大学物理：大学物理-高数部分2-2

1、高高 数数 知知 识识 预预 备备1一、函数的导数与微分一、函数的导数与微分微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度在力学的第一章，在力学的第一章，它们都是描述物质它们都是描述物质运动的工具运动的工具 。xyo)(xfy CNT0 xMx1、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率曲线曲线在在 M 点处的点处的切线切线割线割线 M N 的的极限位置极限位置 M T:( )C yf x(当当 时时)切线切线 MT 的斜率的斜率割线割线 M N 的斜率的斜率00( )()tanf xf xxxtanlimtank000( )()limxxf xf xxx第

2、二部分：函数的微分、积分第二部分：函数的微分、积分高高 数数 知知 识识 预预 备备22、导数的定义、导数的定义定义定义1 ：设函数设函数在点在点的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , ( )yf x0 x0000( )()limlimxxxf xf xyxxx 若：若：)()(0 xfxfy0 xxx其中：其中： 存在存在, 则称函数则称函数 在点在点 处处可导可导，并称此极限为并称此极限为 在点在点 的的导数导数。( )f x0 x( )yf x0 x;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即：即：0 xxy)(0 xf xyx0lim000()()limxf x

3、xf xx 000()()limhf xhf xh记作：记作：高高 数数 知知 识识 预预 备备3曲线曲线)(:xfyC在在 M 点点处的处的切线斜率切线斜率：)(0 xf xyo)(xfy CNT0 xMx000( )()limxxf xf xkxx例例1. 求函数求函数)N()(nxxfn.处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nan高高 数数 知知 识识 预预 备备43、导数的几何意义、导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM)(tan0 xf 若若，曲线过，曲线过上升上升;xyo0 x),

4、(00yx，切线与，切线与 x 轴平行轴平行,，切线与，切线与 x 轴垂直轴垂直 .切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)0)(0 xfxyo0 x)()(1000 xxxfyy曲线曲线在点在点的切线斜率为：的切线斜率为：( )yf x00(,)xy00(,)xy0()0fx若若0()0fx，曲线过，曲线过下降下降;00(,)xy若若0()0fx称为称为驻点驻点;0 x若若0()fx 0()fx 处的：处的：时，曲线在点时，曲线在点00(,)xy高高 数数 知知 识识 预预 备备54、函数的求导法则、函数的求导法则 l 四则运算求导法则四则运算求导法则 )()(xvxu

5、及的和、差、积、商的和、差、积、商 (除除分母为分母为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导,即：即：)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv函数函数 及及 都在都在x具有导数，具有导数， ( )uu x( )vv x高高 数数 知知 识识 预预 备备65、函数的、函数的高阶导数的概念高阶导数的概念l定义定义: 若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy类似地类似地 , 二

6、阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny)(xf的的二阶导数二阶导数 ,记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,则称则称设设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推依次类推 ,nnany!)(233xa例例1.可得可得( )fxy高高 数数 知知 识识 预预 备备7l 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则 P97P101都有都有n 阶导数阶导数 , 则则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nu

7、C)(nuC(C为常数为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 设函数：设函数：vunn) 1(vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明:高高 数数 知知 识识 预预 备备8)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv 即即:)( sal 标量函数导数标量函数导数变速直线运动变速直线运动例：例：变速直线运动变速直线运动ddd()dddvsat

8、ttl 矢量函数导数矢量函数导数曲线、变速运动曲线、变速运动位置矢量位置矢量:( )rr t速度矢量速度矢量:d ( )( )( )dr ttr tt加速度矢量加速度矢量:d ( )dd ( )( )()( )( )dddtta ttr tttt高高 数数 知知 识识 预预 备备9三、函数的积分三、函数的积分abxo,210bxxxxan任取任取, ,1iiixxiiniixf1)(总趋于确定的极限总趋于确定的极限l，则称此极限，则称此极限l 为函数为函数 1xix1ix即：即：baxxfd)(iniixf10)(lim此时称此时称 f ( x ) 在在 a , b 上上可积可积 .,1iii

9、xxx若若0max1inix只要只要时，时，一、定义：一、定义：设函数设函数 定义在定义在 上，若对上，若对 的任一种分法的任一种分法)(xf,ba,ba 注意：定积分仅与被积函数及积分区间有关注意：定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用而与积分变量用什么字母表示无关什么字母表示无关,即：即：baxxfd)(battfd)(bauufd)(,ba上的上的定积分定积分,)(xf在区间在区间高高 数数 知知 识识 预预 备备10二、二、 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值

10、abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和A三、三、 定积分的性质定积分的性质：abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(aaxxfbaxd. 2abxxfkxxfkbabad)(d)(. 3( k为常数为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(. 4高高 数数 知知 识识 预预 备备5.( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx, 0)(xf.0d)(xxfba, )(min, )(max,xfmxfMbaba)(d)()(abMxxfabmba)(ba , ,)(baCxf若, ,ba)(

11、d)(abfxxfbaoxbay)(xfy 高高 数数 知知 识识 预预 备备12)(xfy xbaoy)(xxhx四、四、积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数, ,)(baCxf则变上限函数则变上限函数( )( )dxaxf xx定理定理1：若：若.,)(上的一个原函数在是baxf五、五、牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )()(d)(aFbFxxfba记作记作)(xFab)(xFab定理定理2：函数函数 ,则：则：高高 数数 知知 识识 预预 备备13高等数学高等数学( (上上) )：P87：函数的和、差、积、商求