2022年平面向量概念方法题型易误点及应试技巧总结

1、优秀学习资料欢迎下载向量复习平面对量1、向量有关概念 ：（ 1） 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示，留意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） ；（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，留意 零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 ab 共线的单位向量是ab ；| ab |（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（ 5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作： a b ， 规定零向量和任何向量平行

2、；提示 ：相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（由于有0 ；三点 a、b、c共线ab、ac共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；如以下命题：（ 1）如 ab ，就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （ 3）如 abdc ，就 abcd 是平行四边形； （ 4）如 abcd 是平行四边形，就 abdc ；（ 5）如 ab, bc ，就 ac ；其中正确选项 （答：（ 4）（

3、 5）2、向量的表示方法 ：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ab ，留意起点在前，终点在后； （ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系， 以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ，称x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如 向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一

4、对实数1 、 2 ，使 a=1 e1 2 e2；如（ 1）如 a131,1,b1, 1,c 1,2 ，就 c （答：ab ）；（ 2）以下向量组中，能作为平面内全部22向量基底的是a.e10,0, e21, 2b.e1 1,2, e25,7c. e13,5, e26,1013d. e2,3,e,（答：b）；（ 3）已知abc中，点 d 在 bc 边上，且 cd2 db ，1224cdr abs ac，就 rs 的值是 （答： 0）4、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下： 1aa , 2当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0

5、时，a的方向与 a 的方向相反，当 0 时， a0 ， 留意 ：a 0；5、平面对量的数量积 ：（ 1）两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ， b ，作oaa, obb ， aob0称为向量 a ， b 的夹角，当 0 时， a ， b 同向，当时， a ， b 反向，当 时， a ， b 垂直；2（ 2） 平面对量的数量积 ：假如两个非零向量a ， b ，它们的夹角为，我们把数量| a | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积或点积） ，记作： ab ，即 ab a b cos；规定： 零向量与任一向量的数量积是0，留意数量积是一个实数， 不再是一个向量 ；如（ 1） abc 中

6、，| ab |3 ， | ac |4 ， | bc |5 ，就 abbc （答： 9）；（ 2）已知 a11，就 k 等于 （答：1）；1, , b0,cakb, dab ，c 与 d 的夹角为224（ 3）已知 a2, b5,a b3 ，就 ab 等于 （答：23 ）；（ 4）已知a, b 是两个非零向量，且 abab ，就 a与ab的夹角为（答： 30 ）（ 3） b 在 a 上的投影 为| b | cos，它是一个实数，但不肯定大于0；如已知 | a |3 ，| b |5 ，且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为（答：12 ）5（ 4） ab 的几何意义 ：数量积 ab 等

7、于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积；（ 5）向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，就： abab0 ；2当 a ，b 同向时， ab a b ，特殊地， a向时， ab a b ；22aaa, aa；当 a 与 b 反非零向量 a ， b 夹角的运算公式： cosab ；a brrrr ab| a |b |；如已知 a,2 ，b3 ,2 ，假如 a 与 b 的夹角为锐角， 就的取值范畴是（答：4 或0 且1 ）；（336、向量的运算 ：（ 1）几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法就”进行，但“平行四边形法就”只适用于不共线的向量， 如此之外， 向量加

8、法仍可利用 “三角形法就” ：设 aba, bcb ，那么向量 ac叫做 a 与 b 的和，即 ababbcac ；uuurr uuurrrruuuruuuruur向量的减法：用“三角形法就” ：设 aba, acb,那么ababaccb ，由减向量的终点指向被减向量的终点；留意：此处减向量与被减向量的起点相同；如（ 1）化简： abbccd ； abaddc ； abcd acbd （答： ad ； cb ； 0 ）；（ 2）如正方形 abcd 的边长为 1，aba, bcb, acc ，就 | abc | （答： 22 ）；（ 3 ） 如 o 是abc 所在平面内一点，且满意obocobo

9、c2oa ，就 abc 的外形为 （答： 直角三角形） ；（ 4）如 d 为abc 的边 bc 的中点，abc 所在平面内有一点p ，满意| ap |pabpcp0 ，设| pd |，就的值为 （答： 2）；（ 2）坐标运算 ：设 ax1, y1, bx2, y2 ，就： 向量的加减法运算： ab x1x2 ， y1y2；如（ 1） 已知点a2,3, b5,4 ，c 7,10 ，如apabacr ，就当 时，点 p 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 ）；2 实数与向量的积 ：ax1, y1x1,y1 ；如 a x1 , y1, b x2 , y2 ，就abx2x1 , y2y1 ，即一个向

10、量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；如设 a2,3, b1,5 ，且 ac111 ab ，3ad3ab ，就 c、 d 的坐标分别是（答：1,7,9 ）；3 平面对量数量积 ： abx1x2y1y2 ；如已知向量 a （ sinx，cosx）,b （ sinx，3sinx ）,c （ 1，0）；（ 1）如 x，求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）如 x 3, ，函84数 f xa b 的最大值为1 ，求的值（答：21150;21 或21 ）；2 向量的模 ： | a |x2y2 , a2| a|2x2y2 ；如已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 | a3

11、b | （答：13 ）； 两点间的距离 ：如a x1, y1, b x2, y2，就 | ab |2x2x12y2y1；7、向量的运算律 ：（ 1）交换律： abba ，aa ， abba ；2结合律：abcabc, abcabc ，ababab；（ 3）安排律：aaa,abab ， abcacbc ；如以下命题中：a bc a bac ；a b c a bc ； ab2| a |22 | a | | b | b |2 ； 如 a b0 ，就 a0 或 b0 ；如a bc b,就 ac ；22a bb222222 aa ；2a； a baab ； aba2a bb ；其中正确选项 （答：）提示

12、：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量， 即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律 ，即abcabc ，为什么？8、向量平行 共线 的充要条件 ：a / bab a b2| a |b |2x1 y2y1x2 0；如1 如向量 ax,1, b4, x ，当 x 时 a 与b 共线且方向相同 （答： 2）；（ 2）已知 a1,1,b4, x， ua2b ， v2ab ，且u / v ，就 x （答： 4）；（3）设 pak

13、,12, pb4,5, pc10,k ，就 k时， a,b,c 共线（答： 2 或 11）9、向量垂直的充要条件： aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .特别地 abac abac ；如1 已知 oa 1,2, ob3, m ，如 oaob ，abacabac就 m（答： 3 ）；（2） 以原点 o 和 a4,2 为两个顶点作等腰直角三角形oab ，2b90 ，就点 b 的坐标是（答： 1,3或（ 3， 1） ；10. 线段的定比分点 ：（ 1）定比分点的概念：设点 p 是直线 p1 p 2 上异于 p 1 、p 2 的任意一点，如存在一个实数，使p1ppp2 ，就叫

14、做点 p 分有向线段p1p2 所成的比， p 点叫做有向线段p1p2的以定比为的定比分点；（ 2） 的符号与分点 p 的位置之间的关系 ：当 p 点在线段 p1 p 2 上时>0；当 p点 在 线 段p 1 p 2 的 延 长线 上 时< 1 ； 当 p 点 在线 段 p 2 p 1 的 延 长 线 上时10 ；如点 p 分有向线段1p1p2 所成的比为，就点 p 分有向线段 p2p1 所成的比37为；如如点 p 分 ab 所成的比为，就 a分 bp 所成的比为（答：）43（ 3）线段的定比分点公式 ：设 p1 x1 , y1 、 p2 x2,y2 ， px, y 分有向线段p1p

15、2 所成xx1的比为，就1x212，特殊地，当 1 时，就得到线段pp的中点公式xx1x2 2yy1y2 1yy1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时，应明确 x,y ， x1, y1、 x2 , y2 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件，敏捷地确定起点，分点和终点，并依据这些点确定对应的定比；如（1）如 m（ -3，-2），n（6，-1），且1mpmn， 3就点 p 的坐标为（答：6,7 ）； 311. 平移公式 ：假如点p x, y 按向量ah, k 平移至px, y ，就 xxh ；曲yyk线 f x,y0 按向量ah, k 平移得曲线f xh, yk 0

16、 .留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（ 1）按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ，就按向量 a 把点 7,2 平移到点 （答：（ ，）；（ 2）函数 ysin 2 x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是ycos 2 x1 ，就 a（答： ,1 ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要留意运用；（ 2）|a |b | | ab | | a | b | ，特殊地， 当 a、b 同向或有 0|ab | | a | b | a | b | | ab |；当 a、b 反向或

17、有 0| ab | | a | b| a | b | |ab| ；当 a、b不共线| a | b | |ab| | a |b| 这些和实数比较类似 .（ 3 ） 在abc 中 ， 如a x1 , y1, b x2, y2,c x3, y3， 就 其 重 心 的 坐 标 为gx1x2x3, y1y2y3； 如如 abc 的三边的中点分别为（2 ， 1 ）、（ -3 ， 4）、33（ -1 ， -1 ），就 abc的重心的坐标为 （答： 2 4, ）； 3 3 pg1 papbpc3g 为 abc 的重心，特殊地papbpc0p为 abc的重心； pa pbpb pcpcpap 为 abc 的垂心；向量 abac 0 所在直线过abc 的内心 是bac 的角平分线所| ab | ac |在直线 ； | ab | pc| bc | pa| ca |