微积分授课课件：平面向量场及有向曲面

1、2021-11-31通通 知知 为了予防为了予防SARS,近三周对微积分近三周对微积分(3)授课学时及授课授课学时及授课方式调整如下：方式调整如下：1.将每周将每周4学时调整为学时调整为2学时；学时；2.周三第一大节化工系及散选同学上课，地点不变；周三第一大节化工系及散选同学上课，地点不变； 周五第三大节环境系同学上课，地点不变，内容同周五第三大节环境系同学上课，地点不变，内容同周三；周三；3.取消第十二周的机考。取消第十二周的机考。 希望同学们加强防范意识，但不要过度恐慌，同心希望同学们加强防范意识，但不要过度恐慌，同心协力做好予防工作。协力做好予防工作。 祝同学们身体健康！祝同学们身体健康

2、！2021-11-32 作作 业业 P164 习题习题3 2. 3(1). 4. 6.预习预习 P1651722021-11-33第十八讲第十八讲 平面向量场平面向量场有向曲面有向曲面2021-11-34则则下下列列命命题题等等价价：上上的的连连续续向向量量场场是是是是平平面面区区域域设设定定理理,),(),(.:12DjyxYiyxXvRD 有有曲曲线线内内任任一一分分段段光光滑滑的的封封闭闭对对,)2(LD0),(),( LdyyxYdxyxX;),(),()1(上上的的保保守守场场是是DjyxYiyxXv .),(),()3(上上是是有有势势场场在在DjyxYiyxXv .),(vfyx

3、f 使使得得即即存存在在可可微微函函数数一、保守场、有势场、无旋场的关系一、保守场、有势场、无旋场的关系2021-11-35) 1 () 3() 2() 1 (只只需需: )2() 1 (DBEC)1(由由0 LYdyXdx1,LACBBAL 记记、上上任任取取两两点点在在A证证 12LLYdyXdxYdyXdx 1LYdyXdx012 LLYdyXdxYdyXdx闭闭曲曲线线内内任任意意一一条条分分段段光光滑滑封封是是设设DL1L2LL,2LAEB 2021-11-36: ) 3() 2(D1L2LM0M 有有向向曲曲线线的的任任意意两两条条分分段段光光滑滑和和终终点点内内有有相相同同起起点

4、点是是设设MMDLL021,闭闭曲曲线线是是一一条条分分段段光光滑滑有有向向封封则则 21LLL)2(由由021 LLLYdyXdxYdyXdx 12LLYdyXdxYdyXdx曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关内内即即在在区区域域,D.),(,),(000的的坐坐标标终终点点则则积积分分只只依依赖赖于于固固定定若若起起点点yxMyxM2021-11-37记记作作的的函函数数即即曲曲线线积积分分是是点点,),(yxM ),(),(00),(yxyxYdyXdxyxfvff 且且可可微微下下面面证证明明,首首先先证证明明),(yxXxf ),(yxYyf 0M),(yxxN ),(yxMxoy

5、D ),(),(),(),(0000),(),(yxyxyxxyxYdyXdxYdyXdxyxfyxxf ),(),(yxxyxYdyXdx xxxXdx xyX ),( 积分中值定理积分中值定理2021-11-38的的连连续续性性知知于于是是由由则则令令),(, 0yxXxx ),(),(lim),(),(lim0yxXyXxyxfyxxfxfxx 同同理理可可证证),(yxYyf 内内可可微微在在下下面面证证明明Dyxf),(内连续内连续在在的连续性知的连续性知由由DyfxfyxYyxX ,),(),(内内可可微微在在因因此此函函数数Dyxf),(vjYiXjyfixfgradf 2021

6、-11-39: ) 1 () 3(vfyxf 使使得得存存在在函函数数由由),()3(),(yxXxf ),(yxYyf 即即设设其其参参数数方方程程为为有有向向曲曲线线为为终终点点的的逐逐段段光光滑滑以以为为起起点点对对任任意意一一条条以以,LBA)()(),( ttyytxx)(),(),(),( yxByxA 并并且且 dttytytxYtxtytxXYdyXdxL)()(),()()(),( dtdtdf)()(AfBf 即积分与路径无关！保守场即积分与路径无关！保守场2021-11-310上上的的连连续续可可微微是是是是单单连连通通域域设设定定理理DjyxYiyxXvRD),(),(

7、.:22 ;),(),()1(上上是是保保守守场场在在DjyxYiyxXv .),(),()2(上上是是无无旋旋场场在在DjyxYiyxXv ),(0DyxyXxY 即即则则下下列列命命题题等等价价：向向量量场场,2021-11-311)1(由由是是保保守守场场jYiXv ),(yxfjYiXv有有势势函函数数 yfYxfX ,yXxyfyxfxY 22证证)2()1(1由定理由定理),(0DyxyXxY 即即2021-11-312)1()2(LD的的有有向向闭闭曲曲线线中中任任意意取取一一条条逐逐段段光光滑滑在在,所包围的区域所包围的区域表示表示用用LDL由由格格林林公公式式得得到到0)(

8、LDLdxdyyXxYYdyXdx都有都有有向闭曲线有向闭曲线于是沿任意逐段光滑的于是沿任意逐段光滑的L0 LYdyXdx为为保保守守场场推推出出由由定定理理jYiXv 12021-11-313（2 2）凑微分）凑微分（3 3）求不定积分）求不定积分 （1）利用积分与路径无关）利用积分与路径无关二、求原函数的方法二、求原函数的方法2021-11-314xyo),(000yxM),(0yxB),(yxM),(0yxA(1) 取折线路径取折线路径,计算曲线积分求原函数计算曲线积分求原函数 ),(),(00),(yxyxYdyXdxyxu yyxxdyyxYdxyxX00),(),(0 xxyydx

9、yxXdyyxY00),(),(02021-11-315?),(的的全全微微分分是是否否为为某某个个二二元元函函数数yxu),(,yxu求求出出若若是是: 1验验证证例例xYyexyyXx sin4有有,),(2Ryx 或者等价地或者等价地jyeyxixyyexx)sin2()2cos(22 ?),(的的梯梯度度场场是是否否为为某某个个二二元元函函数数yxu解解dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 所所以以的的全全微微分分是是某某个个二二元元函函数数),(yxudyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 2021-11-316利利用用曲曲线线积积分分求求原原函

10、函数数方方法法: 1 ),()0,0(2)2cos(),(yxxdxxyyeyxudyyeyxx)sin2(2 ?),(yxu如如何何求求,因因为为积积分分与与路路线线无无关关选选一一条条特特殊殊的的路路线线 xxdxe0 yxdyyeyx02)sin2(yxxxyeyxe0220)cos( 1cos22 yeyxxxyo),(yxM)0 ,(xA2021-11-317函函数数利利用用不不定定积积分分法法求求原原方方法法: 2)1(2cos2xyyexux 因因为为)()2cos(),(2ydxxyyeyxux )3()(cos22yyxyex )2()sin2(2yeyxyux )2(代代入

11、入cy )( cyxyeyxux 22cos),(积积分分)1()( )sin2(2yyeyxyux 2021-11-318利利用用凑凑微微分分法法求求原原函函数数方方法法: 3dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 )22()sincos(22ydyxdxxyydyeydxexx )()cos(22yxdyedx )cos(22yxyedx cyxyeyxux 22cos),(2021-11-319计计算算曲曲线线积积分分例例 2 LdyyxdxyxI)6()62(2.)4, 2()0, 0(2的的一一段段弧弧到到点点从从点点为为抛抛物物线线其其中中BxyL 解解,622y

12、xX ,6yxY 经经计计算算知知066 xYyX2),(Ryx 首先考察向量场是否为保守场首先考察向量场是否为保守场jYiXv 上上与与路路径径无无关关所所以以曲曲线线积积分分在在2R2021-11-3202xy xyo)4 , 2(B)0 , 2(A路路径径计计算算曲曲线线积积分分取取折折线线 OAB 40202)12(2dyydxx3136)212(32402203 yyx OAdyyxdxyxI)6()62(2 ABdyyxdxyx)6()62(22021-11-321取取何何值值时时问问封封闭闭曲曲线线点点的的简简单单正正向向是是平平面面上上任任一一条条不不过过原原设设例例aL,30

13、422 Lyxaydyxdx.并并说说明明理理由由,4),(22yxxyxX 224),(yxayyxY 解解,)4(8222yxxyyX 222)4(2yxaxyxY 不不包包围围原原点点时时当当La, 4)1( DyxyXxY ),(, 0DL所所包包围围的的区区域域为为记记为为单单连连通通域域则则 D2021-11-3220422 Lyxaydyxdx无旋场无旋场jYiXv 保保守守场场包包围围原原点点时时当当La, 4)2( o1L 1LL0sincossincossincos2022 dtttttttxyL 11)(DLLdxdyyXxY0 利利用用格格林林公公式式 tytxsin2

14、1cos1D2021-11-323,4)3(时时当当 axYyX 0,),(00 yXxYxYyXyx即即处处假假设设在在点点0 kyXxY不不妨妨设设从从而而有有上上都都有有在在一一个个邻邻域域的的存存在在点点连连续续可可微微知知由由, 0,),(,),(),(00 yXxYDDyxyxYyxX0)( DLdxdyyXxYYdyXdx2021-11-3240, LYdyXdxL 使使得得即即存存在在一一条条封封闭闭曲曲线线不不成成立立！即即0422 Lyxaydyxdx才才有有时时仅仅当当综综上上所所述述,4, a0422 Lyxaydyxdx2021-11-325 小结小结1:1:yXxY

15、j yiXv 即即是是无无旋旋场场若若,是是保保守守场场则则j yiXv 有有原原函函数数是是全全微微分分,YdyXdx 有有势势函函数数是是有有势势场场,0 LYdyXdx 小结小结2:2: 在复连通域上在复连通域上 作一条包围作一条包围“奇点奇点”的封闭路径的封闭路径, 利用利用格林公式讨论格林公式讨论.关键是看绕奇点的闭路积分关键是看绕奇点的闭路积分是否等于零是否等于零! 在单连通域上在单连通域上2021-11-326向向量量处处有有两两个个方方向向相相反反的的法法在在点点量量上上每每一一点点都都有有非非零零法法向向设设曲曲面面),(,zyxMS),(),(zyxnzyxn 和和 S S

16、n n),(zyxM 都连续变化都连续变化和和),(),(zyxnzyxn 如果在曲面上任取一点如果在曲面上任取一点,当该点在曲面上连当该点在曲面上连续运动又回到出发点时续运动又回到出发点时,其单位法线向量也回其单位法线向量也回到原先的位置到原先的位置.光滑曲面光滑曲面:双侧曲面双侧曲面:一、有向曲面一、有向曲面2021-11-327n S Sn单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带双侧曲面双侧曲面n 2021-11-328有向曲面有向曲面: 指定曲面的一侧为正，即在两个单位法向指定曲面的一侧为正，即在两个单位法向量中选定一个为正量中选定一个为正.0),(:)1( zyxFS),(),(zyxF

17、zyxFn ),(),(),(:)2(vuzzvuyyvuxxS 222CBAkCjBiAn ),(:) 3(yxfzS 22)()(1yfxfyfxfkjin 2021-11-329有向曲面的边界有向曲面的边界:.是是有有向向曲曲线线的的边边界界有有向向曲曲面面SS .组组成成右右手手系系的的单单位位法法向向量量的的方方向向与与有有向向曲曲面面nSS nSS 有向面积微元：有向面积微元：dSnSd ,为为正正侧侧单单位位法法向向量量其其中中n dzzdSyx221 曲曲面面面面积积微微元元2021-11-330例例 设空间有某种稳定流体在流动设空间有某种稳定流体在流动,其速度仅依其速度仅依)

18、,(zyxvv 的的流流量量求求单单位位时时间间流流过过曲曲面面 S.单单位位法法向向量量上上侧侧的的为为侧侧流流向向上上侧侧的的下下假假设设流流体体从从曲曲面面SnS赖于空间点的位置赖于空间点的位置.即即解解nSvdSdSnvdQ SSSdvdSnvQ二、第二型曲面积分的概二、第二型曲面积分的概念念2021-11-331则则称称积积分分的的正正向向单单位位法法向向量量是是中中的的光光滑滑有有向向曲曲面面是是向向量量场场上上的的连连续续是是分分布布在在设设,),(.,),(3SzyxnSRzyxv 定义定义: (第二型曲面积分第二型曲面积分) SSSdvdSzyxnzyxv),(),(.),(第第二二型型曲曲面面积积分分上上沿沿指指定定侧侧的的在在曲曲面面为为向向量量场场Szyxv2021-1