第十八章勾股定理导学案

1、八年级数学下册第十八章勾股定理制作人 陈 潘 备课组长 年级领导第一课时 18 1 勾股定理（一）一、教学目的 1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学 习。二、重点、难点 1重点：勾股定理的内容及证明。 2难点：勾股定理的证明。预习案1. 小组讨论直角三角形具有哪些性质？ 2预习课本 64 页，你得到什么启示？ 探究案动手画一画1. 画一个两直角边为 3 和 4 的直角三角形，用刻度尺量一量斜边的长。2. 画一个两直角边为 5 和 12

2、的直角 ABC，用刻度尺量一量斜边的长。 你发现两直角边与斜边存在何种关系？ 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？（小组内讨论）动手拼一拼1. 让学生拿出事先准备好的多个直角三角形模型， 拼成如图所示， 请用面积关系加以证明 其结论2. 发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。（让学生明白勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代 无数数学家之手。）3. 小组内讨论完成探究 1、探究 2课后练习1已知在 RtABC中，B=90°，a、b、c 是 ABC的三边，则 c= 已知 a、b，求 c ）练习案1. 勾股定理的内容是：2如图，直角 ABC的 C=

3、90°，（用几何语言表示）（ 1）两锐角之间的关系：；（ 2）若 B=30°，则 B的对边和斜边：（3） 三边之间的关系： 。3 ABC的三边 a、b、c，若满足 b2= a 2c2，则=90 ° 若满足 b2>c2a2，则 B 是 角； 若满足 b2< c2 a2，则 B是角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 a= 。（已知 b、c ，求 a） b= 。（已知 a、c ，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、 c，有 a<b< c，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时， b，c 的值，并把 b、 c 用含 a 的

4、代数式表示出来。3、4、522232+42=525、12 、 1322252+122=1327、24 、 2522272+242=2529、40 、 4192+402=41219，b、c192+b2=c23在 ABC中， BAC=120°，AB=AC=10 3 cm，一动点 P从 B向 C以每秒 2cm的速度移动，AB问当 P 点移动多少秒时， PA与腰垂直。4已知：如图，在 ABC中， AB=AC， D在 CB的延长线 上。求证： AD2 AB2=BD· CD若 D 在 CB上，结论如何，试证明你的结论。18 1 勾股定理（二） 、教学目的 1会用勾股定理进行简单的计算。

5、 2树立数形结合的思想、分类讨论思想。、重点、难点 1重点：勾股定理的简单计算。 2难点：勾股定理的灵活运用。练习案 （一）体会由角转化为边的关系的转化思想，注意数形结合。1. 在 RtABC， C=90° 已 a=b=5, 求 c 。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1： 2,c=5, 求 a。已知 b=15， A=30°，求 a， c。（二）让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。2. 已知直角三角形的两边长分别为 5和 12， 求第三边。三） 勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形， 作高是常AD

6、用的创造直角三角形的辅助线做3已知：等边 ABC的边长是 6cm。 求底边上的高求 S ABC。4填空题在 Rt ABC， C=90°， a=8，b=15，则 c=。在 Rt ABC， B=90°， a=3，b=4，则 c=。在 Rt ABC， C=90°， c=10， a： b=3： 4，则 a=，b=一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为已知直角三角形的两边长分别为 3cm和 5cm，则第三边长为 已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为，面积为 。ADB5已知：如图， 在 ABC中，C=60°，AB=4 3 ，AC=4， AD是

7、BC 边上的高，求 BC的长。6已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。7已知：四边形 ABCD中， AD BC，ADDC， AB AC， B=60°， CD=1cm，求 BC的长。8如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4 3 米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是 米。CBBA9如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离10如图，原计划从 A地经 C地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到 B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300 万元，隧道总长为 2公里，隧道造价为 500万元， A

8、C=80公里， BC=60公里， 则建后可省工程费用是多少？11有一个边长为 1 米正方形的洞口， 想用一个圆形盖去盖住这个洞口， 则圆形盖半径至少为 米。12一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米， 且 RPPQ，则 RQ=厘米。13 如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米， B= C=30°， E、F分别为 BD、CD中点，试求B、C 两点之间的距离，钢索 AB和 AE的长度。 （精确到 1 米）18 2 勾股定理的逆定理（一） 、教学目的 1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3理解原

9、命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 、重点、难点 1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2难点：勾股定理的逆定理的证明。预习案1. 勾股定理的内容是什么？2. 讨论原命题、逆命题的概念及关系。判断下列命题的正确性（ 1）原命题：猫有四只脚。逆命题：有四只脚的是猫。（2）原命题 : 对顶角相等。逆命题：相等的角是对顶角。（ 3）原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端的 距离相等逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上原命题与逆命题的关系是： 命题中 与 相互转换的关系探究案1动手画一画，（ 1）分别以 2.5cm,6cm,6.5cm 和 4cm,7.5cm,8.5cm 为边

10、画出这两个三角形观察并验证此三角形形状。（ 2）讨论：如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2那么此三角形是否有上述同样的结论？CC12. 证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形。（利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三 角形全等，使问题得以解决）练习案221. 已知：在 ABC中， A、 B、 C的对边分别是 a、b、c，a=n2 1，b=2n，c=n21 n>1）求证： C=90°。2. 判断题。在一个三角形中， 如果一边上的中线等于这条边的一半， 那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个

11、角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是： 如果两条直角边的平方和等于斜边的平方， 那么这个三角形是 直角三角形。 ABC的三边之比是 1： 1： 2 ， 则 ABC是直角三角形。3 ABC中 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c，下列命题中的假命题是（）A如果 C B= A，则 ABC是直角三角形。B如果 c2= b 2a2，则 ABC是直角三角形，且 C=90°。C如果（ c a）（ c a）=b2，则 ABC是直角三角形。 D如果 A： B： C=5： 2： 3，则 ABC是直角三角形。 4下列四条线段不能组成直角三角形的

12、是（）A a=8， b=15，c=17B a=9， b=12 ，c=15C a= 5 ， b= 3 ， c= 2Da：b：c=2：3： 45已知：在 ABC中， A、 B、 C的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断该 三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a= 3，b=2 2 ，c= 5； a=5， b=7， c=9 ； a=2， b= 3，c= 7 ；a=5，b=2 6，c=1。课后练习 1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果 a3> 0，那么 a2>0；如果三角形有一个角小于 90°，那么这个三角形是锐角三角形； 如果两个三角形全等，那么它

13、们的对应角相等； 关于某条直线对称的两条线段一定相等。2填空题。任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 “两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。在 ABC中，若 a2=b2 c2，则 ABC是三角形， 是直角；若 a2<b2c2，则 B 是。2 2 2 2若在 ABC中， a=m2 n2， b=2mn， c= m2 n2，则 ABC是三角形。1113. 若三角形的三边是1、 3、2； , , ；3452 2 2 32， 42， 52 9， 40，41；（ m n）2 1， 2（ m n），（ mn） 2 1；则构成的是直角三角形的有（）A2 个 B 个 个 个18 2 勾股定理

14、的逆定理（二）、教学目的 1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。、重点、难点1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。练习案1小强在操场上向东走 80m后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走 了 80m 后，又走 60m的方向是。2如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得它的影长为4 米，中午测得它的影长为 1 米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？ 为什么？3一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形， 则三边长分别为 ， 此三角形的形

15、 状 为。4一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、 AD固定，现已知用去铁丝 AC=15米， AD=13米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9米， B、D两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？5如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得DA=12米，又已知 B=90°。AB=4米， BC=3米， CD=13米，6. 四边形 ABCD，ADBC， AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 求：四边形 ABCD的面积。7. 已知：如图，在 ABC中， CD是 AB 边上的高，且 CD2=AD·BD。求证： ABC是直角三角形。CB D A8若 ABC的三边 a、b、c，满足（ ab）（a2b2c2）=0，则 ABC是（）A等腰三角形； B 直角三角形；C等腰三角形或直角三角形； D等腰直角三角形。9若 ABC的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1： 2 ，试判断 ABC的形状。3 13 10已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且 AB BC。44求：四边形 ABCD的面积。11已知：在 ABC中， ACB=90°， CDAB于 D，且