高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

1、高考总复习高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解、选择题1.（2010山东日照模考）a= 2xdx,2exdx, c= 2sinxdx,则00a、b、c的大小关系是A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b含详解答案答案D一1c解析a= 2xdx=2x2|02= 2, b =02exdx= ex|02= e2 1>20，c=2sinxdx = cosx|02 = 10cos2 C (1,2)c<a<b.2. (2010山东理,7）由曲线y=x2y = x3围成的封闭图形面积为1B.41C.o37D.12

2、答案解析y= x2由 y=x3得交点为（0,0）(1,1).S=1(x2-x3)dx =03x3-*n1=±0 12.点评图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题:OP,直线y=x2及直线x = 2所围成的面积分别记作S1, S2.如图所示，当S1=S2时,的坐标是（A.1694B. 5169C.1574D. 5137答案解析设 P(t, t2)(0wtW2),则直线 OP：t3y= tx, 1. Si = t(txx2)dx="；08t344tx)dx=82t+6 右 S = &，则 t=3，P3,169

3、 .3.由三条直线x= 0、x= 2、y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为（A. 44B.318D. 6（2010湖南师大附中）设点P在曲线y=x2上从原点到 A（2,4）移动，如果把由直线答案Ax4解析S= 2x3dx= - 02=4.04 . （2010湖南省考试院调研）1 1（sinx+1）dx的值为（）A. 0C. 2 + 2cos1B. 2D. 22cos1答案B解析1 1(sinx+ 1)dx= ( cosx+ x)| 11 = ( cos1 +1) ( cos( 1) 1)= 2.5 .曲线y= cosx（0WxW 2 nt后直线y= 1所围成的图形面积是（）A. 2 %B.

4、 3兀C.35D.兀答案A,解析如右图，卜/.S= / 产（1 cosOdxJ=（x-sinx）|o2%= 27t.I点评此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为兀，则对称性就无能为力了. 66.函数 F(x)= xt(t4)dt 在1,5上()oA.有最大值0,无最小值32B.有最大值0和最小值-V3C.有最小值-3T,无最大值 3D.既无最大值也无最小值答案B解析F' (x) = x(x 4),令 F' (x)=0,得 x1=0, x2= 4,- F(-1) = -L F(0) = 0, F(4)=-32, F(5)=-25. 333.最大值为0,最小值为

5、-32.点评一般地，F(x)= x(f(t)dt 的导数 F ' (x)=(f(x). 0值范围是()A.*,+°°B. (0, e21)C. (e 11, e)D. (0, e11)答案D一J解析f(x)= =dt=lnt|1x=lnx, as= S3-S2= 21 - 10= 11,由 lnx<11 得，0<x<e11.18. （2010福建厦门一中）如图所示，在一个长为兀，宽为2的矩形OABC内，曲线y = sinx（0wxw nt后x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的

6、点落在阴影部分的概率是（）兀D.4解析由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积.由题意得Ssinxdx= - cosx0-（cos亡cos0）=2,再根据几何概型的算法勿知所求概率P=S= 2 = 12兀 71的图象与x轴所围成的图形面积S为x + 2 -2<x<09. (2010吉林质检)函数f(x)=兀2cosx 0<x<-()31A.2B. 1C. 4D.2答案C解析面积 S= / 2 2f(x)dx= 0-2(x+ 2)dx+ / 202cosxdx= 2+2=4.10. (2010沈阳二十中)设函数f(x) = x-x,其中x表示不超过x的最大整数，

7、如1.2=2, 1.2=1, 1 = 1.又函数g(x) = -x, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m, f(x)与g(x)3的图象交点的个数记为n,则ng(x)dx的值是()m54a. -2B- -3C.D.答案A解析由题意可得，当 0<x<1 时，x=0, f(x)=x,当 1Wx<2 时，x=1, f(x) = x1, 所以当xC(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有 4个交点， 所以 m=1, n=4,则 ng(x)dx= 4 3 dx= 一堂 i4= «.362m111. (2010江苏盐城调研)甲、乙

8、两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间0,1上随机等可能地抽取一个实数记为b,乙从区间0,1上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、 c可以相等)，若关于x的方程x一,1 答案1或三+2bx+c=0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为()1A" 3答案解析2B.31 C.23D.4方程x2 + 2bx+c=0有实根的充要条件为= 4b2-400,即 b2>c,1b2db由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为P = =12. (2010吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1),曲线y=x2(x>0

9、)与x轴，直线x=1构成区域M,现将一个质点随机地投入正方形中，则质点1B.4落在区域M内的概率是()1 A.2八1r 21x2dx0C.3D.5答案C解析如图，正方形面积1,区域M的面积为S=$解析: 1 1f(x)dx= 11(3x2+2x+1)dx= (x3+ x2 + x)| 11 = 4,1 1f(x)dx= 2f(a),-6a2+4a+2 = 4,01=1，故所求概率p=-J.二、填空题13. (2010 芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x2+2x+ 1,若1一1f(x)dx= 2f(a)成立，则 a =1- a=- 1 或 1.314.已知a= 2 20(sinx+ cosx)

10、dx,则二项式(aJX j)6的展开式中含x2项的系数是 答案192入，一，1c兀兀兀兀解析由已知得 a= f 20(sinx+ cosx)dx= ( cosx+ sinx)|20= (sin2 cos2) (sin0 cos0)=2,(2 w)6的展开式中第r+ 1 项是 Tr+i= ( 1)XC6rx 2-rxx3，令 3r=2 得，r= 1,故其系数为(1)1XC61X25= 192.15.抛物线y2=2x与直线y= 4 x围成的平面图形的面积为 答案18y2=2x22.解析由方程组解得两交点A(2,2)、B(8, 4),选y作为积分变量x=gy=4x2x=4 y . S= 2 4(4

11、-y)- y2dy = (4y- y"- yp| 42= 18.16. (2010安徽合肥质检)抛物线y2=ax(a>0)与直线x= 1围成的封闭图形的面积为 生3若直线l与抛物线相切且平行于直线2x-y+ 6= 0,则l的方程为 .答案16x 8y+1=02解析由题意知1M£dx = w，a= 1,30设l: y=2x+b代入y2=x中，消去y得，4x2+ (4b 1)x+ b2= 0,由 A= 0 得，b = J, 8.l 方程为 16x8y+1 = 0.17. (2010福建福州市)已知函数f(x) = - x3+ax2+bx(a, bCR)的图象如图所示,它与

12、 x轴在原点处相切，且 x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为上，则a的值为答案1解析f' (x) = 3x2+2ax+ b, . f ' (0)=0, .4=0, .f(x)=x3+ax2,令 f(x)=0, 得 x= 0 或 x= a(a<0).141.S 阴影= 0( x3+ax2)dx=12a4= 12, - a= 1.三、解答题18. 如图所示，在区间0,1上给定曲线y = x2,试在此区间内确定t的值，使图中阴影 部分的面积Si+ S2最小.解析由题意得 S1 = tt2- tx2dx = 2t3, -3S2= 1x2dx 12（1 。=争-t2 + g, t所以 S= S + S2=3t3t2+g（0wtw 1）. 一1又 S'= 4t22t = 4t t万,令 s'（t）= o,得