初中几何最值问题

1、中学几何最值问题例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例 1】在锐角vabc 中， ab=4，bc=5， acb=45°，将abc 绕点 b 按逆时针方向旋转，得到 a1bc1 点e 为线段 ab 中点，点 p 是线段 ac 上的动点，在 abc 绕点 b 按逆时针方向旋转过程中，点p 的对应点是点p1，求线段ep1 长度的最大值与最小值c1p1aepa 1bc【巩固】以平面上一点o 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作aob和cod ，其中 abo=dco =30 °如图，如bo= 33 ，点 n 在线段 od 上，且 no =2点 p 是线段 ab 上的一个动点，在将

2、 aob 绕点 o 旋转的过程中，线段pn 长度的最小值为 ，最大值为 aopobnncdcd备用图【例 2】如图，mon90 °，矩形 abcd 的顶点 a b 分别在边om ， on 上，当 b 在边 on 上运动时， a随之在边om 上运动，矩形abcd 的外形保持不变，其中ab=2， bc=1，运动过程中，点d 到点o 的最大距离为 【巩固】已知： aob 中， abob2 ，cod中，cdoc3 ,abodco .连接 ad 、bc ，点 m 、n 、p 分别为 oa 、od 、 bc 的中点 .如 a 、o 、c 三点在同始终线上，且 abo2，固定 aob ，将 cod

3、绕点 o 旋转，就pm 的最大值为 bamopndc【巩固】在平面直角坐标系xoy 中，点 a 、 b 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，点m为线段 ab 的中点点d 、 e 分别在x 轴、 y 轴的负半轴上，且deab10 以 de 为边在第三象限内作正方形dgfe ，恳求出线段mg 长度的最大值，并直接写出此时直线mg 所对应的函数的解析式ybmdoaxgef【例 3】如图，已知1a, 2y1 ， b2, y2 为反比例函数y1图像上的两点，动点xpx,0在 x 正半轴上运动，当线段ap 与线段 bp 之差达到最大时，点p 的坐标是 yabopx2、轴对称【例 1】求2x34x 21 的

4、最小值【例 2】 ab cd 是半 径 为5的 e o的两条弦，ab8 ， cd6 ， mn为直径 ， abmn 于点e , cdmn 于点 f ， p 为 ef 上任意一点，就pa+pc 的最小值为 acmeopfndb【巩固】 设半径为1 的半圆的圆心为o ，直径为 ab , c、 d 是半圆上两点，如弧ac 的度数为96°，弧 bd的度数为36°，动点 p 在直径 ab 上，就 cp+pd 的最小值是 【巩固】设正三角形abc 的边长是2， m 是 ab 边上的中点，p 是边 bc 上任意一点，就大值为 ,最小值为 pa+pm的最【例 3】如图，已知等边abc 的边长

5、为1， d、e、f 分别是 ab、 bc、ac 边上的点（均不与点a、b、c 重合），记 def的周长为p .如 d、e、f 分别是 ab、bc、ac 边上任意点， 就 p 的取值范畴是.adfbec【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y x2 2x 3 与 x 轴交于 ab 两点，与y 轴交于点c， 点 d 是抛物线的顶点（ 1）求直线ac 的解析式及b d 两点的坐标；（ 2）请在直线ac 上找一点m ，使 bdm 的周长最小，求出点m 的坐标【例 5】如图，直线y图 13 x2 分别交 x 轴、 y 轴于 c、a 两点，将射线am 绕点 a 顺时针旋转45°得到射3线

6、 a n， d 为 am 上的动点， b 为 an 上的动点，点c 在 man 的内部（ 1）当 am x 轴，且四边形abcd 为梯形时，求 bcd的面积；（ 2）求 bcd 周长的最小值；（ 3）当 bcd 的周长取得最小值，且bd523时，求 bcd的面积yyy2 a2 a2 a d1m11o12b3c4xo123c4xo123c4xn备用图备用图【例 6】在直角坐标系中，a1,2， b4,1m， cm,0， dn, n为四边形的4 个顶点，当四边形abcd 的周长最短时， nyodcxba【巩固】如图1，抛物线 y ax2 bx c（ a0）的顶点为c（ 1， 4），交 x 轴于 a、

7、b 两点，交y 轴于点 d，其中点 b 的坐标为（ 3， 0）；（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如图 2，过点 a 的直线与抛物线交于点e，交 y 轴于点 f，其中点e 的横坐标为2，如直线pq 为抛物线的对称轴，点g 为直线 pq 上的一动点，就x 轴上师范存在一点h，使 d 、g、h、f四点所围成的四边形周长最小；如存在，求出这个最小值及点g、h 的坐标；如不存在，请说明 理由；pycycycddedfabababoxoxoxq图 13图 2【例 7】已知，如图1，二次函数yax22ax3a a0 的图像的顶点为h ，与 x 轴交于 a、b 两点（ b 在a 的右侧），点h、b 关于直线

8、 l ： y3 x33 对称（ 1）求 a 、b 两点的坐标，并证明点a 在直线 l 上；（ 2）求二次函数的解析式；（ 3 ）过点 b 作 bk ah交直线 l 于点 k ， m、n 分别为直线ah 和直线 l 上的两个动点，连结hn、nm、mk，求 hnnmmk 的最小值yhlkaobx图1【巩固】 如图， 在平面直角坐标系xoy 中,二次函数y两点 , 顶点为 c .3 x22bxc 的图象与 x 轴交于 a（ -1,0）、b（ 3,0）(1) 求此二次函数解析式；(2) 点 d 为点 c 关于 x 轴的对称点，过点a 作直线 l ： y3 x3交 bd 于点 e，过点 b 作直线33b

9、k ad 交直线 l 于 k 点.问：在四边形abkd的内部是否存在点p，使得它到四边形abkd四边的距离都相等，如存在，恳求出点p 的坐标；如不存在，请说明理由；(3) 在（ 2）的条件下，如m 、 n 分 别为直线ad 和直线 l 上的两个动点，连结dn 、 nm 、 mk ，求 dnnmmk 和的最小值 .【例 8】在平面直角坐标系中，矩形oacb 的顶点 o 在坐标原点，顶点a、b 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，oa3 ， ob4 ， d 为边 ob 的中点 .（）如 e 为边 oa 上的一个动点，当cde 的周长最小时，求点e 的坐标；温馨提示：如图，可以作点 d 关于 x轴的对

10、称点d，连接cd与 x轴交于点 e ，此时 cde的周长是最小的.这样，你只需求出oe的长，就可以确定点e的yybcbcddoeaxoaxd（）如 e 、 f 为边 oa 上的两个动点，且ef2 ，当四边形cdef 的周长最小时，求点e 、 f 的坐标 .【巩固】已知点a（ 3，4），点 b 的坐标为（ 1， 1）时，在 x 轴上另取两点e，f ，且 ef =1线段 ef 在x 轴上平移，线段ef 平移至何处时，四边形abef 的周长最小？求出此时点e 的坐标【例 9】已知直线y1 x1 与 y 轴交于点a，与 x 轴交于点d，抛物线y212xbxc 与直线交于a、e2两点，与x 轴交于 b、

11、c 两点，且 b 点坐标为 1， 0.（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在抛物线的对称轴上找一点m ，使 | ammc|的值最大，求出点m 的坐标；【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线 y3 x6 与 x 轴、 y 轴的交点分别为a、b，将4oba 对折，使点o 的对应点h 落在直线ab 上，折痕交x 轴于点 c.（ 1）直接写出点c 的坐标，并求过a、b、c 三点的抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的对称轴与直线bc 的交点为t， q 为线段 bt 上一点，直接写出qaqo 的取值范畴 .3、旋转【例 1】如图，已知在 abc 中， bc=a，ac=b，以 ab 为边作等边三

12、角形abd .当 acb 变化 ,且点 d 与点 c位于直线ab 的两侧时，求cd 的最大值及相应的acb 的度数 .cabd【例 2】如图， 在平面直角坐标系xoy 中， 点 b 的坐标为 0,2 ，点 d 在 x 轴的正半轴上，odb30，oe为bod 的中线，过b 、 e 两点的抛物线左侧）23yax6x c 与 x 轴相交于a 、 f 两点（ a 在 f 的（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 p 为三角形abo 内的一个动点，设mpapbpo ，请直接写出m 的最小值 ,以及 m 取得最小值时，线段ap 的长 .ybeaogfdx【巩固】已知矩形abcd， ad =10， ab=6

13、，在矩形 abcd内有一点 p ，在 bc 边上有一点h ,分别确定点p和 h 的位置，使得apdpph 最小a dpb hc【巩固】直角梯形abcd中，的值最小bc90，在梯形内求作一点o 使 oqbc 于 q 且 oa+od +oqdaobqc二、垂线段最短【例 1】已知 ab10 , p 是线段ab 上任意一点，在ab 的同侧分别以ap 和 bp 为边作两个等边三角形apc 和 bpd ，就线段 cd 长度的最小值是 cdapb【例 2】如图， 在锐角vabc 中， ab42，bac45°，bac 的平分线交bc于点 d，m、n 分别是 ad 和 ab 上的动点，就cbmmn

14、的最小值是 dmanb【巩固】 矩形 abcd中， ab求这个最小值20 ， bc10.在 ac 、 ab上各取一点m 、 n ，使bm +mn 的值最小，dcmanb【例 3】如图，在 abc 中， ab=15 ， ac=12， bc=9，经过点 c 且与边 ab 相切的动圆与cb 、ca 分别相交于点 e、 f，就线段 ef 长度的最小值是 becfa【例 4】已知在vabc 的 bc 边上取一点d ，设vabd 和 vacd 的外接圆的圆心分别是o 和 o ，求：使两圆半径为最小值时点d 的位置oao'bdc【巩固】点m 在 vabc 的 ac 边上，分别作公共部分的面积最小？v

15、abm和 vcbm的外接圆；问当m 点在什么位置时，两外接圆obo'cma【例 5】在已知vabc 内，作内接矩形demn ，使一边 de 在最大边 bc 上，另外两个顶点m 、 n 分别在边ac ， ab 上；试确定矩形demn 的位置，使对角线dm长最短 .anmbdec【巩固】点p 在锐角v abc的边上运动，试确定点p 的位置，使pa+ pb +pc 最小，并证明你的结论.【例 6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x 轴交于 a、b 两点， d 为抛物线的顶点，o 为坐标原点如oa、ob（ oaob）的长分别是方程（ 1）求抛物线对应的二次函数解析式；x24x30

16、的两根，且dab45°（ 2）过点 a 作 acad 交抛物线于点c ，求点 c 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点a 任作直线l 交线段 cd 于点 p，求 c、d到直线 l 的距离分别为d1、 d2 ，试求d1 +d 2 的最大值y ccclpocbxacc dc【例 7】在直角坐标系中，点 a 坐标为 （ -3，-2），圆 a 的半径为1，p 为 x 轴上一动点， pq 切圆 a 于点 q，就当 pq 最小时， p 点的坐标为 【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知 oab 是等腰三角形（ob 为底边），顶点a 的坐标是（2，4），点 b 在 x 轴上，点 q 的坐标是6

17、 ，0， adx 轴于点 d ，点 c 是 ad 的中点，点p 是直线 bc 上的一动点（ 1）求点 c 的坐标（ 2）以点 p 为圆心、2 为半径作圆，得到动圆e p ，过点 q 作 e p 的两条切线，切点分布为e、f ，问：是否存在以o 、e请说明理由、p 、f为顶点的四边形的最小面积为s？如存在，恳求出s 的值；如不存在，yacqodbx三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例 1】如图， o 的半径为5，点 p 到圆心 o 的距离为10 ，假如过点p 作弦，那么长度为整数值的弦的条数为 op2、设 a 是 o 内一点，在连接 a与

18、圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段最长；设 a 是 o 外一点，在连接 a与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段最短【例 1】在直线 mn 的同侧有定点a 及定圆圆 o ，试在 mn 上求一点p，在圆 o 上求一点q，使 appq 最短oqampn【例 2】点 p 在图形 m 上，点 q 在图形 n 上，记d maxm ， n为线段 pq 长度的最大值，d minm ， n为线段 pq 长度的最小值，图形m 、n的平均距离edm ， nd maxm ， nd min2m ， n（ 1）在平面直角坐标系xoy 中，e o 是以 o 为圆心， 2

19、为半径的圆，且a1 ， 322， b 2，23，求 eda，e o及 edb，e o；（直接写出答案即可）（ 2）半径为 1 的 ec 的圆心与坐标原点o 重合，直线y-3 x与 x 轴交于点d ，与 y 轴交4333于点 f ，记线段 df 为图形 g ，求 ed g，e c（ 3）在（ 2 ）的条件下，假如e c 的圆心c 从原点沿x 轴向右移动，e c 的半径不变，且edg，e c52 ，求圆心 c 的横坐标3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该点是圆上全部点中到这割线的距离最长的点【例 1】已知： ab 是 eo 中一条长为4 的弦，p 是 e o 上一动点， cosap

20、b1问是否存在以a 、 p 、 b3为顶点的面积最大的三角形,试说明理由；如存在，求出这个三角形的面积4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上全部点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上全部点与该直线距离最短的点【例 1】如图， ab 是半圆的直径，线段ca ab 于点 a，线段db 上 ab点 b， ab=2， ac=1， bd =3， p是半圆上的一个动点，就封闭图形acpdb 的最大面积是 dcpaob5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周角，而这圆周角就大于该弧所对的圆外角【例 1】b 为mon 的边 om 上的两点，试在o

21、n 上求作一点c ，使acb 最大mbaocn【例 2】如下列图，直线cd与线段 ab 为直径的圆相切于点d ，并交 ba 的延长线于点c ，且 ab2 ，ad1， p 点在切线 cd上移动 .当apb 的度数最大时，就abp 的度数为 pd·caob四 、转化类【例 1】如图，正方形abcd的边长为1，点 p 为边 bc上任意一点（可与b 点或 c 点重合），分别过b、c、 d 作射线ap 的垂线，垂足分别是b、 c、 d，就 bb+cc +dd的最大值为 ，最小值为 dcb'pc'd 'ab【巩固】在v abc 中，a120， bc6 ，如 v abc的内

22、切圆半径为r ，就 r 的最大值为 【例 2】已知抛物线2y axbxc 经过 a4 ，3 、 b2 ，0两点，当 x3 和 x3 时，这条抛物线上对应的纵坐标相等经过点c0 ， 2的直线 l 与 x 轴平行， o 为坐标原点（ 1）求直线ab 和这条抛物线的解析式；y（ 2）以 a 为圆心， ao 为半径的圆记为圆a ,判定直线 l 与圆 a 的位置关系，并说明理由；（ 3）设直线 ab 上的点 d 的横坐标为1, p m ，n是抛物线2yaxbxc 上的动点，当pdo 的周长最小时，求四边形codp 的面积ox【例 3】在平面直角坐标系xoy 中， o 的半径为2，且 a（ 4， 0）， b（4， 4），点 p 在 o 上运动；（ 1）求 2bp+ap 的最小值；（ 2）如点 m 是函数 y4（ x>0,x2）的图象上一点，me x