九年级数学下册26.2二次函数知识点总结人教新课标版

1、人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念： 一般地，形如y=axbxc（ a，b，c是常数，a=0 ）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数a=0，而b，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数.二次函数y =ax2亠bx亠c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a , b , c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.2 =a x _ h k的形式，其中2 2y = ax ; y = ax k ；=ax 2 - bx c .二次函数各种形式之间的变换二次函数y = ax2 bx c

2、用配方法可化成:b4ac b2h, k.2a4a二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：= a(x_h f + k : y=a（x-hf : y二次函数解析式的表示方法一般式：y =ax2 bx c ( a , b , c 为常数，a =0 )；顶点式：y =a(x h)2 k ( a , h , k 为常数，a);两根式：y =a(x - x1)(x - x2) ( a = 0 , x1 , x2是拋物线与 x轴两交点的横坐标)注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac _0时，抛物线的解析式才可以用交点式

3、表示二次函数解析式的这三种形式可以互化二次函数y =ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =ax2 bx c化为顶点式y=a（x-h）2,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0 , c、以及0 , c关于对称轴对称的点2h , c、与x轴的交点x1 , 0 , x2 , 0 （若与x轴没有交点，则取两组关于 对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交占八、-2二次函数y = ax的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(0 , 0)y

4、轴x>0时，y随x的增大而增大；x £0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .a £0向下(0, 0)y轴x >0时，y随x的增大而减小；x £0时，y随 x的增大而增大；X 一0时，y有最大值0 .二次函数y =ax2c的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a »0向上(0 , c)y轴X>0时，y随x的增大而增大；X <0时，y随 x的增大而减小；X =0时，y有最小值c .a £0向下(0 , c)y轴X >0时，y随x的增大而减小；X £0时，y随 x的增大而增大；X =0时，y有

5、最大值c .2二次函数y=a（x_h）的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h ,0)X=hx qh时，y随X的增大而增大；X <h时，y 随X的增大而减小；X =h时，y有最小值0 .a £0向下(h, 0)X=hx >h时，y随X的增大而减小；x <h时，y 随X的增大而增大；x =h时，y有最大值0 .2二次函数y =a x -h- k的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >0向上(h , k)X=hX Ah时，y随x的增大而增大；X <h时，y 随x的增大而减小；X =h时，y有最小值k .a £0向下(h

6、 , k)X=hx Ah时，y随x的增大而减小；x <h时，y 随x的增大而增大；x =h时，y有最大值k .抛物线y =ax2 bx - c的三要素：开口方向、对称轴、顶点a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a : 0时，开口向下;a相等，抛物线的开口大小、形状相同一b 一对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x.特别地，y轴记作直线x = 0.2ae 一 / b 4ac b2、顶点坐标：（，2a 4a顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数， 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同抛物线y = ax 2 bx c中，a ,

7、b, c与函数图像的关系二次项系数a二次函数y =ax2亠bx亠c中，a作为二次项系数，显然 a =0 . 当a .0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当a ：0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. 在a .0的前提下，当b .0时，一A ：.，0，即抛物线的对称轴在 y轴左侧;2a当b =0时，一丄=0，即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b ：0时，-L 0，即抛物线对称轴在 y

8、轴的右侧.2a 在a :;0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b .0时，一_L .0 ,即抛物线的对称轴在 y轴右侧;2a当b =0时，一_L =0，即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b ：0时，b *0 ,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.总结：常数项c当c .0时，抛物线与当c =0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 c决定了抛物线与y轴交点的位置.当C ： 0时，抛物线与总结起来，总之，只要a , b , c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.y轴交点的纵

9、坐标为正；y轴交点的纵坐标为0 ;y轴交点的纵坐标为负.5#求抛物线的顶点、对称轴的方法2法:y=ax 亠 bx 亠 c=ab(2a配方法:bx.2a.丿b2a4ac -b2,），对称轴是直线x4a运用配方的方法，将抛物线的解析式化为,顶点是4ay=ax-hi亠k的形式，得#到顶点为（h , k ），对称轴是直线x二h .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y = ax 2 bx ' c .已

10、知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式顶点式：y =a x - h 2 - k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、 x2 ,通常选用交点式：y=ax-Xi x-X2 直线与抛物线的交点2y轴与抛物线y = ax ' bx c得交点为（0, c ）.与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2bx c有且只有一个交点（h , ah 2 亠 bh 亠 c ）.抛物线与x轴的交点：二次函数y =ax2bx c的图像与x轴的两个交点的横坐 标x1、x2，是对应一元二次方程ax 2 bx c = 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一

11、元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点：=.'：0=抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在 x轴上）u . "： = 0= 抛物线与x轴相切； 没有交点u .'： : 0 ：=抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵 坐标为k，则横坐标是ax 2 bx c = k的两个实数根.一次函数y = kx亠n k = 0的图像I与二次函数y = ax 2 bx c a山0的图像 y = kx nG的交点，由方程组 <2的解的数目来确定： 方程组有两组不同y = ax + bx 十 c的

12、解时u I与G有两个交点；方程组只有一组解时I与G只有一个交点；物线y = ax 2 bx c与x轴两交点为2 ax 亠bx亠c = 0的两个根，故方程组无解时二I与G没有交点.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛A(xi?0 )B(x2,0卜由于xi、x2是方程bcXi 亠 X2 二一_ , XiX 2 二 _aaABXi X2 2 | 2=.Xi X2Xi X24XiX2=4c b2 -4ac二次函数图象的对称：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表 达关于X轴对称y =ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式疋2y ax bx c ；2y _a x h - k关于x轴对

13、称后，得到的解析式是2y-ax-h - k ；关于y轴对称y -ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y = ax2 bx 亠 c ；2y =a X h - k关于y轴对称后，得到的解析式是2y = a x h j 亠 k ；关于原点对称y -ax - bx c关于原点对称后，得到的解析式是2y = -ax bx c ；2y -a X -h - k关于原点对称后，得到的解析式是2y = -a x h k ；关于顶点对称y =ax2bx c关于顶点对称后，得到的解析式是2by = -ax bx ' c - 2a2y -a X -h i亠k关于顶点对称后，得到的解析式是2y-a x-

14、hi 亠 k .关于点m , n对称y =a x _h - k关于点m , n对称后，得到的解析式是 y = _a x h _2m 2n _ k 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变 化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线) 的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 y =a(x_h j +k，确定其顶点坐标(h , k )； 保持抛物线y=

15、ax2的形状不变，将其顶点平移到h , k处，具体平移方法如下:向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位2* y=ax2+k平移|k|个单位向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】* y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”根据条

16、件确定二次函数表达式的几种基本思路。三点式。1，已知抛物线 y=ax2+bx+c经过 A ( J3 , 0) , B ( 2 J3 , 0) , C (0, -3 )三点，求抛物线 的解析式。2,已知抛物线y=a(x-1) 2 +4 ,经过点A (2 , 3),求抛物线的解析式。顶点式。2 21, 已知抛物线y=x-2ax+a +b顶点为A (2 , 1),求抛物线的解析式。2, 已知抛物线y=4(x+a) 2-2a的顶点为(3 , 1),求抛物线的解析式。交点式。1, 已知抛物线与x轴两个交点分别为(3 , 0) ,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。12, 已知抛物线线与

17、 x轴两个交点(4 , 0), (1 , 0)求抛物线y= a(x-2a)(x-b)的解析式。2定点式。1 25 a1 ,在直角坐标系中，不论 a取何值，抛物线yxx亠2a 2经过x轴上一29定点Q,直线y =(a _2)x2经过点Q,求抛物线的解析式。2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。平移式。1,把抛物线y= -2x 2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线2y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。2，抛物线y =

18、_x2 x _3向上平移，使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。1，抛物线y=ax2+4ax+1(a > 0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m> 0)与x轴交于 A、B两点，与 轴交于 C点，且AB=BC求此抛物线的解析式。对称轴式。1、 抛物线y=x2-2x+(m 2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距 离的2倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线 y=-x 2+ax+4,交x轴于 A,B (点A在点B左边)两点，交 y轴于点C,且3OB-OAOC求此抛物线的解析式。4对称式。1, 平行四边形 ABCD寸角线AC在 x轴上，且A (-10 , 0) , AC=16, D( 2, 6 )。AD交y轴于E,将三角形ABC沿 x轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2, 求与抛