对集合的一点新认识

1、对集合的一点新认识陈中林(老河口职业技术学校 湖北 441800) 【摘要】： 空集（Ø）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识的阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（）关系及悖论性；初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。【关键词】： 空集；悖论性；嵌套性；循环节abstract: the empty set (Ø) is a kind of special collections, is fundamental to the set of. this paper uses the logic deductive meth

2、od, theoretically by recognizing the elaboration on the empty set, the set current concept, and non empty set () relationship and paradoxes related concepts defined; preliminary "nested set" and promotion.keyword: empty; paradox; nested circular section.一、 对空集（Ø）的认识1空集（Ø）的现有定义不含任

3、何元素的集合称为空集，记作Ø。2.空集（Ø）与非空集（）之间的关系现行教材的规定：空集（Ø）是一切集合的子集；空集（Ø）是一切非空集（）的真子集。空集（Ø）与非空集（）之间定义了2种关系，即“子集”，“ 真子集”关系；或Ø Ø 3悖论性，“空集的二重性”若给定空集（Ø）与集合a=1，2，Ø，那么存在如下命题：（i） Ø a ，理由：集合的定义；（ii）Ø a 或Ø a，理由：空集的性质（规定）。前者反映集合与元素之间关系的唯一性；要么属于，要么不属于；后者反映集合与集合之间关

4、系的明确性，定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。由此说明空集（Ø）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备）。二、 对非空集（）的认识给定2个集合a=1，2，b=1，2，a。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有a b；若从集合与集合之间的关系考虑，a与b之间满足“真包含”关系，即b a。前者肯定了集合与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集a与集b究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。三、“属于”“ ”，“子集”“ ”，“真子集”“”在同一

5、条件下的地位分析 例证：给定集合a、b，a=1，2b=1，2，a从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这2种关系是相对独立的。讨论：1o.如果肯定了a b,那么就否定了a与b的子集关系；2o.如果肯定了a b,则否定了a b，也就是不能肯定a与b的从属关系，进而否定了集合的定义。分析：由于集合与元素之间的从属关系在前，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定a b<=>任意a a,则a b, 且a b，这样就明确了a与b子集关系的唯一性。四、 嵌套集定义：若集合a=1,2,

6、b,b=a.则a为嵌套集。其中1，2为嵌套集的循环节。例证推演：设集合a=1，2，b,且b=a；则集a可作如下的推演，a=1,2,b=1,2,1,2,b=1,21,21,2,b=这里集a中存在嵌套元素b。特例考察数列an, an=(有n 个“”)，求an?(n).解法一：利用代数方程求解令a=，a=an 则有a=b(n)。注意，这里a=b是隐含条件；对a=变形得a2=2b，利用a=b，求出a=2.解法二：利用等比数列性质公式求值an= 2，等比数列an的首项和公比都是1/2，无穷项之和s=1，因此an2 (n) .于是得到=2.从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。像这种循环根式如上例化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。思 考：根式化简t1: （提示：由a2=aa得到a=a ）t2:（提示：由a4=223b得到a=）t3:（提示：由a6=233b得到a= ）求解循环根式重要的是找出循环节；如t1式,循环节；