第5讲数量场的方向导数与梯度

1、第二章第二章 场论场论第第5讲讲 数量场的方向导数和梯度数量场的方向导数和梯度主要内容主要内容l1. 数量场的方向导数数量场的方向导数l2. 数量场的梯度数量场的梯度教材：第教材：第2章章 第第2节节方向导数定义：方向导数定义：l1.数量场的方向导数数量场的方向导数 设设m m0 0是数量场是数量场u u = =u u(m)(m)中的一个已知点，从点中的一个已知点，从点m m0 0出出发沿某一方向引一条射线发沿某一方向引一条射线l l, , 在在l l上点上点m m0 0的邻近取一动点的邻近取一动点m m，记记 ，如图所示。若当，如图所示。若当m m 趋于趋于m m0 0时时( (即即趋于零趋

2、于零时时) )， mm0的极限存在，的极限存在，mmmumuu00)()(方向导数的定义方向导数的定义则称此极限为则称此极限为函数函数u u( (m m) )在点在点m m0 0处沿处沿l l方向的方向导数方向的方向导数，记为记为: : mmmumulummm00)()(lim00定理定理1.若若函数函数u u = =u u( (x, y, zx, y, z) )在点在点m m0 0( (x x0 0, , y y0 0, , z z0 0) )处可处可微，则函数微，则函数u u在点在点m m0 0处沿处沿l l方向的方向导数必定存在，且方向的方向导数必定存在，且其数值由如下公式给出：其数值由

3、如下公式给出：coscoscos0zuxuxulum 其中其中 ， ， 是在点是在点m m0 0处的偏处的偏数，数， ， ， 为为 l 方向方向的方向余弦。的方向余弦。coscoscosxuyuzu 证明：证明：m m点的坐标为点的坐标为m m( (x x0 0+x x, , y y0 0+y y, , z z0 0+z z) )，由，由于函数于函数u u在在m m0 0处可微，故处可微，故 其中其中在在0 0时趋于零，上式两边除以时趋于零，上式两边除以，可得：，可得： coscoscoszuyuxuzzuyyuxxuuzzuyyuxxumumuu)()(0令令0 0取极限，注意到此时有取极限

4、，注意到此时有0 0，则得到定理，则得到定理1.1.例例1 1： 求函数求函数 在点在点m(1,0,1)m(1,0,1)处处沿沿 方向的方向导数。方向的方向导数。222zyxukjil22 解：解：222zyxxxu222zyxyyu222zyxzzu在点在点m(1,0,1)m(1,0,1)处有：处有：21xu0yu21zu而而l的方向余弦为：的方向余弦为：31cos32cos32cos由定理由定理1 1可得：可得：2232213203121coscoscoszuyuxulu定理定理2.2.若在有向曲线若在有向曲线c c上取定一点上取定一点m m0 0作为计算弧长作为计算弧长s s的起点，并以

5、的起点，并以c c之正向作为之正向作为s s增大的方向；增大的方向；m m为为c c上的一上的一点，在点点，在点m m处沿处沿c c之正向作一与之正向作一与c c相切的射线相切的射线l, ,如图，如图，则当曲线则当曲线c c光滑，函数光滑，函数u u在点在点m m处可微时，处可微时，函数函数u u沿沿l方方向的方向导数就等于函数向的方向导数就等于函数u u对对s s的全导数的全导数，即：，即：dsdulu证明： 由于曲线由于曲线c c是光滑的，因此可用弧长是光滑的，因此可用弧长s s作为参作为参数在描述其参数方程：数在描述其参数方程： x=x(s), y=y(s), z=z(s).沿曲线沿曲线

6、c,c,函数表示为函数表示为 u=ux(s), y(s),z(s).点点m m处，函数处，函数u u可微，则可微，则u u对对s s的全导数为：的全导数为：dsdzzudsdyyudsdxxudsdu注意到注意到 ， ， 是曲线是曲线c c的正向切线的正向切线l的方向余弦，的方向余弦，即：即：dsdxdsdxdsdxcosdsdxcosdsdzcosdsdyluzuxuxudsducoscoscos即有：即有：证毕证毕! !函数沿曲线方向的方向导数：函数沿曲线方向的方向导数：定义：定义： 如图，从如图，从m m点出发沿点出发沿c c之正向取一点之正向取一点m1,m1,记弧记弧长长 , ,若当若

7、当m1mm1m时，比式：时，比式：11)()(mmmumusu的极限存在，称之为的极限存在，称之为函函数数u u在点在点m m处沿曲线（正处沿曲线（正向）的方向导数向）的方向导数记为：记为：susmm1定理定理3.3.若曲线若曲线c c光滑，在点光滑，在点m m处处函数函数u u可微，则有：可微，则有：dsdusu证明：证明：由于曲线由于曲线c c光滑，在点光滑，在点m m处函数可微，故全导处函数可微，故全导数数 存在。而存在。而 按定义实际上是一个右极限按定义实际上是一个右极限dsdususususlim0故当故当 存在时，就有存在时，就有dsdususudsduslim0推论：推论：若曲线

8、若曲线c c光滑，在点光滑，在点m m处函数处函数u u可微。则有：可微。则有：lusu 也就是说，函数也就是说，函数u u在点在点m m处沿处沿曲线曲线c c（正向）的（正向）的方向导数方向导数与函数与函数u u在点在点m m处处沿沿c c的切线方向（指向的切线方向（指向c c的的正向一侧）的方向导数正向一侧）的方向导数相等。相等。 例例2 2： 求函数求函数 在点在点m m（2,32,3）处沿曲）处沿曲线线 朝朝x x增大一方的方向导数。增大一方的方向导数。223yyxu12 xy解：解：根据推论，只需求出函数根据推论，只需求出函数u沿曲线沿曲线 在在点点m(2,3)处沿处沿x增大方向的切

9、线方向导数即可。增大方向的切线方向导数即可。12 xy将曲线方程改为矢量形式：将曲线方程改为矢量形式：jxxiyjxir) 1(2其导矢：其导矢：xjir2就是曲线沿就是曲线沿x x增大方向的切向矢量，代入点增大方向的切向矢量，代入点m m（2,32,3）得）得jirm4其方向余弦为：其方向余弦为：171cos174cos函数函数u u在点在点m m处的偏导数为：处的偏导数为：. 6)23(,3662mmmmyxyuxyxu所求方向导数为：所求方向导数为：1760174617136coscosyuxusul2.数量场的梯度数量场的梯度coscoscoszuxuxulu考察方向导数的公式：考察方

10、向导数的公式：可以看成是矢量可以看成是矢量g g与矢量与矢量 的数量积的数量积0l),cos(00lgglglu其中：其中：, kzujyuixugkjilcoscoscos0 显然显然 为为 方向上的单位矢量，因此方向上的单位矢量，因此函数函数u u在在 方向方向上的方向导数等于上的方向导数等于g g在在 方向上的投影方向上的投影，如下式：，如下式：),cos(00lgglglu0llll 因此当方向因此当方向 与与g g 的方向一致时，即的方向一致时，即 函数函数u u的方向导数取得最大值为：的方向导数取得最大值为：lglu1),cos(0lg 由此可见矢量由此可见矢量g g的方向就是函数

11、的方向就是函数u u（m m）变化率最大的）变化率最大的方向，其模就是最大变化率的数值，我们把方向，其模就是最大变化率的数值，我们把g g称为函数称为函数u u在给定点处的梯度。在给定点处的梯度。（1 1）梯度的定义：）梯度的定义： 在数量场在数量场u(m)u(m)中的一点中的一点m m处，存在这样一个矢量处，存在这样一个矢量g g，其方向为函数其方向为函数u(m)u(m)在点在点m m处变化率最大的方向，其模也处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量正好是这个最大变化率的数值。则称矢量g g为为函数函数u(m)u(m)在点在点m m处的梯度处的梯度，记作，记作grad

12、u,grad u,即：即：gugrad 我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直角坐标系中的表达式为：角坐标系中的表达式为：kzujyuixuggradu（2 2）梯度的性质：）梯度的性质：性质性质1 1：函数函数u u沿沿l l方向的方向导数等于梯度在该方向方向的方向导数等于梯度在该方向 的投影。写作：的投影。写作：ugradlul性质性质2 2：数量场数量场u(m)u(m)中每一点中每一点m m处的梯度，垂直与过该点的处的梯度，垂直与过该点的等值面，且指向函数等值面，且指向函数u(m)u(m)增大的一方。增大的一方。 由性质由性质2 2可知：在等值面

13、上任一点处的单位法矢量可知：在等值面上任一点处的单位法矢量 ，就可以通过在该点的梯度表示为：就可以通过在该点的梯度表示为：0n,0gradugradun符号由符号由 的取向来确定。的取向来确定。0n 把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就得到一个矢量场，成为此数量场产生的得到一个矢量场，成为此数量场产生的梯度场梯度场。例例3 3： 设设 为点为点m(m(x,y,zx,y,z) )的矢径的矢径r r的模，的模，试证：试证：222zyxr0rrrrgrad证明：证明：,222rxzyxxxr同理同理,rzzrryyr0rrrkrzjryirxk

14、zrjyrixrrgrad于是于是例例4 4： 求数量场求数量场 在点在点m(2,-1,1)m(2,-1,1)处的处的梯度及在矢量梯度及在矢量 方向的方向导数。方向的方向导数。32yzxyukjil22解：解：kyzjzxyiykzujyuixuugrad2323)2(kjiugradm33 m m点的梯度为：点的梯度为：kjilll3132320l 方向的单位矢量为：方向的单位矢量为：m m点在点在l 方向的方向导数为方向的方向导数为（梯度在（梯度在l方向的投影）方向的投影）31)31()3(32)3(321momlmlugradugradlu例例5 5： 求常数求常数a,b,ca,b,c之

15、值，使函数之值，使函数 在点在点m(1,2,-1)m(1,2,-1)处沿平行于处沿平行于z z轴方向上的方向导数取轴方向上的方向导数取得最大值得最大值32.32. 322xczbyzaxyu解：解：由题意知梯度方向平行于由题意知梯度方向平行于z z轴，且其模等于轴，且其模等于3232，则有，则有kczxbyjbzaxyixczaykzujyuixuugrad)2()2()3(3222kcbjbaicaugradm)22()4()34(3222 ,4 , 034cbbaca解得：解得：a=3,b=12,c=-4; a=3,b=12,c=-4; 或或 a=-3,b=-12,c=4a=-3,b=-1

16、2,c=4（3 3）梯度运算的基本公式：）梯度运算的基本公式：ucucgrad)(grad(2)uvvuvugradgrad)(grad(4)0grad(1)cuufufgrad)()(grad(6)vuvugradgrad)(grad(3)grad(vgrad1)(grad(5)2vuuvvuvufuufvufgradgrad),(grad(7)例例7 7： 设有一温度场设有一温度场u(m),u(m),由于场中各点的温度各不相同，由于场中各点的温度各不相同，因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点，因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点，根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的

17、热根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的热流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任一点处，沿一点处，沿 l 方向的热流强度为：方向的热流强度为：luk 其中其中k k称为称为内导热系数内导热系数，负号表示热流方向与温度，负号表示热流方向与温度增大的方向相反增大的方向相反记：记：ukqgrad则热流强度：则热流强度：),cos(lqqluk 只有当只有当 l 的方向与的方向与q q 的方向一致时的方向一致时, ,热流强度取热流强度取得最大值得最大值| |q q| |。即矢量。即矢量q q 的方向表达了热流强度最大的方向表达了热流强度最大的方向，其模表示最大热流强度的数值。的方向，其模表示最大热流强度的数值。称称q q 为热流为热流矢量。矢量。是传热学中的重要概念。是传热学中的重要概念。例例8 8： 设有位于坐标原点的点电荷设有位于坐标原点的点电荷q，由电学知道，在，由电学知道，在其周围空间的任一点其周围空间的任一点m(m(x,y,zx,y,z) )处所产生电位为：处所产生电位为：rqv4其中其中为介电常数，为介电常数， 试求电位试求