全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)

1、全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三

2、角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等

3、是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知 ABC中，A 60°, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】页脚MBE如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作DMN 60 ,射线MN与/DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 数量关系？【变式拓展训练】如图，点M为正方形 ABCD的边AB上任意一点, 于点N , MD与MN有怎样的数量关系？MN DM且与/ABC外角的平分线交【例3】 已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD =

4、 /FAE.求证：BE+DF=AE.【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、 ACE,连结CD、BE相交于点O.求证：OA平分 DOE .A【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 AMN的周长.【例6】五边形 ABCDE中，AB=AE,BC + DE=CD ,求证：AD平分/ CDE/ ABC + Z AED=180EBAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ,A 20 ,在边AB上取点D ,使AD BC ,A板块

5、二、全等与角度【例7】如图，在ABC中, 求 ABC的度数.【例8】在等月ABC中，AB AC,顶角 求 BDC .页脚C【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在 ABC中，AC BC,M在AC上，N在BC上，且满足 BAN 50 , ABM 60 ,求 NMB.页脚【例10 在四边形ABCD中，已知AB AC, 求 DBC的度数.ABD 60 , ADB 76 ,如图所示，DBC 24 ,在四边形ABCD中求 ACD的度数.【例11】（日本算术奥林匹克试题）CAB 36 , ABD 48 ,【例12（河南省数学竞赛试题）在正ABC内取一点D ,使DA DB, 在 ABC 外取一点 E

6、,使 DBE DBC，且 BE BA,求 BED.【例13（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中，BAC BCA 44 , M为 ABC 内一点，使得MCA 30 , MAC 16 ,求 BMC的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 ADA延长 AD至ij E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52.已知：/ 1=Z2, CD=DE ,

7、EF/AB ,求证：EF=AC 证明：过E点，作EG/AC ,交AD延长线于 G则/ DEG= ZDCA , / DGE= Z 2又 CD=DE ./ADC 且/GDE (AAS)EG=AC EF/AB ./ DFE=Z 11=/2 ./ DFE=Z DGE.EF=EGEF=AC证明：在AC 上截取 AE=AB ,连接 ED . AD 平分/ BAC/ EAD= / BADX / AE=AB , AD=AD /AEDEABD (SAS)/ AED= / B, DE=DB .AC=AB+BDAC=AE+CE.CE=DE/ C= / EDC / AED= / C+ / EDC=2 / CB=2Z

8、C 4.已知：AC 平分/ BAD , CEXAB , /B+/D=180 ° ,求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F,使EF= EB,连接CF因为CE± AB所以/ CEB = Z CEF= 90 °因为 EB=EF, CE = CE,所以 CEBA CEF所以/ B=Z CFE因为/ B+Z D= 180 ° , ZCFE + Z CFA = 180 °所以/ D = Z CFA因为AC平分/ BAD所以/ DAC =Z FAC又因为AC =AC所以 ADCAFC (SAS)所以AD = AF所以 AE = AF + FE= AD +

9、 BE5.如图，四边形 ABCD中，AB / DC , BE、CE 分别平分/ ABC、/ BCD ,且点 E在 AD 上。求证： BC=AB+DC 。证明：在BC上截取BF=BA,连接EF./ ABE= / FBE,BE=BE,则ABE0A FBE(SAS), EFB=Z A;AB 平行于 CD,则：/ A+ / D=180 ° 又/ EFB+Z EFC=180 ° ,贝UEFC=又/ FCE= / DCE,CE=CE,故FCEA DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.6. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求

10、 DCE作AG / BD交DE延长线于 GAGE全等BDEAG=BD=5AGF sCDFAF=AG=5所以 DC=CF=27. （5 分）如图，在 ABC 中，BD=DC , Z 1= Z2,求证：AD ± BC.ZABC= Z ACB;延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/ DBC= /角 DCB;/ 1= /2;/ DBC+ / 1=/角 DCB+ / 2;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;/ BAD= / CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC8. （5分）如图，OM 平分/ POQ , MA ±OP,MB±OQ , A

11、、B为垂足，AB交OM于点 N.OAB=Z OBA因为AOM 与MOB都为直角三角形、共用 OM ,且/ MOA= / MOB所以MA=MB所以/ MAB= / MBA因为/ OAM= / OBM=90 度所以/ OAB=90- ZMAB / OBA=90- /MBA/ OBA9. （5分）如图，已知 AD / BC, / PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线 交 AP 于 D.求证：AD + BC=AB.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点， PA/BC ./ PAB+ / CBA=180 ° ,又,，AE, BE均为/ PAB和/ CBA 的角平分线 /

12、EAB+ / EBA=90 °/ AEB=90 ° EAB 为直角三角形在三角形 ABF中，AEXBF,且AE为/ FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形 DEF与三角形BEC中， / EBC= / DFE,且 BE=EF, / DEF= / CEB ,三角形 DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC 10. （6分）如图， ABC中，AD是/ CAB的平分线，且 AB=AC+CD,求证：/ C=2 /B证明：在 AB上找点E,使AE=ACA. AE=AC , / EAD= / CAD , AD=AD.

13、-.ADE ADC 。 DE=CD , Z AED= ZC,. AB=AC+CD , DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEZB=Z EDB/ C= / B+ / EDB=2 / B11 . （7分）如图， ABC中，/ BAC =90度，AB=AC , BD是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过 C点的直线于 E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：延长 BA、CE,两线相交于点 F BEXCE ./ BEF=Z BEC=90 °在 8£5和4 BEC中/ FBE=Z CBE, BE=BE, / BEF=Z BEC . BEF BEC(ASA)EF

14、=ECCF=2CE / ABD+ / ADB=90 ° , ACF+ / CDE=90 ° 又. / ADB= ZCDE/ ABD= / ACF在 ABD和 ACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90 ABDAACF(ASA)BD=CFBD=2CE12、(10分)如图：AE、BC交于点 M, F点在 AM 上,BE/ CF , BE=CF。求证：AM 是ABC 的中线。证明：. BE | CF/ E=/ CFM , / EBM= / FCM .BE=CF . BEMA CFM.BM=CM .AM是 ABC的中线.13、（10分）AB=A

15、C , DB=DC , F是AD的延长线上的一点。求证:证明：在 ABD与/ ACD 中AB=ACBD=DCAD=ADABDAACD ./ ADB= / ADC ./ BDF= Z FDC在 BDF与 FDC中BD=DC/ BDF= / FDCDF=DF . FBDA FCDBF=FC14、（12 分）如图：AB=CD , AE=DF , CE=FB。求证:AF=DE。因为AB=DCAE=DF,BF=CFCE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DC BF=CE三角形 ABF二三角形CDE所以AF=DE15 .已知：如图所示， AB = AD,

16、BC = DC, E、F分别是 DC、BC的中点，求证：AE = AF。连结BD,得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC ,由等 腰两底角相等得：角ABC二角ADC在结合已知条件证得： ADEA ABF得 AE=AF16 .如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1=/2, /3=/4,求证：/ 5= / 6 .因为角1二角2/3=/4所以角 ADC二角ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC ,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC 所以/ 5=7 617 .已知：如图，AB=AC, BD AC, CE AB,垂足

17、分别为 D、E, BD、CE相交于点F,求证：BE=CD .证明：因为 AB=AC ,所以 / EBC= / DCB因为 BDXAC , CEXAB所以 / BEC= / CDBBC=CB （公共边）则有三角形EBC全等于三角形 DCB所以BE=CD18 .如图，在 ABC 中，AD 为/ BAC 的平分线，DEXABT E, DF± AC 于 F。求证：DE=DF.AAS 证AD EA ADF19.在 ABC 中， ACB 90 , AC BC ,直线 MN 经过点 C ,且 AD MN 于 D ,BEDEMN于E .当直线MN绕点C旋转到图AD BE ；1的位置时，求证: ADC

18、 CEB；2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明;(2)当直线MN绕点C旋转到图 若不成立，说明理由.(1)证明：ACB=90 ° , / ACD+ / BCE=90 ° ,而 AD，MN 于 D , BEX MN 于 E,，/ADC= / CEB=90 ° , /BCE+/ CBE=90 ./ ACD= / QBE.在 RtAADC 和 Rt CEB 中， ZADC= / CEB / ACD= / CBE AC=CB , RtAADC RtACEB (AAS), .AD=CE , DC=BE, .DE=DC+CE=BE+AD(2)不成立，证明：在 ADC CEB 中，/ADC= / CEB=90 ° /ACD= / CBE AC=CB , .ADC CEB (AAS), .AD=CE ,