【整合汇编】020学年高中数学第二章解三角形2.1.2余弦定理学案含解析北师大版必修5

1、1.21.2余弦定理余弦定理内容标准学科素养1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形.2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量法解决具体问题.3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.提升数学运算灵活公式变形严密逻辑推理授课提示：对应学生用书第 38 页基础认识知识点一余弦定理预习教材 p4951，思考并完成以下问题在abc 中，角 a、b、c 所对的边分别为 a，b，c.(1)如果 c90，如何求 ab 边的长？提示：利用勾股定理求 ab 的长，即 c2a2b2.(2)设cba，cab，abc.怎样用向量的线性运算表示ab？提示：

2、abcbcaab.(3)在问题 2 的前提下，如何用向量的数量积表示 ab 边的长？提示：|c|2cc(ab)(ab)|a|22ab|b|2|a|2|b|22|a|b|cos c，c2a2b22abcos c.(4)你能用同样的方法表示 bc、ac 的长吗？请你写出结论提示：能结论：a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b.知识梳理余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.符号语言a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c.知识点二余弦定理的推论思考并完成以下问题如果已知a

3、bc 的三边长 a，b，c，能否分别求出三个内角 a、b、c 的值？提示：能用余弦定理变形可得公式知识梳理余弦定理的推论cos ab2c2a22bc，cos ba2c2b22ac，cos ca2b2c22ab思考：1.勾股定理和余弦定理有什么联系和区别？提示：当三角形是直角三角形时，余弦定理和勾股定理是统一的，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系2abc 中，分别指出在下列条件下，角 c 是什么角(在直角、锐角、钝角中选择)(1)a2b2c2.(2)a2b2c2.(3)a2b

4、2c2.提示：(1)由勾股定理的逆定理，可知角 c 是直角(2)由 c2a2b22abcos c，得 cos ca2b2c22ab0，所以可得，角 c 是锐角(3)由(2)中的方法，同理可得，角 c 是钝角自我检测1三角形的两边 ab、ac 的长分别为 5 和 3，它们的夹角的余弦值为35，则三角形的第三边长为()a52b2 13c16d4解析：由条件可知 cos a35，则 bc2ab2ac22abaccos a523225335 52，bc2 13.答案：b2(2019郑州高一检测)在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b， c， 若 a2c2b2 3ac，则角 b 为()a.6

5、b.3c.6或56d.3或23解析：本题主要考查余弦定理cos ba2c2b22ac3ac2ac32，则 b6.故本题正确答案为 a.答案：a3(2019郑州高一检测)在abc 中，a2，b5，c6，则 cos b_解析：abc 中，a2，b5，c6，由余弦定理，得 cos ba2c2b22ac4362522658.答案：58授课提示：对应学生用书第 39 页探究一已知两边及一角解三角形阅读教材 p50 例 4 及解答如图所示，有两条直线 ab 和 cd相交成 80角，交点是 o，甲、乙两人同时从点 o 分别沿 oa、oc 方向出发，速度分别是 4 km/h，4.5 km/h，3 小时后两人相

6、距多远(结果精确到 0.1 km)?题型：已知两边及一角解三角形方法步骤：计算opq 两边长，op12，oq13.5.利用余弦定理求 pq 的长例 1(1)在abc 中，已知 b3，c2 3，a30，求 a；(2)在abc 中，已知 b3，c3 3，b30，求角 a、c 和边 a.解题指南(1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解解析(1)由余弦定理，得 a2b2c22bccos a32(2 3)2232 3cos 303，所以 a 3.(2)法一：由余弦定理 b2a2c22accos b，得 32a2(3 3)

7、22a3 3cos 30，即 a29a180，解得 a3 或 a6.当 a3 时，a30，c120；当 a6 时，由正弦定理，得 sin aasin bb61231，a90，c60.法二： 由 bc， b30， bcsin 303 3123 32知本题有两解 由正弦定理， 得 sin ccsin bb3 312332，c60或 120.当 c60时，a90，由勾股定理，得 ab2c232（3 3）26；当 c120时，a30，abc 为等腰三角形，a3.方法技巧已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角若是给出

8、两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)跟踪探究1.(1)在abc 中，ab5，bc1，tan b34，则 ac_；(2)在abc 中，cos a35，a4，b3，则 c_解析：(1)由 tan b34，得 cos b45.由余弦定理，得 ac2ab2bc22abbccos b52122514518，所以 ac3 2.(2)由余弦定理，得 a2b2c22bccos a，即 169c2635c，整理得 5c218c350，解得 c5 或 c75(舍去)，故 c5.答案：(1)3 2(2)5

9、探究二已知三边解三角形阅读教材 p50 例 5 及解答图中是公元前 400 年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 2，3，5，的图形，试计算图中线段 bd 的长度及dab 的大小(长度精确到 0.1， 角度精确到1)题型：已知三边解三角形方法步骤：在bcd 中利用余弦定理求 bd.在abd 中利用余弦定理求dab.例2(1)在abc中， 若a2b2abc2， 则角c_；(2)在abc 中，已知 abc2 6( 31)，求各内角的度数解题指南(1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解；(2)先由三边的比值设出三边的长度，再利用余弦定理的变形求解解析(1)由 a2b2abc2， 得 a2b2c2ab

10、.由余弦定理， 得 cos ca2b2c22abab2ab12，故 c120.(2)由 abc2 6( 31)，令 a2k，b 6k，c( 31)k(k0)由余弦定理的推论，得 cos ab2c2a22bc6（ 31）242 6（ 31）22，a45.cos ba2c2b22ac4（ 31）2622（ 31）12，b60.c180ab180456075.答案(1)120(2)见解析延伸探究本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为 2，6， 31”，求其最大角与最小角之和解析：因为 31 62，所以最大角与最小角所对的边分别为 31，2.设长为 6的边所对的角为，由余弦定理，得 cos

11、22（ 31）2（ 6）222（ 31）12，所以60，故最大角与最小角之和为 18060120.方法技巧已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；(2)利用余弦定理求出三个角的余弦值进而求出三个角跟踪探究2.(2019桂林高一检测)在abc 中，a3，b 7，c2，那么 b 等于()a30b45c60d120解析：根据题意，由于abc 中，a3，b 7，c2，cos ba2c2b22ac94723212，因为 0b180，则可知 b 等于 60，选

12、 c.答案：c探究三判断三角形的形状例 3在abc 中，已知(abc)(abc)3ab，且 2cos asin bsin c，确定abc 的形状解题指南可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可以把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状解析法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin csin bcb，由 2cos asin bsin c，有 cos asin c2sin bc2b.又由余弦定理，得 cos ab2c2a22bc，所以c2bb2c2a22bc，即 c2b2c2a2，所以 a2b2，所以 ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab

13、，又因为 ab，所以 4b2c23b2，从而 b2c2，所以 bc.综合以上分析，得 abc，所以abc 为等边三角形法二：利用角的关系来判断：因为 abc180，所以 sin csin(ab)，又因为 2cos asin bsin c，所以 2cos asin bsin acos bcos asin b，所以 sin(ab)0，又因为 a，b 都是三角形的内角，所以 ab.又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，所以 a2b2c2ab，由余弦定理，得 cos ca2b2c22abab2ab12，又 0c180，所以 c60，综上得abc 为等边三角形方法技巧判断三角形形状的思

14、路(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题一般有两条思考路线：先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：abc 为直角三角形a2b2c2或 c2a2b2或 b2a2c2.abc 为锐角三角形a2b2c2，且 b2c2a2，且 c2a2b2.abc 为钝角三角形a2b2c2或 b2c2a2或 c2a2b2.若 sin 2asin 2b，则 ab 或 ab2.跟踪探究3.(2019宝山高一检测)在abc 中，若 sin2asin2bsin2c

15、，则abc 的形状是()a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d不能确定解析：由正弦定理知：asin absin bcsin c2r，sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r，sin2asin2bsin2c，a2b2c2.由余弦定理可得：cos ca2b2c22ab0，则 c 为钝角，故abc 为钝角三角形故选 a.答案：a授课提示：对应学生用书第 40 页课后小结(1)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题已知两边和夹角，解三角形已知三边求三角形的任意一角(2)余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角(3)对所给条件进行变形，主要有两种途径：化边为角化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换素养培优忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形 abc 中，a1，