河海大学水力学重点第三章水动力学

1、第三章 液体恒定 3.1概述概述 液体运动常用速度、加速度、动水压强等来表征，这液体运动常用速度、加速度、动水压强等来表征，这些表征液体运动的物理量称为运动要素。些表征液体运动的物理量称为运动要素。 第三章 液体恒定 3.2.1 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)法法 拉格朗日法，属于研究质点的方法，以研究液流中每拉格朗日法，属于研究质点的方法，以研究液流中每一个质点为对象，跟踪质点，把它们在流动过程中的流动一个质点为对象，跟踪质点，把它们在流动过程中的流动状态记录下来，从而得出整个液体的运动情况。状态记录下来，从而得出整个液体的运动情况。 第三章 液体恒定 这样可给出质点在空间的位置坐标

2、：这样可给出质点在空间的位置坐标： x=x (a ,b, c, t) y=y (a, b, c, t) z=z (a, b, c, t) 式中式中a, b, c, t称为拉格朗日变数。称为拉格朗日变数。 这样，质点的速度在这样，质点的速度在x ,y ,z三个方向的分量为三个方向的分量为 ( , , , )( , , , )( , , , )xyzxx a b c tuttyy a b c tuttzz a b c tutt第三章 液体恒定对速度表达式在求一次偏导数可求得加速度对速度表达式在求一次偏导数可求得加速度: 222222222222( , , , )( , , , )( , , , )

3、xxyyzzuxx a b c tatttuyy a b c tatttuzz a b c tattt第三章 液体恒定 3.2.2 欧拉法欧拉法 欧拉法属于研究场的方法，是研究液体质点通过欧拉法属于研究场的方法，是研究液体质点通过各固定空间点时的运动情况。例如任一空间点上液体各固定空间点时的运动情况。例如任一空间点上液体质点速度质点速度u在x, y, z方向的分量可表示为：方向的分量可表示为： ( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t第三章 液体恒定 对速度求其全导数可得到液体质点的加速度对速度求其全导数可得到液体

4、质点的加速度a在在x， y，z方向的分量为方向的分量为xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz第三章 液体恒定第三章 液体恒定第三章 液体恒定 3.3 液体运动的一些基本概念液体运动的一些基本概念 3.3.1 一元流，二元流，三元流一元流，二元流，三元流第三章 液体恒定 3.3.2 恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流 各点运动要素都不随时间变化的流动称为恒定流；反各点运动要素都不随时间变化的流动称为恒定流；反 之称为非恒定流。之称为非恒定流。第三章 液体恒定 3.3.3 流线流线 流线是

5、某一瞬时在流场中绘出的曲线，在此曲线上所流线是某一瞬时在流场中绘出的曲线，在此曲线上所有液体质点的速度矢量都和该曲线相切。有液体质点的速度矢量都和该曲线相切。 加一流线图、流动演示仪的照片加一流线图、流动演示仪的照片第三章 液体恒定 流线的性质：流线不能相交流线的性质：流线不能相交,不能转折。恒定流时流不能转折。恒定流时流线的形状不随时间改变，而非恒定流时流线随时间改变。线的形状不随时间改变，而非恒定流时流线随时间改变。 加一相交、转折、孔口出流的非恒定、恒定的录像加一相交、转折、孔口出流的非恒定、恒定的录像第三章 液体恒定第三章 液体恒定 1.过水断面过水断面 垂直于流线的液流横断面称为过水

6、断面。垂直于流线的液流横断面称为过水断面。第三章 液体恒定 在液流中取一封闭的曲线在液流中取一封闭的曲线,通过这一封闭曲线上每一点通过这一封闭曲线上每一点可以引出一条流线，这些流线形成一个封闭的管状体，称可以引出一条流线，这些流线形成一个封闭的管状体，称为流管。为流管。 第三章 液体恒定3.元流元流 流管中的水流称为元流。流管中的水流称为元流。4.总流总流 由无数个元流所组成的水流称为总流。由无数个元流所组成的水流称为总流。第三章 液体恒定 1.流量流量 单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量,用用Q表示。流量是衡量过水断面过水能力大小的物理量

7、，它的表示。流量是衡量过水断面过水能力大小的物理量，它的单位为单位为m3/s或或L/s。 元流的流量元流的流量 dQ=udA 总流的流量总流的流量 AQ =dQ =udA 重量流量重量流量QG=gQ质量流量质量流量Qm= Q 第三章 液体恒定 断面平均流速断面平均流速v是一假想的流速，假想总流同一过水是一假想的流速，假想总流同一过水断面上各点流速的流速均等于断面平均流速断面上各点流速的流速均等于断面平均流速v，而通过的，而通过的流量与以实际流速分布所通过的流量相等。流量与以实际流速分布所通过的流量相等。 AQudAvA第三章 液体恒定断面平均流速断面平均流速v为为 AudAQv=AA下列是管道

8、过水断面流速分布及断面平均流速分布图下列是管道过水断面流速分布及断面平均流速分布图第三章 液体恒定 均匀流和非均匀流：流速的大小和方向沿流线不变的均匀流和非均匀流：流速的大小和方向沿流线不变的流动称为均匀流；否则称为非均匀流。流动称为均匀流；否则称为非均匀流。 （加引江河的照片）（加引江河的照片） 第三章 液体恒定 均匀流的特性：均匀流的特性： 1、流线是相互平行的直线，因此过水断面是平面，且、流线是相互平行的直线，因此过水断面是平面，且过水断面面积沿程不变。过水断面面积沿程不变。 2、同一根流线上各点的流速相等，流速分布沿流不变。、同一根流线上各点的流速相等，流速分布沿流不变。 3、过水断面

9、上的动水压强按静水压强分布。、过水断面上的动水压强按静水压强分布。 加一照片（均匀流过水断面加一照片（均匀流过水断面z+p/g实验室仪器实验室仪器)第三章 液体恒定 证明证明:沿着垂直流线方向列动力平衡方程沿着垂直流线方向列动力平衡方程有有 FFn n=0=0 p pd dA A-(-(p p+d+dp p)+)+ggd dn nd dA Acos=0cos=0而而 d dz z=-d=-dn ncoscos代入上式加以整理代入上式加以整理, ,得得 d dp p+ +ggd dz z=0=0 积分上式得积分上式得 z z+ +p p/ /gg=C=C 注意注意: :上述结论只适用有一定固体边

10、界约束上述结论只适用有一定固体边界约束的水流的水流, ,对射流水股断面不在适用。对射流水股断面不在适用。第三章 液体恒定 非均匀流又可根据流速沿流线的变化的缓、非均匀流又可根据流速沿流线的变化的缓、急程度分为渐变流和急变流。渐变流是流速沿流急程度分为渐变流和急变流。渐变流是流速沿流线变化缓慢的流动；急变流是流速沿流线变化急线变化缓慢的流动；急变流是流速沿流线变化急剧的流动。剧的流动。 （ 加变坡水槽有宽顶堰的流动加变坡水槽有宽顶堰的流动）第三章 液体恒定 1.系统是指由确定的连续分布的众多液体质点所组成系统是指由确定的连续分布的众多液体质点所组成的液体团。系统一经选定，组成它的质点也就固定不变

11、。的液体团。系统一经选定，组成它的质点也就固定不变。系统在运动过程中可变形，但不能与外界进行动量交换。系统在运动过程中可变形，但不能与外界进行动量交换。 2.控制体积是指在流场中选取的一个相对于某一坐标控制体积是指在流场中选取的一个相对于某一坐标系是固定不变的空间，它的封闭的界面称为控制面。系是固定不变的空间，它的封闭的界面称为控制面。第三章 液体恒定 在恒定总流中取一微小流管为控制体积，它的控制面在恒定总流中取一微小流管为控制体积，它的控制面由过水断面由过水断面1，2以及流管壁面所组成。以及流管壁面所组成。 第三章 液体恒定 则根据质量守恒原理：经过则根据质量守恒原理：经过dt时刻经控制面流

12、进流出时刻经控制面流进流出控制体积内的液体质量应相等。（因为是恒定流体内的质控制体积内的液体质量应相等。（因为是恒定流体内的质量不随时间变化）则有下式：量不随时间变化）则有下式： u1dA1dt=u2dA2dt 简化得简化得 u1dA1=u2dA2 此即为不可压缩液体元流的能量方程。它表明：通过此即为不可压缩液体元流的能量方程。它表明：通过元流的流速和过水断面面积成反比。元流的流速和过水断面面积成反比。第三章 液体恒定 总流由无数个元流组成的。把元流的能量方程对总总流由无数个元流组成的。把元流的能量方程对总流过水断面积分，可得到总流的连续方程，即流过水断面积分，可得到总流的连续方程，即 121

13、122AAu d Aud A 或或 Q1= Q2 又由于总流的流量又由于总流的流量QVA 上式又可写为上式又可写为 V1A1=V2A2 此即为此即为恒定恒定总流连续方程。它表明：通过总流的断总流连续方程。它表明：通过总流的断 面平均流速与断面面积成反比。面平均流速与断面面积成反比。第三章 液体恒定 3.5.1理想液体恒定元流的能量方程理想液体恒定元流的能量方程 由物理学中动能定理指出：运动物体在某一时段内动由物理学中动能定理指出：运动物体在某一时段内动能的增量等于各外力对物体所做的功之和。能的增量等于各外力对物体所做的功之和。 在理想液体恒定总流中的在理想液体恒定总流中的t时刻任取一元流断作为

14、控制时刻任取一元流断作为控制体积，其内的水流作为一个系统。经过体积，其内的水流作为一个系统。经过dt时刻，该系统运移时刻，该系统运移了一段距离，分析此时动能的改变及作用在该系统上外力了一段距离，分析此时动能的改变及作用在该系统上外力的功。的功。(参考图参考图3.14) Ek=Ek1-2EK12=(Ek12+EK22)(EK11+EK12) 因为水流是恒定流，所以因为水流是恒定流，所以12流段的动能保持不变，即流段的动能保持不变，即 Ek=Ek2-2EK11 根据质量守恒原理流段根据质量守恒原理流段11和和22的质量应相等，即的质量应相等，即 dm=u1dA1dt= u2dA2dt=dQdt 2

15、2222121111()222kEdmudmudQdt uu第三章 液体恒定 Ek=Ek1-2EK12=(Ek12+EK22)(EK11+EK12) 因为水流是恒定流，所以因为水流是恒定流，所以12流段的动能保持不变，即流段的动能保持不变，即 Ek=Ek2-2EK11 根据质量守恒原理流段根据质量守恒原理流段11和和22的质量应相等，即的质量应相等，即 dm=u1dA1dt = u2dA2dt =dQdt 于是上式可以写为于是上式可以写为Ek= 222221212221111()222()22dmudmudQdt uuuugdQdtgg第三章 液体恒定 考虑重力与压力所做的功考虑重力与压力所做

16、的功(1) (1) 重力做的功重力做的功 WGdmg(z1z2)=gdQdt(z1z2)(2) (2) 压力做的功压力做的功 WP=p1dA1ds1p2dA2ds2=p1dA1u1dtp2dA2u2dt=dQdt(p1p2)第三章 液体恒定 根据功能原理，根据功能原理， WG+WP=EK 可得可得 gdQdt(z1z2)dQdt(p1p2) 2221uurgdQdt(-)2g2g22112212pupuz +=z +rg 2grg 2g整理得整理得该式称理想液体恒定元流能量方程该式称理想液体恒定元流能量方程3.5.23.5.2理想液体恒定元流能量方程的能量和几何意义理想液体恒定元流能量方程的能

17、量和几何意义第三章 液体恒定第三章 液体恒定 22222211122212-2222puw rpuw rzzrgggrggg第三章 液体恒定2211221222wpupuzzhgggg第三章 液体恒定 将元流能量方程乘以元流的重量将元流能量方程乘以元流的重量gdQdt可得出可得出dt时段内时段内通过元流两过水断面的能量守恒关系为通过元流两过水断面的能量守恒关系为 221122111222()()22wpupuzgu dAdtzgu dA dthgdQdtgggg12221122111222()()22wAAQpupuzgu dAdtzgu dA dthgdQdtgggg 对上式积分，可得出对上

18、式积分，可得出dtdt时段内通过总流两过水断面的时段内通过总流两过水断面的能量守恒关系能量守恒关系第三章 液体恒定 上式除以上式除以gQdt可得出通过总流过水断面的单位重量可得出通过总流过水断面的单位重量液体的能量守恒关系液体的能量守恒关系11223111111322222211()2111()2AAwAAQpuzu dAdAQgQgpuzu dAdAh dQQgQgQ第三章 液体恒定 下面讨论三种积分形式下面讨论三种积分形式: 3323122AAudAu dAQgvv Ag 动能校正系数数值上取决于过水断面上的流速分布，动能校正系数数值上取决于过水断面上的流速分布，流速分布越不均匀其数值越大

19、。流速分布越不均匀其数值越大。 其中其中:是一个大于是一个大于1 1的系数，称为动能校正系数的系数，称为动能校正系数AA1p1pp(z+)udA= (z+) dQ=z+QrgQrgrg1.32122AuvdAQgg2.第三章 液体恒定 经过上述积分后，可得出恒定总流的能量方程经过上述积分后，可得出恒定总流的能量方程2211221222wpvpvzzhgggg1wwQh dQhQ3. .第三章 液体恒定能量方程各项的能量意义和几何意义能量方程各项的能量意义和几何意义Z代表单位重量液体的位置势能；位置高度。代表单位重量液体的位置势能；位置高度。p/g代表单位重量液体的压强势能；压强高度。代表单位重

20、量液体的压强势能；压强高度。v2/2g代表单位重量液体的动能；流速水头。代表单位重量液体的动能；流速水头。hw代表液体从断面代表液体从断面1到断面到断面2平均的能量损失；水头损失。平均的能量损失；水头损失。第三章 液体恒定总水头线和测压管水头线的绘制：总水头线和测压管水头线的绘制：第三章 液体恒定ppd(z+)rgJ =-ds测管坡度测管坡度：2()2wpvd zdhggJdsds 水力坡度：水力坡度：第三章 液体恒定 1.作用于液体上的质量力只有重力。作用于液体上的质量力只有重力。 2.水流必须是恒定流。水流必须是恒定流。 3.所取过水断面应是均匀流或渐变流过水断面，但两断面之所取过水断面应

21、是均匀流或渐变流过水断面，但两断面之间可以存在急变流。间可以存在急变流。 4.两过水断面之间没有外界能量加入或支出，若有需修正能两过水断面之间没有外界能量加入或支出，若有需修正能量方程。量方程。2211 122 21222pwpvpvzhzhgggg第三章 液体恒定 1.毕托管测速原理毕托管测速原理第三章 液体恒定sppu= 2g(-)rg rg有有22sppuggg列能量方程列能量方程: :第三章 液体恒定文丘里管测流量文丘里管测流量:列列11，22断面的能量方程：断面的能量方程：经整理有：经整理有：2211 122 21222wpvpvzzhgggg221221 1121() ()()22

22、ppvvzzgggg第三章 液体恒定 列连续性方程有：列连续性方程有：v1A1=v2A2 代入能量方程中代入能量方程中 211 1212122()()dgQAvhkhdd第三章 液体恒定孔口出流：孔口出流： 220 0ccwa va vH +=+h2g2g第三章 液体恒定设孔口面积为设孔口面积为A，收缩断面的面积为，收缩断面的面积为Ac，则则 Ac/A称为孔口收缩系数。称为孔口收缩系数。012ccvgH解得解得0022c cQAvAgHAgH通过孔口的流量为通过孔口的流量为式中：式中： 为孔口的流量系数。为孔口的流量系数。1c令式令式为流速系数为流速系数第三章 液体恒定 根据物理学中的动量定理根据物理学中的动量定理F=dF=dk/d/dt t ( (图图3.23)3.23) 先计算动量的变化先计算动量的变化1 21 21 22 21 11 2() () ()dKKKKKKK1 -2K由于由于不随时间变化不随时间变化