燃料最优控制1

1、drin可得drary(t)= Ku(t)1.简谐振荡器的时间最优控制问题设有一质量为加的物体连接在弹性系数为R的线性弹簧上，用）0）物体对平衡位置的相 对位移，/表示一个有限的作用力。l/（OI<F则系统的微分方程可表示为/兴）+灯=f（°Lm tn式中，K>0,且叩）满足不等式定义状态变量刈=JCD.耳=一）3刈=JCD.耳=一）3CD xSO =y(f).i兀2= （f） K刈=JCD.耳=一）3刈=JCD.耳=一）3状态方程为KH0一3co必+帥刈=JCD.耳=一）3刈=JCD.耳=一）3系统矩阵和控制矩阵分别为0COoA =,B =一 301系统矩阵的两个特征根

2、为虚数刈=JCD.耳=一）3(1)简谐振荡器的最短时间控制问题描述已知受控系统状态方程为CD0(4-97)控制作用"满足(4-98)求最优控制律，使系统从任意初转态(鼻鼻)移到原点的时间为最小。(4-99)简谐振荡器最短时间控制问题的求解 哈密顿函数H = 1+ 如(f)4(f) 一妙/+ “人为使H最小，可得优控制/(f) = -sgnBz 2(f) = -sgn 01虫(/). = _sgn4(/)(4-100)协态方程为X(/) = _= -A" 2( t)=dx0 co一 3 02(f)(4-101)人(°)= 4()则可得式(4-101)的解为sig 血

3、 cos at!_()_4(f) r cos ar2,(/) J L_sin 血其中A(O = _&()sin 6X + 220 cos cot写成正弦函数的形式(4-102)A(r) = «sin(ar + a)a = arctanA()由式(4-100)和式(4-102),最优控制律可表示为/(f) = -sgn入(/) = -sgnflsin(cof + a)绘制出/)与心的关系图，如图4. 10所示。图4.10人(/)与"的关系图图中我们可以得出如下结论 最优控制是分段常数，且在“=-1和呛)=+1之间切换。 入是周期函数，每两个零点的间隔时间N丄 所以最优

4、控制的保持恒值的时间3最长不超过兰秒。co 最优控制的开关次数没有限制。上述三点结论时间最优控制应具备的性质，我们根据这些性质，把状态平而划成各个区域，确定每一个区域中相应的控制。4. 5燃料最优控制(1)问题描述设系统的状态方程为x = Ax(t) + Bu(t)系统是完全能控的，且控制变量“的各分量满足1«/01<1()=1,2,，加)寻找最优控制“七)，使系统从已知初始状态x(r0) = x0,规定的时间/转移到预定终点x(tf) = xJ使性能泛函j nt丿=J uj(t)dt取得极小值。(2) 最优控制存在的必要条件构造哈密顿函数nt2(t)=为 I 竹1 +力(t)

5、Ax(t) + Bu(t)J-int=刃诃1+如川2(f)+讥澎2(f)要使性能泛函取得极小值，应用极小值原理可推导出实现最优控制的必要条件如下: 正则方程组x(Z) = Ax(t) + Bu(t)d2. dH 宀ox 边界条件x(r0)= x(),x(t()= xj极值条件由 min X(r), (0,u(t) =Z(/),u(t)可得u(/)eQ如歹丫或写成分量形式w*(O = -竝农 丁 (01丿 = 1,2,3,，m其中，巧是B的第丿列分量，d%()为死区函数，其定义如下0Lvl<ly = dez(x)= <sgn(x) I xl> 1ye 0J x = -1y e

6、-1,0 x = + 1+1 <'-rTjx-0 -1哈密尔顿函数沿整个最优轨线是一个常数m为 l"；(r)l+T T + u 1 (t)B1(/) = C = constJ-i(4-113)对于式(4-113),由于包含任意常数C,似乎并不能给我们提供有用的信息。其实不然，假设2三0,则根据式(4-113)可得m为 I 町(f) 1= C = constJHl/ .J =为 I lij I df = | Cdf = const那么，燃料最优问题无意义。所以，2不恒为零。(3) 判别最少燃料问题非平凡性的条件由上而的推导可知,町(/) =X(01 (J = 1,2, ,

7、?)(4-114)从而,最少燃料问题是非平凡的，在”。心中至少存在一个子区间人,口，使得对于某 个整数八有下列关系式成立。Ibpr 1=1对于所有的 tett2(4-115)函数必七)在区间也1是一个常数，其对应各阶倒数均为零。对式(4-11.5)等式两边 重复求导并应用关系式2(0 = 2(0可得到，对所有(论口Abl,r(t) = OJ0(4-116)心W/)= o从式(4-1中挑出“个独立的方程，并按下式排列Abtrg(4-117)心7令G.=b Ab：.A'b.AJJ JJJ式(4-117)可化为G,lA,r(t) = O 对于所有 rerpr2(4-118)因为 g丰0,式(

8、4-118)成立的条件是det|G；7' = detG, detyl = 0即 dety4 = 0或 detG, = 0综合上述分析，可以得到燃料最少问题是平凡的充分条件。(4-119)定理4.10燃料最少问题如果是平凡的，则必有detG；wT护 0若燃料燃料最少问题是非平凡的，则必存在某个整数丿使得detGjr = 0(4-120)说明： 式(4-120)是判定燃料最少问题是非平凡时的必要条件。 有些燃料最少问题对于有些初态来说是平凡的，而对另一些初态来说是非平凡的。(4) 唯一性定理定理4.11设最少燃料控制问题是平凡的，则燃料最优控制如果存在，它必定是唯一 的。4.6积分模型的最

9、少燃料控制问题(1)双积分模型的最少燃料控制问题设系统状态方程为'o r.0 0_*«)+:卜 r)(4-130)X(t) =初始条件x(O) = xlo,x2(J(4-131)终端条件x(/y) = 0,0,终端时间口由(4-132)控制约束-1<W(O<1(0<r <ry)(4-133)性能约束丿“(/)=I”也Ju(4-134)求最优控制“P),把系统从初态转移到终态，并使系统性能指标丿为最小。(2)双积分模型的最少燃料控制问题的最优解应用极小值原理，系统的哈密尔顿函数为H =厶+ 2，/=Ih(/)I+4 (z)x>(0+A()w(O&q

10、uot;*(r) = -de AB12*(/) = 一 d氏入I 入(/)lvl-sgn込0,170入(f)l>lA(o = -i4 =+i为了确定最优控制/，还必须求解出心柯譽=0dx-dH n人=_ = _彳(/)dx解得人(/) =血(/) = - 4(/ + 20式中血,忌是由初始条件决定的常量。O由协态方程可知(4-135)(4-136)(4-137)由于哈密尔顿函数不显含时间且终端时间口由，所以沿最优轨线哈密尔顿函数等(4-138)于零，即2(r),/ =1/(/) I+q(f)x：(f) +4("广(0 = 0现在来讨论心的变化规律 当4 = 0时，考虑式(4-1

11、37)和式(4-138),有心=Hxt),u=1 w*(r) I +2,0H*(r)= 0应有人° = ±1由式(4-135)仅能确定/的符号，而不能确定/(f)的大小，是一种奇异情况。当彳0工0时由式(4-137)可知，心是时间的线性函数，这时人在时间区间0心最多出现一次+ 1和-1的情况，即最多两个点满足呀日，这属于平凡系统。厶与的对应关系如图4. 20所示。此时，最优控制为-1 0<t<ta 心）=« 0 ta <t <tb+1 2"最优控制必定是三位控制，即在-1,0, + 1之间最多进行两次切换，其可能的最优控制序列有以

12、下九种:0, +1, -1, +1,0, -1,0, 0,+1, 0,-1, +1,0-1, -1,0,+1以上九种控制序列中，当最后为火)=0时，显然不可能将非零状态(0,0)转移到(0,0)状态，从而，燃料最优控制序列只有以下六种可能：+1, -!, 0,+1, 0,-1, +1,0-1, 一1,0, + 1(3)双积分模型的最少燃料控制问题的最优状态轨线及开关曲线当0电时，“(/) = -1，状态方程的解为(O = -vlo + -r2Or-lr无叫一/(4-139)消去时间变量儿相应的轨线方程为X1(O = - X；(t) + C C= A'|0 + yX20当ta<t&

13、lt;th时，/=0,状态方程的解为(4-140)X1(0 =(X20 一 f)(f 一)+ Xi0 + X20Zv2X2(t) = A| (ta) = x20 一 ta = const最优轨线为平行于西轴的直线簇。当tb <t<tf时，"(/) = + l,状态方程的解为(4-141)lX!=* a _ 4)' +(_兀20 _ /)(/ _ Y)+ X!0 + 兀2(/ -聖Yx2(t) = t-ta-th + x2Q消去时间变量儿相应的轨线方程为比(/)=扌卅(0+0(4-142)最优轨线为口右向左的抛物线簇，其行进方向口下向上。在u(t)= + 的曲线簇中

14、，通过原点的曲线方程为 xi(t) = x；(t)x2(r)<0这半支曲线记为人。在u(t) = -1的曲线簇中，引向原点的曲线方程为比(/)=扌丘(0x,(r)>o这半支曲线记为乙。如果将人和人合成起来为通过原点的开关曲线，其方程为 x(t) = x2(t)x2(t)(4-143)算公式，即(4-144)1 , , 1 =(fr + x2i)-(rj.-x；0 _ 2tfx _ 4x10)-1 fb = +°/ + “20)+ & X2O _ 力/兀20 _ 4心)了 1(4)双积分模型最少燃料控制问题的最优规律开关曲线卩及坐标轴坷将相平而分成以下4个区域，如图

15、4. 22所示。图4.22开关曲线及其分区图R、= § (r), x2(t) x (f)> 一一 x； (r), x2(r)>02(4-145)& = 西(/),七(。1兀1(。<一£卅(。,尤2()>0 /?3 = 西(/), x2(t)x(t)<x； (/), a2(r)<0 R4 = -1 (r)，尤2 I X > x2 '兀2 v 0为讨论最少燃料问题的最优控制，先介绍一个关于燃料消耗下限的定理。定理4.12设厂表示双积分系统式(4-130)(4-134)中，由任意初态(和宀°)转移到末态(0,0)

16、所需的最少燃料消耗，则J* >1 x2010(4146)该定理表明，如果找到一个控制叩)，能够使双积分系统式(4-130厂式(4-134)中，由 任意初态(心,忌)转移到末态(0,0),且所消耗的燃料为 I，则该控制必为最优控制。为了使系统以最少燃料从初态(心,心)转移到(0,0)。当初态所处位置不同时，应采取不 同的控制规律。凡是不在开关曲线上的点，至少要经过一次切换，转到开关后才能沿着人或人到达原点（0.0） o因此按照初态（“心）所处的位置可得到下列最优控制: 初态位于人上，此时«（0 = + 1是唯一的燃料最优控制。此时，由式（4-147）及“=+ 1,得召=忌+ 必由

17、 x2（rz）= 0,得从而八 J（：g）ldej> =X20B|Jj=Ix20I,由定理4. 12知“=+ 1为最优控制。 初态位于/_上，此时“=-I是唯一的燃料最优控制O理由与相同 初态位于心©内。设初态在&内，燃料最优控制的六种控制序列只有0，+1及-1,0,+1能使状态转移到原点。如图4. 23中相轨迹ABOh/ACDBOo图4. 23心内最优控制相轨迹采用0,+1控制时，这时最优控制相轨迹J = JAB + JBO = J（：動 + : dt=x =| X20 I这是燃料消耗的下限，因此讥/) = 0, + 1是最优控制。若采用-1,0,+1控制时，有J =

18、 JAC + JCD + Jg = j*（）I 一 11 df + | 0 d/ + J dt=匸 d/ + J dt =1 x2t. -.v20 I +1 x2D l>l x20 I所以，-1,0,+1不是最优控制。 初态位于心&内，燃料最优控制的六种控制序列，只有控制“（） = -1.0,+1能使系统 转移至原点，当初态位于&内时的状态转移路线为ABCDO,如图4. 24所示。设C点的纵坐标为厂 可以算出沿ABCDO的燃料消耗为J = Jab + J bc + J do =尤20 + 2£由此可知，随着£减小，燃料消耗同样减少。但在州轴上不可能用曲

19、）=0将西转移为零。因此，控制序列-1,0, + 1所消耗的燃料总大 于1x（，它不是最优控制。由此可以看出，当初态在K内时，燃料最优控制问题无解。初始状态位于心内时也有类似结论。此时，“=-10+1不是最优控制，但是当£足够小时，过程所消耗的燃料已接近最小燃料消耗，这种问题有时也称为旷燃料最优问题。旷经过以上分析，双积分模型最少燃料控制问题的最优控制规律进一步综合为-I (xpx2)e/.«*(/)= +1(.vHx2)e/+(4-148)0 (Xj,x2)e /?2 U/?4若(XpXjeU，则不存在燃料最优控制，但仍然把“()=-1,0,+1作为是最优控制看待。例4.

20、6设二阶系统的状态方程为飞= "(/)%2(0 = (0不等式控制约束为-1 S“ 1 ,求系统从初态x(0) = (2,2)转移到终态x(8) = 0时的燃料最优控 制。解对于最少燃料控制系统，其性能指标为丿“(/)=£ I系统的哈密尔顿函数为H(0+/?2 (01(0为使H函数全局最小，最优控制为“(Z)= -sgn(r)也就是-I 不 0>1“(/) = ” 0 -1 </?,(/)< 1 + 1 q(r)v l由协态方程可得4(/) = -4(0"+4(0)/入(/)=入(0) = const因初态x(0) = (2,2) e &

21、 ,故£ -燃料最优控制序列为/=-1,0,+1,设切换时间为匚和th,则 当0 <t<ta时，叩)=-1,初态为(x10,x20) O由状态方程呂(0 = “) = _1, x2 (0 = (0解得州(/)= 一+易0一、 1 ,吃二_厂+舟(/ +兀20 当ta <t<tb时，“=0,初态为片«) = _心+兀10X2(O = -|v+Wu+X2O由状态方程£(/) = “(f) = 0, X2 (/) = %!(/)解得册（/）= 一 + 册0X2（Z）=（一 J + XIO）（/ 一 J）一*</ + X10Za + X20当th<t<tj时，“（/） = + 1,初态为召（/） = 一“+坷01 .兀=（一匚 + XIO）（ 一）一+ XOfa + X20由状