江苏省无锡市辅仁高中2016届高三(上)12月月测数学试卷(解析版)

1、2015-2016学年江苏省无锡市辅仁高中高三（上）12月月测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知复数z满足（i为虚数单位），则|z|=2已知集合A=1，0，1，2，B=x|x210，则AB=3设点是角终边上一点，若，则m=4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是5执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是6直线3x+4y15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为7已知等差数列an，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为

2、8已知双曲线x2=1的一条渐近线与直线x2y+3=0垂直，则a=9设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b=10已知平行四边形ABCD中，AD=2，BAD=60°，若E为DC中点，且=1，则=11在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若MOA=30°，则该椭圆的离心率的值为12过点P（1，0）作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，依次下去，得到第n+1（nN）个切点Tn+1，则点T2015的坐标为13如图，点C为半圆的直

3、径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若，则PAC的面积的最大值为14ABC中，tanA=，B=若椭圆E以AB为长轴，且过点C，则椭圆E的离心率是二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15在ABC中，BC=3，点D在BC边上（1）若AD为A的平分线，且BD=1，求ABC的面积；（2）若AD为ABC的中线，且AD=，求证：ABC为等边三角形16如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ACBD，AC与BD交于点O，且平面PAC底面ABCD，E为棱PA上一点（1）求证：BDOE；（2）若AB=2CD，

4、AE=2EP，求证：EO平面PBC17平面直角坐标系xOy中，已知M经过点F1（0，c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c0（1）求M的标准方程（用含c的式子表示）；（2）已知椭圆（其中a2b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由18某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E

5、（0，t）（0t25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=ax2+50（a0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径假定拟建体育馆的高OB=50米（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值（参考公式：若，则）19已知数列an，bn满足a1=3，anbn=2，bn+1=an（bn），nN*（1）求证：数列是等差数列，并求数列bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn=2an5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r（pqr），使得，成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，说明理由20已

6、知函数f（x）=ex（其中e是自然数的底数），g（x）=x2+ax+1，aR（1）记函数F（x）=f（x）g（x），且a0，求F（x）的单调增区间；（2）若对任意x1，x20，2，x1x2，均有|f（x1）f（x2）|g（x1）g（x2）|成立，求实数a的取值范围2015-2016学年江苏省无锡市辅仁高中高三（上）12月月测数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知复数z满足（i为虚数单位），则|z|=2【考点】复数求模【专题】计算题；分析法；数系的扩充和复数【分析】先求出复数z，然后利用求模公式可得答

7、案【解答】解：由iz=1+i得， =，故|z|=故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的运算、复数求模，属基础题2已知集合A=1，0，1，2，B=x|x210，则AB=2【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】求出集合B中不等式的解集，确定出B，得出两集合的交集即可【解答】解：x210，x1或x1，即B=x|x1或x1，A=1，0，1，2，AB=2故答案为：2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3设点是角终边上一点，若，则m=【考点】任意角的三角函数的定义【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得m的值【解答】解：由题

8、意可得cos=，求得m=，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】计算题【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，共有4×4种结果，满足条件的事件是为整数，包括当y=1时，有4种结果，以此类推，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体，记所得的数字分别为x，y，共有

9、4×4=16种结果，满足条件的事件是为整数，包括当y=1时，有4种结果，当y=2时，有2种结果，当y=3时，有1种结果，当y=4时，有1种结果，共有4+2+1+1=8种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故答案为：【点评】本题考查古典概型，是一个与数字结合的古典概型问题，数字问题是经常出现的概率问题，并且常考常新，是一个基础题5执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是1【考点】程序框图【专题】图表型；试验法；算法和程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，不

10、满足退出循环的条件：S=，n=2；当n=2时，不满足退出循环的条件：S=1，n=3；当n=3时，不满足退出循环的条件：S=2，n=4；当n=4时，不满足退出循环的条件：S=，n=5；当n=5时，不满足退出循环的条件：S=1，n=6；当n=6时，不满足退出循环的条件：S=2，n=7；当n=7时，不满足退出循环的条件：S=，n=8；当n=8时，不满足退出循环的条件：S=1，n=9；当n=9时，满足退出循环的条件，故输出的S值为：1，故答案为：1【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题6直线3x+4y15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的

11、长为8【考点】直线与圆相交的性质【专题】计算题【分析】求出圆的圆心坐标、半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长即可【解答】解：x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，所以|AB|=4，所以|AB|=8故答案为：8【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、弦长问题，考查计算能力7已知等差数列an，a4+a6=10，前5项的和S5=5，则其公差为2【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】设公差为d，由题意可得 2a1+8d=10，5a1+=5，解方程组求得d的值【解答】解：等差数列an

12、，a4+a6=10，前5项的和S5=5，设公差为d由题意可得 2a1+8d=10，5a1+=5，解方程组求得d=2，故答案为 2【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于基础题8已知双曲线x2=1的一条渐近线与直线x2y+3=0垂直，则a=4【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】首先根据题意，由双曲线的方程判断出a0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线x2y+3=0的斜率，根据直线垂直判断方法，可得=2，解可得答案【解答】解：根据题意，已知双曲线的方程为，则a0；双曲线的渐近线方程为y=±x；直线x2y+3=0的斜率为，若双曲线的一条渐近线与直线x2y+

13、3=0垂直，必有双曲线的一条渐近线的斜率为2；即=2，即a=4；故答案为：4【点评】本题考查双曲线的性质，要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法9设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则b=或3【考点】正弦定理【专题】计算题；分类讨论；分析法；解三角形【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理即可求b的值【解答】解：sinB=，B=或B=，当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，解得b=，当B=时，C=，A=，由正弦定理可得： =3故答案为：或3【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键，考查了分类讨论思想和计算能力

14、，属于中档题10已知平行四边形ABCD中，AD=2，BAD=60°，若E为DC中点，且=1，则=3【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由已知等式求出AB的长度，利用平面向量的数量积解答即可【解答】解：由已知平行四边形ABCD中，AD=2，BAD=60°，若E为DC中点，且=1，则（）=1，展开得到=1，设|=x，整理则x2+x6=0，解得x=2，所以AB=2所以=（）（）=（）（）=4×2×=3；故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算；利用平行四边形的性质得到向量相等11在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

15、的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若MOA=30°，则该椭圆的离心率的值为【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】求出AB的中点M的坐标，利用MOA=30°，得到a，b关系，通过a，b，c的关系，求出椭圆的离心率【解答】解：由题意可知M（），又MOA=30°，所以tan30°=，a2=3b2又b2=a2c2，所以2a2=3c2，所以椭圆的离心率为：故答案为：【点评】本题考查椭圆的基本性质，椭圆的离心率的求法，考查计算能力12过点P（1，0）作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1再作曲线C的切线，切点为

16、T2，设T2在x轴上的投影是点H2，依次下去，得到第n+1（nN）个切点Tn+1，则点T2015的坐标为（2014，e2014）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；归纳法；导数的概念及应用【分析】设T1（x1，），可得切线方程代入点P坐标，可解得x1=0，即T1（0，1），可得H1（0，0），求出切线方程代入点H1（0，0），可得T2（1，e），H2（1，0），由此可推得规律，从而可得结论【解答】解：设T1（x1，），此处的导数值为，故切线方程为y=（xx1），代入点P（1，0），可得0=（1x1），解得x1=0，即T1（0，1），H1（0，0），同理可得过点H1再作曲线C

17、的切线方程为y=（xx2），代入点H1（0，0），可得0=（0x2），可解得x2=1，故T2（1，e），H2（1，0），依次下去，可得T2015的坐标为（2014，e2014）故答案为：（2014，e2014）【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题13如图，点C为半圆的直径AB延长线上一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若，则PAC的面积的最大值为【考点】圆的切线的性质定理的证明【专题】直线与圆【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（，0）为圆心，以为半径的

18、圆，由此能求出PAC的面积的最大值【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，AB=BC=2，C（3，0），设P（x，y），过动点P作半圆的切线PQ，=，整理，得x2+y2+3x6=0，点P的轨迹方程是以（，0）为圆心，以r=为半径的圆，当点P在直线x=上时，PAC的面积的最大，（SPAC）max=故答案为：【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用14ABC中，tanA=，B=若椭圆E以AB为长轴，且过点C，则椭圆E的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、

19、性质与方程【分析】由已知求得sinA、sinB、sinC的值，设出BC的长度，再由题意建系求出椭圆的方程，进一步求得椭圆E的离心率【解答】解：由tanA=，得sinA=，cosA=又B=，sinB=，cosB=则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=由正弦定理可得BC：CA：AB=sinA：sinB：sinC=1：不妨取BC=1，CA=，AB=以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建系（C在上方），D是C在AB上的射影求得AD=，OD=，CD=，点C（）设椭圆方程，则a2=2，且，解得：，e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了正弦定理在解三角形中的应用，

20、考查计算能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15在ABC中，BC=3，点D在BC边上（1）若AD为A的平分线，且BD=1，求ABC的面积；（2）若AD为ABC的中线，且AD=，求证：ABC为等边三角形【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）利用正弦定理可得：，相除得：AC=2AB，利用余弦定理可求AC，AB的值，根据三角形面积公式即可求值得解（2）由，平方整理可得：AB2+AC2+ABAC=27，又AB2+AC2ABAC=BC2=9，相减得AB

21、AC=9，解得AB=AC，又C=60°，即可得证【解答】解：（1）在ABD中，在ACD中，相除得：AC=2AB 3分在ABC中，AB=，AC=26分7分（2），AB2+AC2+ABAC=279分又AB2+AC2ABAC=BC2=9，相减得ABAC=9，11分AB2+AC2ABAC=9=ABAC，（ABAC）2=0即：AB=AC，又C=60°，三角形ABC为等边三角形14分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了平面向量的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题16如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ACBD，AC与BD交于点O，且平面P

22、AC底面ABCD，E为棱PA上一点（1）求证：BDOE；（2）若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO平面PBC【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）由面面垂直的性质得BD平面PAC，由此利用线面垂直的性质能证明BDOE（2）由已知得=2，由ABCD，AC与BD交于点O，得，从而利用平行线分线段成比例定理得OEPC，由此能证明EO平面PBC【解答】（1）证明：在四棱锥PABCD中，ACBD，且平面PAC底面ABCD，BDAC=O，BD平面PAC，OE平面PAC，BDOE（2）证明：AB=2CD，AE=2EP， =2，ABCD，AC与BD交于点

23、O，AOBCOD，OEPC，EO平面PBC，PC平面PBC，EO平面PBC【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养17平面直角坐标系xOy中，已知M经过点F1（0，c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c0（1）求M的标准方程（用含c的式子表示）；（2）已知椭圆（其中a2b2=c2）的左、右顶点分别为D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定

24、直线的方程；若不是，请说明理由【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线的一般式方程；圆的标准方程；椭圆的简单性质【专题】综合题【分析】（1）设M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题设，得，由此能求出M的方程（2）M与x轴的两个交点，又B（b，0），D（b，0），由题设，由此能求出椭圆离心率的取值范围（3）由，得所以直线MF1的方程为，由此能够导出直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上【解答】解：（1）设M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则由题设，得解得M的方程为，M的标准方程为；（2）M与x轴的两个交点，又B（b，0），D（b，0），由题设即所以解得，即所以椭圆离心率的取值范围为；

25、（3）由（1），得由题设，得，直线MF1的方程为，直线DF2的方程为由，得直线MF1与直线DF2的交点，易知为定值，直线MF1与直线DF2的交点Q在定直线上【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆曲线的性质和公式的合理运用18某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0t25，单位：米）；曲线BC是抛物线y=ax2+50（a0）的一部分；CDAD，且CD恰好等于圆E的半径假定拟建体育馆的高OB=50米（1）若要求CD=30米，AD=米，求t与a的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度

26、DF不超过75米，求a的取值范围；（3）若，求AD的最大值（参考公式：若，则）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用【分析】（1）由CD=50t=30，解得t=20可得圆E：x2+（y20）2=302，令y=0，得|AO|，即可得出|OD|=|AD|AO|，将点C代入y=ax2+50（a0）中，解得a即可（2）由于圆E的半径为50t，可得CD=50t，在y=ax2+50中，令y=50t，得，由题意知对t（0，25恒成立，即恒成立，利用基本不等式的性质解出即可（3）当时，又圆E的方程为x2+（yt）2=（50t）2，令y=0，得，从而，方法一：利用导数研究其单调性极值即可

27、；方法二：（三角换元）令，利用三角函数的单调性值域，解出即可；方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x0，y0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值利用线性规划的有关知识解出即可【解答】解：（1）CD=50t=30，解得t=20此时圆E：x2+（y20）2=302，令y=0，得，将点代入y=ax2+50（a0）中，解得（2）圆E的半径为50t，CD=50t，在y=ax2+50中，令y=50t，得，则由题意知对t（0，25恒成立，恒成立，而当，即t=25时，取最小值10，故，解得（3）当时，又圆E的方程为x2+（yt）2=（50t）2，令y=0，得，从而，又f（t）=5=，

28、令f'（t）=0，得t=5，当t（0，5）时，f'（t）0，f（t）单调递增；当t（5，25）时，f'（t）0，f（t）单调递减，从而当t=5时，f（t）取最大值为25答：当t=5米时，AD的最大值为25米（3）方法二：（三角换元）令，则=，其中是锐角，且，从而当时，AD取得最大值为25米方法三：令，则题意相当于：已知x2+y2=25（x0，y0），求z=AD=5×（2x+y）的最大值根据线性规划知识，当直线y=2x+与圆弧x2+y2=25（x0，y0）相切时，z取得最大值为25米【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最

29、值、三角函数换元、线性规划的有关知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题19已知数列an，bn满足a1=3，anbn=2，bn+1=an（bn），nN*（1）求证：数列是等差数列，并求数列bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn=2an5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r（pqr），使得，成等差数列？若存在，试用p表示q，r；若不存在，说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由已知条件推导出bn+1=anbn=，由此能证明是等差数列，并能求出数列bn的通项公式（2）由an=n+2，得以cn=2an5=2n1，由此推导出

30、当p=1时，不存在q，r满足题设条件；当p2时，存在q=2p1，r=4p25p+2，满足题设条件【解答】（1）证明：anbn=2，则bn+1=anbn=2=2=，又a1=3，是首项为，公差为的等差数列，即=，（2）解：由（1）知an=n+2，cn=2an5=2n1，当p=1时，cp=c1=1，cq=2q1，cr=2r1，若，成等差数列，则（*），pqr，q2，r3，1+1，（*）不成立当p2时，若，成等差数列，则=，=，即2r1=，r=，欲满足题设条件，只需q=2p1，此时r=4p25p+2，p2，q=2p1p，rq=4p27p+3=4（p1）2+p10，即rq 综上所述，当p=1时，不存在q，r满足题设条件；当p2时，存在q=2p1，r=4p25p+2，满足题设条件【点