高中数学余弦定理

1、12直角三角形中的边角关系：直角三角形中的边角关系：cbaabc1 1、角的关系：、角的关系：a+b+c=180a+b=c=90 2 2、边的关系：、边的关系： a2+b2=c23 3、边角关系：、边角关系： sina= =cosbsinb = = cosaacbc3cbaabcabcacbacbbcaacbcbaabcabccbaabcc2 a2+b2c2 a2+b2 直角三角形中的边直角三角形中的边a a、 b b不变，角不变，角c c进行变动进行变动勾股定理仍成立吗？勾股定理仍成立吗？c2 = a2+b24 c=acbcba ab c2= ab 2= ab ab ab= ac+ cb a

2、b ab= (ac+ cb) (ac+ cb)5 0 02 22 22 2 a ab b= = a ac c+ +2 2 a ac c c cb b c co os s( (1 18 80 0 - - c c) )+ + c cb b证明：证明：222222c = a +b -2abcoscc = a +b -2abcosc向量法向量法)()(cbaccbacababcbacabcbcbcbacacac2若若 abc为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角c，bc=a,ca=b,求证：求证：bcabcacabbaccos22226cba同理可证同理可证： 2b=2a2c2bcbcos 2c=2

3、a2b2cab cos 格式二：逆用公式格式二：逆用公式cosa ba b 7baaccb证明：以证明：以cb所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过c点点垂直于垂直于cb的直线为的直线为y轴，建立如图所轴，建立如图所示的坐标系，则示的坐标系，则a、b、c三点的坐标三点的坐标分别为：分别为：( cos, sin)a bc bc222222c = a +b -2abcoscc = a +b -2abcoscxy( ,0)b a(0,0)c解析法解析法222)0sin()cos(cbacbabcbacabcb22222sincos2coscabbacos2228abcabcd当角当角c为锐角时为锐角

4、时几何法几何法baaccbd当角当角c为钝角时为钝角时cbaabc 余弦定理作为勾股定理余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。理来证明余弦定理。9证明：在三角形证明：在三角形abc中，已知中，已知ab=c,ac=b和和a, 作作cdab，则，则cd=bsina,bd=c-bcosaabccba222cdbda22( sin )(cos )bac ba222222coscossinaabcacbb222cosbcacb同理有：同理有：2222cosacbacb2222cosabccab 当然，对于钝角三角形来说，证明当然，对于钝角三角形来说，证明类似，

5、课后类似，课后 自己完成。自己完成。d10 a2=b2+c2-2bccosa b2=c2+a2-2cacosb c2=a2+b2-2abcosc你能用文字说明吗？你能用文字说明吗？cbaabc 三角形任何一边的平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。积的两倍。11cbaabc a2=b2+c2-2bccosa b2=c2+a2-2cacosb c2=a2+b2-2abcoscb2+c2 - a22bc cosa=c2+a2 - b22ca cosb=a2+b2 - c22ab cosc=变形变形12 余弦

6、定理在直角三角余弦定理在直角三角 形中是否仍然成立？形中是否仍然成立？ cosc= a2+b2-c2 2abc=90 a2+b2=c2 cosa= b2+c2-a2 2bc cosb= c2+a2-b2 2cacosa= cos b= acbc13问题问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广定理是勾股定理的推广.问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;剖剖 析析 定定 理理（2）每个等式中有同一个三角形中的）每个等式中有同一个三角形中

7、的四个元素，知三求一四个元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）14 已知两边及一边的对角时，已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？理来解这个三角形？ 如：已知如：已知b=b=4 4,c= ,c=,c= ,c=6060求边求边a.a.152 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sc c2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sa a2 22 22 2- -b b = =a a + +c

8、 c2 2a ac cc co os sb b（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可（三边），可以求什么？以求什么？bcacba2cos222acbcab2cos222222090cbaa 222090cbaa 222090cbaa 剖剖 析析 定定 理理abcbac2cos222p p1414例例3 316剖剖 析析 定定 理理（4）能否把式子 转化为角的关系式？abccbacos2222 分析分析：arasin2: 得得rccbbaa2sinsinsin: 由由正正弦弦定定理理brbsin2 crcsin2 :cos2222并并化化简简得得代代入入abccba acbcba

9、cossinsin2sinsinsin222 202000:sin 70sin 50sin70 sin50. 练练习习 求求的的值值2020000:sin 70sin 502sin70 sin50 cos60 解解 原原式式20sin 60 34 17（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；2 22 22 2b b+ + c ca ac c o o s s a a = =- -2 2 b b c c2 22 22 2a a+ + c cb bc c o o s s b b = =- -2 2 a a c c2 22 22 2a a+ + b bc cc c o o s s c c = =-

10、 -2 2 a a b b问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用余弦定理在解三角形中的作用是什么？是什么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.2 22 22 2- -c c = =a a + +b b2 2a ab bc co os sc c2 22 22 2- -a a = =b b + +c c2 2b bc cc co os sa a2 22 22 2- -b b = =a a + +c c2 2a ac cc co os sb b剖剖 析析 定定 理理p p1414例例1 1、例、例2 218. ,(),.182,126,63

11、,(1).a bccacbacba b例二两地之间隔着水塘 如图 现选择另一点例二两地之间隔着水塘 如图 现选择另一点测得米米测得米米求两地间的距离 精确到 米求两地间的距离 精确到 米acb222222.,(1),;(2),.exabccabccabc 用余弦定理证明:在中用余弦定理证明:在中当为锐角时当为锐角时当为钝角时当为钝角时19 余弦定理在解三角形余弦定理在解三角形 中能解决哪些问题？中能解决哪些问题？角边角角边角角角边角角边边边角边边角边角边边角边边边边边边边正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理20 1、已知、已知abc的三边为的三边为 、2、1，求它的最大内角。，求它的最大内角。解：

12、不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 则最大内角为a由余弦定理 cosa=12+22- ( ) 2221= - 12 a=120若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？又怎么求？21 2、已知、已知abc中中ab=2、ac=3、a= ，求，求bc的长。的长。解：由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2abaccosa =4+9-223 =7bc=22思考：思考：（1）在三角形）在三角形abc中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,判定三判定三角形角形abc的形状的形状分析：三角形分析：三角形abc的形状是由大边的形状是由大边b所对的大角所对的大角b决定的。决定的。22

13、2(,)90 180cbba（2）在三角形）在三角形abc中，已知中，已知a=7,b=10,c=6,求求三角形三角形abc的面积的面积分析：三角形的面积公式分析：三角形的面积公式 s= absinc = bcsina= acsinb, 只需先求出只需先求出cosc(cosa或或cosb),然后求出然后求出 sinc(sina或或 sinb）代入面积公式即可。）代入面积公式即可。121212232.2.余弦定理余弦定理a =b +c-2bccosab =c +a-2accosbc =a +b-2abcosc2222222222 22 22 2b b+ + c c- - a ac co os sa

14、 a = =，2 2b bc c2 22 22 2c c+ + a a- - b bc co os sb b = =，2 2c ca a2 22 22 2a a+ + b b- - c cc co os sc c = =2 2a ab b3.3.由余弦定理知由余弦定理知1. 1.证明定理证明定理: :课堂小结课堂小结22290aacb22290aacb22290aacb向量法、解析法、几何法24（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；2 22 22 2b b+ + c ca ac c o o s s a a = =- -2 2 b b c c2 22 22 2a a+ + c cb bc

15、c o o s s b b = =- -2 2 a a c c2 22 22 2a a+ + b bc cc c o o s s c c = =- -2 2 a a b b（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三们的夹角，求第三边和其他两个角边和其他两个角.5.5.余弦定理的作用余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积）判断三角形的形状，求三角形的面积a =b +c-2bccosab =c +a-2accosbc =a +b-2abcosc2222222224.4.余弦定理适用于任何三角形余弦定理适用于任何三角形25作业布置作业布置 p16-17 1,5,6,1026例例4

16、 4 在长江某渡口处，江水以在长江某渡口处，江水以5km/h5km/h速度向东流。一渡速度向东流。一渡船在江南岸的船在江南岸的a a码头出发，预定要在码头出发，预定要在0.1h0.1h后到达江北后到达江北岸码头（如图）。设岸码头（如图）。设anan为正北方向，已知为正北方向，已知b b码头在码头在a a码头的北偏东码头的北偏东1515o o，并与并与a a码头相距码头相距1.2km.1.2km.该渡船应按该渡船应按什么方向航行？速度是多少什么方向航行？速度是多少 千米千米/ /小时？（角度精确小时？（角度精确到到0.10.1o o，速度精确到，速度精确到0.1km/h)0.1km/h)adnb

17、c15 1.25 0.1 ,1.2(),5 0.1 0.5(),.acacabacbdabkm ackmad 解解：如如图图，取取方方向向为为水水流流方方向向以以为为一一边边、为为对对角角线线作作平平行行四四边边形形其其中中船船按按方方向向开开出出27222,1.20.52 1.2 0.5cos(9015 )1.38,1.17().,1.170.111.7(/ ).abcbcadbckmkm h 在中由余弦定理 得在中由余弦定理 得所以所以因此 船的航行速度为因此 船的航行速度为adnbc15 ,sin0.5sin75sin0.4128,1.1724.4 .159.4 .abcacbacabc

18、bcabcdandabnababc 在中由正弦定理,在中由正弦定理,得得所以所以所以所以9.411.7/.km h 答：渡船应按北偏西的方向,并以的速度航行答：渡船应按北偏西的方向,并以的速度航行285 ,sin2sincos,abcabc例在中已知例在中已知试判断三角形的形状.试判断三角形的形状.222,sin,cos,sin2aaabccbbab解：由正弦定理 得解：由正弦定理 得222222,2.aabcbabbc 整整理理, ,得得0,0,.bcbcabc为等腰三角形为等腰三角形2916222p6 12().2amabcbcamabacbc 例如图是中边上的中线，求证：例如图是中边上的

19、中线，求证：222,180.,2cos.ambamcambabambmam bm 证：设则证：设则在中由余弦定理 得在中由余弦定理 得222c,cc2ccos(180).a maammam m 在中由余弦定理 得在中由余弦定理 得22221cos(180)-cos,212,2bmmcbcabacambc 2221,2().2amabacbc因此因此30作业：作业：p p17 17 2 2，8 8，11 11，121231321 1、在、在abcabc中，求证：中，求证：c=acosb+bcosac=acosb+bcosa2 2、在、在abcabc中，若中，若cb=7cb=7，ac=8ac=8，

20、ab=9ab=9，求，求abab边的边的中线长。中线长。33 例例2、在三角形、在三角形abc中，已知中，已知a=2.730,b=3.696,c= , 解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 ）28821分析：已知两边和两边的夹角分析：已知两边和两边的夹角解：解：2222cosabcbca222 2.730 3.696cos283.696822.730 4.297c 2222223.6964.2972.7302 3.696 4.2972cos0.7767cabbca232a 3018058ba b 34例 2：在abc中，已知a2.730，

21、b3.696， c8228，解这个三角形.解： 由 c2=a2b22abcosc,得 c4.297.b2c2a22bc cosa 0.7767， a392, b180(ac)5830.a sinc csina 0.6299， a=39或141(舍).()35abcoxy例 3：abc三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求a.解法一： ab 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,bc (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,ac (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosa ,2 ab acab 2 ac 2 bc 22365 a84.36abcoy例 3：abc三个顶点坐标为

22、(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求a.解法二： a84. cosa .abacab ac( 8)( 2)3( 4)73252365 ab(8，3)，ac(2，4).37abcoxy例 3：abc三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求a.分析三： a = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = 38解：在aob中， |a b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos120 61, |a b|61.例 4：已知向量a、b夹角为120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab与a的夹角.ababbbaca120o39 ab 21. coa即ab与a的夹角约为49. coscoa 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 4：已知向量a、b夹角为120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab与a的夹角.ababbbaca120o在oac中， |a + b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos60 21,40例5 已知四边形abcd的四边长为ab = 2.4, bc = cd = da = 1, a= 30, 求c.解: bd2 = ab2 + ad2 2abadcosa 2.60,cosc = = 0.30,dc2 + bc2 bd22dcbca30dcbc 107.5.思考