间也要大。较大，则计算量大，存储空间也要大。M是由实验所要求的是由实验所要求的精度来决定。精度来决定。最小均方误差：最小均方误差：6.3 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器6.3.1 预备知识预备知识卡尔曼滤波的前提：要用卡尔曼滤波的前提：要用状态空间法状态空间法表征系统表征系统状态方程状态方程输出方程输出方程6.3.2 基于状态空间法的卡尔曼滤波器基于状态空间法的卡尔曼滤波器6

4、.3.3 卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的递推算法6.3.3 卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的递推算法小结维纳滤波器的参数w是固定的,处理平稳随机信号卡尔曼滤波器的参数w是时变的,处理非平稳随机信号这两种滤波器的设计前提：要预知信号和噪声的统计特性(如相关函数)。遗憾的是,在实际应用中常无法预知信号的统计特性，或信号的统计特性是随时间变化的.若输入信号的统计特性未知,或者输入信号的统计特性随时间变化,只能使用自适应滤波器自适应滤波器。它能够自动地迭代调节自动地迭代调节自身的滤波器参数w,以满足某种准则准则的要求,从而实现最优滤波.所处理信号的统计特性未知,调整自身参数w到最佳最佳的过程

5、学习过程.所处理信号的统计特性变化,调整自身参数w到最佳最佳的过程 跟踪过程因此，自适应滤波器具有学习能力和跟踪能力.6.4. 自适应滤波器6.4.1 引言引言6.4.1 引言引言6.4.1 引言引言自适应滤波器的定义自适应滤波器的定义自适应滤波器 自适应滤波器：根据所处理信号的变化，使用自适应算法自适应滤波器：根据所处理信号的变化，使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构来改变滤波器的参数和结构 。 通常，不改变滤波器的结构，而只改变滤波器的系数，即通常，不改变滤波器的结构，而只改变滤波器的系数，即其系数是由自适应算法不断更新的时变系数，自动连续地适应于其系数是由自适应算法不断更新的时变系数，

6、自动连续地适应于所处理信号，以获得期望响应。所处理信号，以获得期望响应。 6.4.1 引言自适应：生物能以各种有效方式适应周围环境，从而使生命自适应：生物能以各种有效方式适应周围环境，从而使生命力变强。力变强。40年代，年代，N.维纳，最小均方原则，设计最佳线性滤波器，维纳，最小均方原则，设计最佳线性滤波器，用来处理平稳随机信号，即用来处理平稳随机信号，即著名的维纳滤波器著名的维纳滤波器。60年代，年代，R.E.卡尔曼，设计最佳时变线性滤波器，用来卡尔曼，设计最佳时变线性滤波器，用来处理非平稳随机信号，即处理非平稳随机信号，即著名的卡尔曼滤波器著名的卡尔曼滤波器。70 年代，年代，B.Wind

7、row和和Hoff，自适应滤波器，克服维纳、，自适应滤波器，克服维纳、卡尔曼滤波器的致命缺陷：卡尔曼滤波器的致命缺陷：要预知待处理信号的统计特性要预知待处理信号的统计特性（如自相关函数（如自相关函数最佳滤波器系数最佳滤波器系数Wopt，否则，维纳、卡尔，否则，维纳、卡尔曼滤波器无法判定为最佳。曼滤波器无法判定为最佳。自适应滤波器：利用前一时刻已获得的滤波器系数自适应滤波器：利用前一时刻已获得的滤波器系数Wn-1，自，自动地调节现时刻的滤波器系数动地调节现时刻的滤波器系数Wn，以适应随机信号的时变，以适应随机信号的时变统计特性，实现最优滤波。统计特性，实现最优滤波。自适应滤波器的发展史自适应滤波

8、器的发展史自适应滤波器的分类自适应滤波器的分类按滤波器的结构来分：n递归型（最佳递归估计-卡尔曼滤波）n非递归型（最佳非递归估计-维纳滤波）按实现方式来分：n模拟式自适应滤波器（抑制某些单频干扰）n数字式自适应滤波器（常用，需用软件实现）自适应FIR滤波器的分类(非递归型)：n自适应横向滤波器n自适应格型滤波器n自适应对称横向滤波器自适应滤波器的分类自适应滤波器的分类按复杂度来分：n线性自适应滤波器线性自适应滤波器n非线性自适应滤波器（包括Volterra滤波器和基于神经网络的自适应滤波器 。信号处理能力更强，但计算也更复杂。）值得注意的是：自适应滤波器-时变性，非线性。 非线性：系统根据所处

9、理信号特点不断调整自身的滤波器系数。时变性：系统的自适应响应/学习过程。 所以，自适应滤波器可自动适应信号的传输环境，无须详细知道信号的特征参数，无须精确设计滤波器本身。线性自适应滤波器的两个阶段： 学习阶段：根据输入信号的特点，滤波器系数W被不断修改调整，直到获最优系数。 工作阶段：滤波器系数W保持不变(成为线性系统)，进行滤波。 学习阶段工作阶段采集一段数据线性自适应滤波器的两部分：线性自适应滤波器的两部分：自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构自适应权调整算法自适应权调整算法自适应滤波器的结构有自适应滤波器的结构有FIR 和和IIR 两种。两种。 FIR 滤波器是非递归系统滤波器是非递归系

10、统，系统冲激响应，系统冲激响应h(n)是一个有限长序列，是一个有限长序列，除原点外，只有零点没有极点。具有线性相位，稳定性好。除原点外，只有零点没有极点。具有线性相位，稳定性好。 IIR 滤波器是递归系统，其系统冲激响应滤波器是递归系统，其系统冲激响应h(n)是一个无限长序列。是一个无限长序列。该系统为非线性相位，难保证稳定性。唯一优点：实现阶数较低，计算量较少；该系统为非线性相位，难保证稳定性。唯一优点：实现阶数较低，计算量较少； 硬件的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性，硬件的巨大发展，使得工程师更关心系统的稳定性，而不在乎那么一丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用而不在乎那么一

11、丁点计算量的减少。因此，自适应滤波器常采用FIR结构。结构。可分为：可分为：横向型横向型(直接型直接型)、对称横向型、对称横向型(线性相位型线性相位型)、格型、格型线性自适应滤波器的两部分：线性自适应滤波器的两部分：自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构自适应权调整算法自适应权调整算法自适应权调整算法可分为两类最基本算法：自适应权调整算法可分为两类最基本算法：最小均方误差最小均方误差(LMS)算法算法 ： Least Mean Squarese(n)=y(n)-d(n);修订修订WWopt，使，使|e(n)|2min.LMS算法的基础是最陡下降法(Steepest Descent Method)

12、, 1959年，威德诺，Wn+1=Wn+W(负比例系数的均方误差函数梯度负比例系数的均方误差函数梯度) 。递推最小二乘递推最小二乘(RLS)算法算法 ：使估计误差的加权平方和最小.6.4.2 LMS自适应算法维纳滤波器的寻优以最小均方误差为准则；维纳滤波器的寻优以最小均方误差为准则；LMS自适应滤波的寻优就在最小均方误差的基础上稍作改动：自适应滤波的寻优就在最小均方误差的基础上稍作改动：目标函数：均方误差目标函数：均方误差E|e(k)|2瞬时平方误差瞬时平方误差|e(k)|2 其实质：以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数其实质：以当前输出误差、当前参考信号和当前权系数Wn求得求得下个时刻的

13、权系数下个时刻的权系数Wn+1 。最小均方算法：最小均方算法：Least Mean SquaresLMS算法有两个关键：梯度的计算，收敛因子的选择。LMS算法是一种递推过程,表示要经过足够的迭代次数后,权系数才会逐步逼近最佳最佳权系数Wopt,即噪声得到最好抑制. 存在问题：收敛速度。自适应横向滤波器算法的收敛速度输入信号自相关矩阵特征值的离散程度。特征值离散较大收敛速度较慢。格型结构收敛较快。1）依据：）依据：wiener滤波器的均方误差曲面滤波器的均方误差曲面 J(w) 是权矢量是权矢量w的二次函数，不存在局部最小点。的二次函数，不存在局部最小点。2）方法：从任意初始值）方法：从任意初始值

14、 w(0) 出发，沿出发，沿 J(w) 的负梯度方的负梯度方向向(最陡下降方向最陡下降方向)按一定步长进行迭代搜索至最小点。按一定步长进行迭代搜索至最小点。)(0minwJJ 权矢量随权矢量随n变化的轨迹在每个时刻变化的轨迹在每个时刻n都正交于都正交于J(n)(等高线等高线)；回顾：维纳滤波器的系数使均方误差最小证明证明6.4.3 RLS自适应算法递归最小二乘法：Recursive Least Squaresn最小二乘法：无需假定输入是宽带平稳过程，收敛快。最小二乘法：无需假定输入是宽带平稳过程，收敛快。问题的描述：问题的描述：在在n时刻巳知一组输入数据时刻巳知一组输入数据 x(1)(1)，x

15、(2)(2)，.，x( (n) )一组需要的响应一组需要的响应)()1()(211i，d，i，did设计一个设计一个M M阶的滤波器阶的滤波器( (估计器估计器) )，使它，使它n n时刻的输出时刻的输出Ti，y，i，yiyn)() 1()()(211y最小二乘问题的分类：最小二乘问题的分类：回顾：最小二乘法回顾：最小二乘法n最小二乘法：最小二乘法：正交性原理：按误差平方和最小化原则，可得：正交性原理：按误差平方和最小化原则，可得：n最小二乘法：最小二乘法：n最小二乘法：最小二乘法：6.4.3 RLS自适应算法递归最小二乘法的预备知识：递归最小二乘法的预备知识：nRLSRLS算法算法:n:n时

16、，时，权系数权系数W W最佳值；若最佳值；若n n有限，则是有偏估计有限，则是有偏估计。n权系数的均方误差随最小特征值的减小而增大，因此，权系数的均方误差随最小特征值的减小而增大，因此，R R特征值特征值的散布度加大，会使的散布度加大，会使RLSRLS权系数权系数W W的收敛性变差的收敛性变差； n 权系数的均方误差随权系数的均方误差随n n的增加而线性减小，权系数的增加而线性减小，权系数W W最佳值最佳值。n RLSRLS算法经过算法经过2M2M次迭代次迭代(LMS(LMS算法则需经算法则需经20M20M次迭代次迭代) )，可使均方，可使均方误差误差=1.5=1.5* *最小均方误差，最小均方误差，RLSRLS比比LMSLMS至少快一个数量级。至少快一个数量级。n RLSRLS算法的均方误差收敛特性与算法的均方误差收敛特性与R R的特征值散布无关。的特征值散布无关。n RLSRLS收敛快的原因在于采用类似归一化步长。收敛快的原因在于采用类似归一化步长。)()()() 1()() 1()