初中数学——找规律

1、第一讲 找规律【知识梳理】 所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。  常见类型有：（1）数字猜想型（2）数式规律型（3）图像变化猜想型（4）数形结合猜想型（5）坐标变化型解题策略：综合运用比较、猜想、概括、推理等方法；关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。知识点1：循环规律：一列数每隔T项就开始循环，或一列图形（符号）每隔T个就开始循环，T叫做循环周期。如果一列数或图形的循环周期为T，则其第kT+1(k=1,2,3.)项与第

2、1项相同；则其第kT+2(k=1,2,3.)项与第2项相同；则其第kT+3(k=1,2,3.)项与第3项相同；以此类推. 正整数的n次幂的循环规律： 对于任意一个正整数a，an(n=1,2,3.)的个位数字必循环。例如：2n（n=1,2,3.）的个位数字循环规律为：2,4,8,6,2,4,8,6，.，循环周期为4. 知识点2：不循环的规律： 等差数列：对于一列数a1,a2,a3,.,如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数，那么这列数就叫等差数列。此时后一项与前一项的差值称为公差，通常记为d。对于等差数列，其第n项为an=a1+(n-1)d,前n项的和为.特别地， 奇数列：1,3,5,7,

3、9，.是等差数列，公差为2，第n项为2n-1，前n项和为n2。 偶数列：2,4,6,8,10，.是等差数列，公差为2，第n项为2n，前n项和为n2+n。 等比数列： 对于一列数a1,a2,a3,.,如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定常数，那么这列数就叫等比数列。此时后一项与前一项的比值称为公比，通常记为q。对于等比数列，其第n项为an=a1qn-1.特别地， 数列 -1,1，-1,1，-1，.是等比数列，公比为-1，第n项为(-1)n ； 数列 1，-1,1，-1，.是等比数列，公比为-1，第n项为(-1)n+1 ； 数列 1，0，1，0，1，. 第n项为 ； 平方数列：1,4,9,

4、16,25，.的第n项为n2 。【例题讲解】1、 （2015朝阳一模）一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是 ，第个式子是 （用含的式子表示，为正整数）【巩固】一组按规律排列的式子：，其中第n个式子是 2、（2015燕山一模）定义：对于任意一个不为1的有理数a，把称为a的差倒数，如2的差倒数为，的差倒数为记，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 ； 3、（2013西城一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A(1,0)处第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2

5、先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；依此规律进行，点A6的坐标为 ；若点An的坐标为（2013，2012），则n= 4、（2010北京）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即ABCDCBABC的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是_;当字母C第201次出现时，恰好数到的数是_；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是_ （用含n的代数式表示）。2010北京 5、（2012丰台）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电

6、动娃娃在边长为1的正方形的四个顶点上依次跳动规定：从顶点A出发，每跳动一步的长均为1第一次顺时针方向跳1步到达顶点D，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C， ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是 ，跳动第2012次到达的顶点是 6、（12石景山二模）如图所示，圆圈内分别标有1，2，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为，则电子跳蚤连续跳（）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈，依

7、此规律，若电子跳蚤从开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 7、（11北京）在上表中，我们把第i行第j列的数记为（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，。例如：当，时，。按此规定，_；表中的25个数中，共有_个1；计算的值为_。8、（2013朝阳一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P从原点O出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后

8、可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1，l1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2，l2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3，l3=18；按照这样的规律，l4= ； ln= (用含n的式子表示，n是正整数)9、（2012石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 则第4行中的最后一个数是 ，第行中共有 个数，第行的第个数是 第1行1第2行35第3行79111310、（2013石景山一模）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5

9、 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_；第行（3）从左到右的第3个数为 （用含的代数式表示）11、 （2013通州一模）定义一种对正整数n的“F运算”：当n为奇数时，结果为；当n为偶数时，结果为（其中k是使得为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取，则： ，若，则第2次“F运算”的结果是 ；若，则第2013次“F运算”的结果是 .12、（2014年海淀一模）在一次数学游戏中，老师在三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为（，）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的

10、糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. 次操作后的糖果数记为（，）（1）若（4，7，10），则第_次操作后游戏结束；（2）小明发现：若（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么_13、（2012海淀二模）小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：挪动珠子数（颗）23456所得分数（分）511192941按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n颗珠子时（n为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n的代数

11、式表示）【课堂练习】1、（2015东城期末）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1的位置，点B,O分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去若点A（，0），B（0，4），则点B4的坐标为 ,点B2014的坐标为2、（2015房山期末）抛物线（其中n是正整数）与x轴交于An、Bn两点，若以AnBn表示这两点间的距离，则; ； (用含n的代数式表示)3、（2015丰台期末）在平面直角坐标系中，对于点，其中，我们把点 叫做点P的

12、衍生点.已知点的衍生点为，点的衍生点为，点的衍生点为，这样依次得到点，如果点的坐标为，那么点的坐标为_；如果点的坐标为，且点在双曲线上，那么_4、（2015海淀期末）对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和例如：，规定，（为正整数）例如：，（1） 求：_，_；（2） 若，则正整数m的最小值是_5、（2015怀柔期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为 ；第n个正方形的面积为

13、 6、（2015门头沟）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD顶点A（1，1）、B（3，1） 我们规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换（1）如果正方形ABCD经过1次这样的变换得到正方形A1B1C1D1，那么B1的坐标是 （2）如果正方形ABCD经过2014次这样的变换得到正方形A2014B2014C2014D2014，那么B2014的坐标是 7、（2015密云期末）如图，边长为1的正方形 放置在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点 重合，点在轴上.将正方形沿轴正方向作无滑动滚动，当点第一次落在轴上时，点的坐标是_,点经过的路径的总长度是_；当点第2014次落

14、在轴上时，点经过的路径的总长度是_.8、 （2015平谷期末）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点设坐标轴的单位长度为1cm，整点P从原点O出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s当整点P从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P从原点出发2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为 个当整点P从原点出发n秒时，可到达整点（x,y），则x、y和n的关系为 9、（2015石景山期末）二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，Bn在二次函数位于第一象限的图象

15、上，点C1，C2，C3，Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，四边形An-1BnAnCn都是菱形，A0B1A1=A1B2A2=A2B3A3=An-1BnAn=120°.则A1的坐标为 ；菱形An-1BnAnCn的边长为 .10、（2015通州期末）如图：在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（0，1），有一组抛物线Ln,它们的顶点Cn（Xn，Yn）在直线AB上，并且经过点（Xn+1，0）,当n=1，2，3，4，5时，Xn=2,3,5,8,13，根据上述规律，写出抛物线L1的表达式为 ，抛物线L6的顶点坐标为 ，抛物

16、线L6与X轴的交点坐标为 11、（2015延庆期末）如图，AD是O的直径(1)如图1，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则B1的度数是，B2的度数是；(2)如图2，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，则B3的度数是；(3)如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，BnCn把圆周2n等分，则Bn的度数是（用含n的代数式表示Bn的度数） 图1 图2 图312、（2015燕山期末）在函数的图象上有点P1，P2，P3，Pn，Pn+1，它们的横坐标依次为1，2，3，n，n+1过点P1，P2，P3，Pn，Pn+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成如图所示

17、的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为，则点P1的坐标为 ； ； （用含n的代数式表示）【课后作业】1、一组按规律排列的式子：，其中第6个式子是 ，第个式子是 （为正整数）2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是_3、（12西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形如图，在菱形ABCD中，四个顶点坐标分别是（8,0），（0,4），（8,0），（0，4），则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形AnBnCn D n的四个顶点坐标分别为（2n,0），（0, n），（2

18、n，0），（0，n）（n为正整数），则菱形AnBnCn D n能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有n的式子表示）xy8-8-44OABCD4、（2014东城一模）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2014次相遇地点的坐标是 5、（2013石景山一模）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系中，棋子从点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位依此规律走棋（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为_；（2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为_6、（2013西城一模）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这