测试技术课件1信号及其描述

1、11 信号的描述信号的描述1.1 信号的分类信号的分类1.1.1 从随时间变化规律的角度分类从随时间变化规律的角度分类确定性信号确定性信号随机信号随机信号周期周期非周期非周期平稳平稳非平稳非平稳简谐简谐复杂周期复杂周期准周期准周期瞬变瞬变各态历经各态历经非各态历经非各态历经(1) 确定性信号确定性信号 周期信号周期信号周期信号可以用明确的数学关系式或图象表达。可以用明确的数学关系式或图象表达。x(t)=x(t+t)例如例如 x(t)=sin(t+)周期周期 t =2/=1/f)sin()(0ntaty式中式中 振幅振幅 固有圆频率固有圆频率 初相角初相角mkn 简谐信号简谐信号简谐振动简谐信号

2、简谐信号为单一频率的正弦信号。例如为单一频率的正弦信号。例如单自由单自由度无阻尼质量度无阻尼质量-弹簧振动系统弹簧振动系统的位移信号的位移信号: 复杂周期信号复杂周期信号)5sin513sin31(sin4)(000tttatx是由两种以上的频率比为有理数的简谐信号合是由两种以上的频率比为有理数的简谐信号合成的。叠加后存在成的。叠加后存在公共周期公共周期。例如周期方波、。例如周期方波、周期三角波等。例如一种周期周期三角波等。例如一种周期方波：方波： 非周期信号非周期信号准周期信号准周期信号由多个频率成分叠加，频率之比不是由多个频率成分叠加，频率之比不是有理数。有理数。例如例如: :瞬变信号瞬变

3、信号在有限时间段有非零值，或随着时间的在有限时间段有非零值，或随着时间的增加衰减至零。增加衰减至零。tttx2sinsin)(瞬变信号(2) 随机信号随机信号 螺纹车床主轴受环境影响的振动波形螺纹车床主轴受环境影响的振动波形 不能用准确的数学关系式描述，可以用不能用准确的数学关系式描述，可以用概率统概率统计方法计方法估计参数。估计参数。所描述的物理现象是一种随机过程。例如所描述的物理现象是一种随机过程。例如分子分子热运动，环境的噪声，随机相位正弦波热运动，环境的噪声，随机相位正弦波等。等。1.1.2 从信号取值特征的角度分类从信号取值特征的角度分类 连续信号连续信号离散信号离散信号模拟信号模拟

4、信号（幅值和自变量均连续）（幅值和自变量均连续）一般连续连续信号（自变量连续）一般连续连续信号（自变量连续）一般离散信号（自变量离散）一般离散信号（自变量离散）数字信号数字信号（幅值和自变量均离散）（幅值和自变量均离散）信号幅值的连续和离散信号自变量的连续和离散1.1.3 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述幅频谱图幅频谱图相频谱图相频谱图时域描述 时域图时域图 傅里叶级数，傅里叶变换傅里叶级数，傅里叶变换频域描述 频谱图 时域描述表示时域描述表示信号幅值随时间变化的规律。信号幅值随时间变化的规律。 频域描述频域描述以频率为自变量，描述信号所含频以频率为自变量，描述信号所含频率成分

5、的幅值和相角。率成分的幅值和相角。1.2 周期信号周期信号1.2.1 周期信号强度的描述周期信号强度的描述ttxttxd )(1022txttxt0d)(1txttxt0d)(1可以用时间函数的统计量描述周期信号的强度。可以用时间函数的统计量描述周期信号的强度。平均值表示信号的常值分量：平均值表示信号的常值分量： 绝对均值：绝对均值： 均方值表示信号的平均功率：均方值表示信号的平均功率：均方根值又称为信号的有效值：均方根值又称为信号的有效值：tttxtx02rmsd)(11.2.2 周期信号的频谱周期信号的频谱(1) 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式)sincos()(00

6、10tnbtnaatxnnnttxtattd)(12/2/0000ttntxtattndcos)(202/2/000ttntxtbttndsin)(202/2/00000/2t其中，常值分量：其中，常值分量：余弦分量的幅值：余弦分量的幅值： 正弦分量的幅值：正弦分量的幅值： 式中式中 t0周期周期， 傅里叶级数的谐波形式傅里叶级数的谐波形式100)sin()(nnntnaatx各谐波分量的幅值和初相角分别为：各谐波分量的幅值和初相角分别为： 22nnnbaa)arctan(nnnba2/2/00000d)(1ttttxtaa其中常值分量：其中常值分量： 与谐波形式相应的频谱与谐波形式相应的频谱

7、频谱图的纵坐标分别为频谱图的纵坐标分别为an和和n，横坐标为，横坐标为。其中其中 幅值谱图幅值谱图， an图；图； 相位谱图相位谱图，n图。图。 0基频；基频； n0n次谐频；次谐频； an sin (n0t n)n次谐波。次谐波。各谐波成分的频率都是各谐波成分的频率都是0的整数倍，因此谱线的整数倍，因此谱线是离散的。是离散的。例例 求求方波的方波的，并做出，并做出。0220)(00t/ta/ttatx因为因为x(t)是是奇函数奇函数，所以，有：所以，有：0, 00naa.6 , 4 , 2, 0.;5 , 3 , 1,2dsin4dsin)(22/0002/2/0000nnnattntatt

8、ntxtbtttn解：解：0arctan)5sin513sin31(sin4)(000nnnbatttatx周期方波前4个谐波成分的叠加000411( )(sinsin3sin5)35ax tttt周期方波的时、频域描述及其关系(2) 傅里叶级数的复指数展开式傅里叶级数的复指数展开式ttetsinjcosj)(21cosjjtteet)(2 j1sinjjtteet欧拉公式：欧拉公式：)j(21)j(21)(00jj10tnnntnnnnebaebaatx00ac )j(21nnnbac)j(21nnnbac)sincos()(0010tnbtnaatxnnn)()(1jj000ntnntnn

9、ececctx对于三角函数式对于三角函数式代入欧拉公式，有代入欧拉公式，有令令 ， ， ，于是，有于是，有 ), 2, 1, 0()(0jnectxtnnn与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱式中式中幅值谱幅值谱相位谱相位谱necbannnj2/ )j(nnnnabac2122nnnabarctantetxtctnttnd)(1000j2/2/0nnnncc, 复指数函数形式的频谱为双边谱复指数函数形式的频谱为双边谱(- ,+ )，三角，三角函数形式的频谱为单边谱函数形式的频谱为单边谱(0,+ )。 两种频谱两种频谱的的各谐波幅值之间各谐波幅值之间, ,有有|c

10、n|=an/2, c0=a0 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数，即：即：(3) 三角函数展开式与复指数展开式的关系三角函数展开式与复指数展开式的关系周期方波的频谱(4) 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 周期信号的频谱是周期信号的频谱是离散离散的的； 每个谱线只出现在每个谱线只出现在基波频率的整数倍基波频率的整数倍上；上； 谐波幅值随谐波次数的增高而谐波幅值随谐波次数的增高而减小减小。因此，可。因此，可以忽略高次谐波分量。以忽略高次谐波分量。1.3 瞬变信号瞬变信号1.3.1 瞬变信号的频谱瞬变信号的频谱 tntnttnntnntetetxtec

11、tx00000jj2/2/0j)d)(1()(dd)(21)d)(1lim)(lim)(jjj2/2/j0000000tttnntttntttetetxetetxttxtx 周期信号可以写成周期信号可以写成瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即dd)(21)(jjttetetxtxtetxxtd)()(jd)(21)(jtextx定义傅里叶变换定义傅里叶变换傅里叶逆变换则为傅里叶逆变换则为分别记为分别记为x()=fx(t), x(t)= f1 x() 。x(t)和和相应的频域函数相应的频域函数x()为傅里叶变换对，记为：为傅里叶变换对，记为：x(t)

12、x()对傅里叶积分式对傅里叶积分式f 2代入代入 ，有，有tetxfxftd)()(2jfefxtxftd)()(2j一般一般x(f)是实变量的复函数，可以写成是实变量的复函数，可以写成 )(jir)()(j)()(fefxfxfxfx2i2r)()()(fxfxfx)()(arctan)(rifxfxf 周期信号幅值谱周期信号幅值谱|cn|的量纲即为信号幅值的量的量纲即为信号幅值的量纲，纲，瞬变瞬变信号幅值谱信号幅值谱|x(f)| 为信号在单位频宽上为信号在单位频宽上的幅值。所以的幅值。所以 |x(f)| 是频谱密度函数，工程测试是频谱密度函数，工程测试中仍称为频谱。中仍称为频谱。 |cn|

13、是离散的，是离散的，|x(f)|是连续的。是连续的。周期信号与瞬变信号幅值谱的区别周期信号与瞬变信号幅值谱的区别：2021)(tttttw例例 矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱 )( csin)sin(d )2cos(2d)2sin(j)2cos(d)()(2/02/2/2 jfttftftttfttftfttetwfwtttft其中其中森克函数森克函数：sincx=sinx/x。随着随着x的增加，森克函数以的增加，森克函数以2 为周期作衰减振荡；为周期作衰减振荡；它是偶函数，并且在它是偶函数，并且在n (n= 1, 2, ) )处为处为0 0。矩形窗函数及其频谱瞬变瞬变信号频谱的特点信号频谱

14、的特点：瞬变瞬变信号信号的的频谱频谱是是连续连续的，幅值随着频率的增加的，幅值随着频率的增加而而衰减衰减。1.3.2 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质(1) 奇偶虚实性奇偶虚实性tetxfxftd)()(2 j)(j)(d)2sin()(jd)2cos()(irfxfxtfttxtfttx显然，可以根据函数的奇偶性判断实频谱和虚显然，可以根据函数的奇偶性判断实频谱和虚频谱的奇偶性。频谱的奇偶性。(2) 时间尺度改变性质时间尺度改变性质)0()(1)(kkfxkktx即时域时间压缩即时域时间压缩k倍，则频域的扩展和幅值的降倍，则频域的扩展和幅值的降低均为低均为k倍。倍。证明：当信号证明：

15、当信号x(t) 的时间尺度变为的时间尺度变为 kt 时，有：时，有：)(1)(d)(1d)()(2j2jkfxkktektxktetxktkfft在信号在信号x(t) 幅值不变的条件下，有：幅值不变的条件下，有：时间尺度改变性质举例时间扩展时间扩展k=1/2 k=1时间压缩时间压缩k=2(3) 时移性质时移性质当时域信号延迟当时域信号延迟t0时，其频谱函数乘因子时，其频谱函数乘因子 ，因此会改变相频谱，而幅频谱不变。因此会改变相频谱，而幅频谱不变。 ,若若fx(t)=x(f)，并且并且t0为常数，则有：为常数，则有：02 j0)()(ftefxttx00)02 j02 j(2 j02 j0)(

16、)(d)(d)(tfftttfftefxtteettxtettx证明：证明：02 jfte(4) 频移性质频移性质tfetxffx02 j0)()(若频谱沿频率轴右移一个常值若频谱沿频率轴右移一个常值f0，对应的时域函对应的时域函数将乘因子数将乘因子 。tfe02 j与时移性质同理，有：与时移性质同理，有：(5) 卷积性质卷积性质 d )()(d )()()()(122121txxtxxtxtx两个函数两个函数x1(t)和和x2(t)的卷积定义为的卷积定义为 卷积定理：卷积定理：)()()()(2121fxfxtxtx)(*)()()(2121fxfxtxtx时域的时域的卷积卷积对应于频域的对

17、应于频域的乘积乘积；时域的乘积对应于频域的卷积。时域的乘积对应于频域的卷积。1.3.3 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱(1) 单位脉冲函数单位脉冲函数(-函数函数)-函数的定义函数的定义)(lim)(0tt1d)(d)(0, 00,)(lim0ttttttt即即单位脉冲函数矩形脉冲函数 -函数的性质函数的性质 采样性质采样性质 )0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d )()(d )()(0000txttttxttttx于是，在脉冲发生点采集到函数于是，在脉冲发生点采集到函数x(t)的值。的值。 卷积性质卷积性质 )(d )()()()(txtxttx)(d)()()()(00

18、0ttxttxtttx-函数函数卷积性质的应用卷积性质的应用:函数函数x(t)与与-函数卷积的结果，就是把函数卷积的结果，就是把x(t) 的图形的图形从坐标原点搬迁到脉冲发生点。从坐标原点搬迁到脉冲发生点。 函数x(t)与-函数的卷积 -函数的频谱函数的频谱1d)()(02 j2 jfftetetffetftd1)(2j-函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为谱常称为“均匀谱均匀谱” 。-函数的频谱02j0)(ftett)(02 j0ffetf1)(t)(1f根据傅里叶变换的时移、频移性质，还可以得根据傅里叶变换的时移、频移性质，还可以得到以下傅里

19、叶变换对：到以下傅里叶变换对：(2) 正弦函数和余弦函数的频谱正弦函数和余弦函数的频谱正弦函数和余弦函数的频谱可用傅里叶级数描正弦函数和余弦函数的频谱可用傅里叶级数描述。述。因为正、余弦函数不满足绝对可积条件，因为正、余弦函数不满足绝对可积条件，所以不能直接进行傅氏变换。由欧拉公式，有：所以不能直接进行傅氏变换。由欧拉公式，有：tftftftfeetfeetf00002j2j02j2j0212cos2j2sin于是，有：于是，有：)()(212cos)()(2j2sin000000fffftfffffftff正弦函数和余弦函数的频谱1.4 随机信号随机信号1.4.1 随机过程的概念和分类随机过

20、程的概念和分类 不能用精确的数学关系式描述时间函数；不能用精确的数学关系式描述时间函数； 不能预测未来任何时刻的准确值；不能预测未来任何时刻的准确值； 可用概率统计方法进行描述和研究。可用概率统计方法进行描述和研究。时间历程时间历程：用时间函数表示的量值。：用时间函数表示的量值。样本函数样本函数：随机信号的单个时间历程，：随机信号的单个时间历程，xi(t)。随机过程随机过程：可用统计特性表示的时间函数的集：可用统计特性表示的时间函数的集合（总体），记作合（总体），记作 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)， 特特点点随机过程的样本函数集合平均集合平均：对全部样本函数在某时刻之值对全

21、部样本函数在某时刻之值xi(tk)求平均的运算。例如，时刻求平均的运算。例如，时刻t t1 1的平均值为：的平均值为： niinxtxnt111)(1lim)(随机过程在随机过程在t1和和t1+两不同时刻的相关性可用两不同时刻的相关性可用相相关函数关函数表示为表示为 )()(1lim),(11111txtxnttriniinx平稳随机过程平稳随机过程：统计特征参数不随时间变化的随统计特征参数不随时间变化的随机过程。机过程。各态历经过程各态历经过程：平稳随机过程的每个样本函数的平稳随机过程的每个样本函数的时间平均统计特征均相同，且等于总体统计特征时间平均统计特征均相同，且等于总体统计特征 ( (

22、时间平均等于集合平均时间平均等于集合平均) 。各态历经过程各态历经过程第第i个样本的时间平均运算，例如：个样本的时间平均运算，例如：txitxittxt0d)(1lim)(d)()(1lim)(0 xititxirttxtxtr各态历经过程的工程意义：各态历经过程的工程意义：任何样本函数在足够长的时间区间内，包含了任何样本函数在足够长的时间区间内，包含了各样本函数所有可能出现的状态。各样本函数所有可能出现的状态。可以用单个样本函数的时间平均描述各态历经可以用单个样本函数的时间平均描述各态历经过程的特性。工程中绝大多数随机过程可以看过程的特性。工程中绝大多数随机过程可以看作或近似为各态历经过程。作或近似为各态历经过程。描述各态历经随机信号的主要特征