计算机控制技术状态变量和模型PPT学习教案

1、会计学1计算机控制技术状态变量和模型计算机控制技术状态变量和模型2021-10-182些。些。第1页/共35页2021-10-183系统描述中常用的基本概念 系统的外部描述 传递函数 系统的内部描述 状态空间表达式输出方程状态方程第2页/共35页2021-10-184动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。q ：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=tot=to时刻的初始状态能记忆系统在时刻的初始状态能记忆系统在 ttot=tot

2、=to时输入的时间函数，那么，系统在时输入的时间函数，那么，系统在t=tot=to的任何瞬间的行为就完全确定了。的任何瞬间的行为就完全确定了。：意味着这组变量是互相独立的。：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。第3页/共35页2021-10-185：以状态变量以状态变量 为坐标轴所构成的为坐标轴所构成的n维空间。在某一特定时刻维空间。在某一特定时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空间的一个点。是状态空间的一个点。)(),.,(),(21txtxtxnt)(tX X：以以 为起点，随

3、着时间的推移，为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X ：把把 这几个状态变量看成是向量这几个状态变量看成是向量 的分量，则的分量，则 称为状态向量。记作：称为状态向量。记作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX(t)X(t)或：或：)().,(),()(21txtxtxtnT X X第4页/共35页2021-10-186：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反

4、映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：niuuuxxxfxrnii,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数；是输入变量个数； 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。ifrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 22112211222212122221212121211112121111第5页/共35页2021-10-187,212222111211 nnnnn

5、naaaaaaaaaA系系表征各状态变量间的关表征各状态变量间的关系统矩阵系统矩阵维维,nn ,212222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作用作用表征输入对每个变量的表征输入对每个变量的输入矩阵输入矩阵维维,rn uBxAxrnnn 状态向量状态向量维维1,21 nTnxxxx 输入向量输入向量维维1,21 ruuuuTr第6页/共35页2021-10-188：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的

6、因果关系。方程形式如下：mjuuuxxxgyrnjj,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数，是输入变量个数，mm是输出变量个数，是输出变量个数， 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。igrmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 22112211222212122221212121211112121111第7页/共35页2021-10-189,212222111211 mnmmnncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变

7、变输输出出矩矩阵阵维维nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0,通常通常传递关系传递关系表征输入对输出的直接表征输入对输出的直接直接转移矩阵直接转移矩阵又称为又称为前馈矩阵前馈矩阵维维Drm uDxCyrmnm 输出向量输出向量维维1,21 mTmyyyy第8页/共35页2021-10-1810(2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性, ,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(1)(1)为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用 代表

8、一个动力学系统。代表一个动力学系统。 ),(DCBA：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下： DuCxyBuAxx ：A、B、C、D矩阵含义同上。矩阵含义同上。第9页/共35页2021-10-1811(3) (3) 定常系统：定常系统： A,B,C,DA,B,C,D各元素与时间无关；各元素与时间无关； 时变系统：时变系统： A,B,C,DA,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系统定常系统 ； 时变系统时变系统(5)(5)系统输出与状态的

9、区别：系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。 ),(DCBA )(),(),(),(tDtCtBtA(4)(4)非线性非线性系统状态空间表达式：系统状态空间表达式： 和和 是是x x与与u u的某类非线性函数。可以用线性系统来近似（关于线性化方法，自己看教材的某类非线性函数。可以用线性系统来近似（关于线性化方法，自己看教材P13P13）ifig第10页/共35页2021-10-1812 系统动态方

10、程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图 ：B B C CA ADDU UX XX XY Y DUDUCXCXY YBUBUAXAXX X ik 积分器积分器比例器比例器加法器加法器注：积分器个数与状态变量个数一致。注：积分器个数与状态变量个数一致。第11页/共35页2021-10-1813第二节第二节 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立1、由系统物理机理建立动态方程、由系统物理机理建立动态方程2、由微分方程建立动态方程、由微分方程建立动态方程3、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）、由传递函数建立动态方程（系统实现问题）4、由结构图建立动态方程、由结构图建立动态方程第12页/共35页2

11、021-10-1814建立状态空间表达式的前提建立状态空间表达式的前提系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）第13页/共35页2021-10-1815状态空间分析法举例例1求图示机械系统的状态空间表达式外力 位移 Ku(t)my(t)b)(tuymybky牛顿力学yx 1 yx2令-弹性系数阻尼系数第14页/共35页2021-10-181621xx )(12tumymbymkyx)(121tumxmbxmk1xy 动态方程如下第1

12、5页/共35页2021-10-1817状态空间表达式为： 21xxmbmk1021xxum102101xxy例2求图示RLC回路的状态空间表达式第16页/共35页2021-10-1818电路如图电路如图1 1所示。请建立该电路以电压所示。请建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量，u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+ +_ _+ +_ _i i1 1i i2 2R R2 2R R1 1图图1 1L L1 11) 1) 选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，

13、根据，根据P8P8表，可以选择表，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，且两者是独立的。为状态变量，且两者是独立的。第17页/共35页2021-10-18192 2）根据克希荷夫电压定律，列写）根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程：21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi 右回路右回路左回路左回路 整理得：整理得：21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLRdtdi 第18页/共35页2021-10-18203 3）状

14、态空间表达式为：）状态空间表达式为： 212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR第19页/共35页2021-10-1821试列出在外力试列出在外力f作用下，以质量作用下，以质量 的位移的位移 为输出的动态方程。为输出的动态方程。21,MM21, yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yM 11yB )(122yyB 22yM )(122yyk f1M2M质量块受力图如下：质量

15、块受力图如下：第20页/共35页2021-10-1822则有：则有：)()(122122111111yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()(12212222 将所选的状态变量将所选的状态变量2241132211,vyxvyxyxyx 代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得： 2211xyxy输出方程：输出方程： fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程：状态方程：第21页/共35页2021-10-1823写成矩阵形式：写成矩阵形式：fMXMBMkMkMBMBBMkM

16、kkX 222221212121121211000010000100 432100100001xxxxy第22页/共35页2021-10-1824ububububyayayaynnnnnnn01) 1(1)(01) 1(1)( 在经典控制理论中在经典控制理论中, ,控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：: :选取适当的状态变量选取适当的状态变量, ,并由并由 定出相应的系数矩阵定出相应的系数矩阵A A、B B、C C、D.D.), 1 , 0(),1(njbniaji DuCxyBuAxx 1 1、微分方程中不包含输入函数的导数项、微分方程中不包含输入函数的导数项2 2、微分方程中包含输

17、入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项第23页/共35页2021-10-1825微分方程形式微分方程形式: buyayayaynnn 01)1(1)(，化为状态变量，化为状态变量 的一阶微分方程组的一阶微分方程组.nxxx,21 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定则系统行为被完全确定 故选择故选择 为系统的一组状态变量为系统的一组状态变量输出及其各阶导数输出及其各阶导数)1(, nyyyy )(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 )1(21nnyxyxyx 令令:第24页/共35页2021-10-1826 ubxaxaxayxxyxxyxxy

18、xnnnnnnn12110)1(13221 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为:ubxxxaaaxxxnnn 00100102111021 xy001 注意：第一能观标准型，见后。注意：第一能观标准型，见后。第25页/共35页2021-10-1827状态变量是状态变量是输出输出y及及y的各阶导数的各阶导数系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方特点：主对角线上方1个元素为个元素为1，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，友矩阵或相伴矩阵友矩阵或相伴矩阵。 （注意：（注意：不要和逆阵中的伴随阵混淆）不要和逆阵中的伴随阵混淆） b0a

19、2x1uy1xnxnx 1 nx1a 1 na2 na第26页/共35页2021-10-1828 设系统输入设系统输入-输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342 若选若选 ，可导出系数矩阵，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx 321, 243100010A 001 C 500B 53 2x1uy1x 3x42 3x 第27页/共35页2021-10-1829ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)( 022110111.)()(asasasbsbsbsbsusynnnnnnnnn 第一种方法：取拉氏变

20、换后，用传递函数的可控标准型实现第一种方法：取拉氏变换后，用传递函数的可控标准型实现第二种方法：用可观标准型实现第二种方法：用可观标准型实现注：两种方法见传递函数的直接实现一节。注：两种方法见传递函数的直接实现一节。第28页/共35页2021-10-1830传递函数的实现方式：传递函数的实现方式： 1 1）直接分解（可控标准型、可观标准型）直接分解（可控标准型、可观标准型） 2 2）串联分解）串联分解 3 3）并联分解（对角线标准型、约当标准型）并联分解（对角线标准型、约当标准型）第29页/共35页2021-10-1831022110111.)()()(asasasbsbsbsusysGnnnnnnn )(sz)()()()()(susz