考研数学一真题解析2010(共26页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限=(A)1(B)(C)(D) 【考点分析】：考察1型不定性极限。【求解过程】：n 方法一：利用求幂指型极限的一般方法：I=limxx2x-ax+bx =limxexlnx2x-a(x+b)归结为求因此，I=ea-b，选C【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有：n 方法二：利用第二个重要极限求解【基础回顾】：一般地，对于1型极限，均可利用第二个重要极限求解：设，则 (2)设函数由方程

2、确定,其中为可微函数,且则=(A)(B)(C)(D) 【考点分析】：隐函数求导【求解过程】：n 方法一：全微分法方程两边求全微分得：，即整理得所以，。代入即可求得。选B.n 方法二：隐函数求导公式法记，对于隐函数,利用隐函数求导公式得：，代入即可求得。选B。n 方法三：复合函数求导法由方程可确定。方程两边分别对x,y求偏导，注意。由复合函数求导法则：对x求偏导: 对y求偏导：解得： 代入即可求得。选B。【方法总结】：上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。(3)设为正整数,则反常积分的收敛性(A)仅与取值有关(B)

3、仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关【考点分析】：反常积分的判敛法则，超纲题【基础回顾】：利用反常积分的判敛法则对瑕点为的瑕积分，设在上连续，且，有如下判敛准则： 若则收敛； 若则发散。【求解过程】：因为，所以x=1为瑕点。而，所以x=0是否为瑕点取决于是否为负数。仅当与都收敛，I收敛，否则I发散。的敛散性时，与 敛散性相同，因为m,n均为正整数，所以<1,所以收敛，也收敛。时，与 敛散性相同。因为m,n是正整数，所以>-1,若<0,则x=0为瑕点，一定存在常数p满足，使得，于是收敛。当时，x=0不是瑕点，不是反常积分，它存在是一个常数。的敛散性因为而，所以收敛。

4、所以，选D【自我总结】：若反常积分的结果能够通过计算获得，那么其敛散性可直接由计算获知。若反常积分无法计算，那么其敛散性应由判别法获得。本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。(4)= (A)(B) (C)(D)【考点分析】：考察利用积分定义求极限【思路来源】：把和式化成二重积分定义的形式求解，把和式化成定积分定义的形式求解【求解过程】：n 方法一：化成两个定积分定义式的乘积，选Dn 方法二：化成二重积分定义式的形式记D是正方形区域：，将D的长与宽均n等分，分成n2个小正方形，每个小正方形面积是，于是是f(x,y)在D上的一个积分和。，选D(5)设为型矩阵为型矩阵,若则(A)秩秩(B)秩秩 (C

5、)秩秩(D)秩秩【考点分析】：矩阵秩的相关公式【求解过程】：n 方法一：利用矩阵秩的相关公式与性质直接求解r(AB)=r(E)=m, 由于，所以又A为m×n型矩阵，B为n×m型矩阵，因此。所以。选A方法二：利用矩阵秩的相关公式并利用排除法若m=n则四个选项完全一样若m>n则，与矛盾故必是m<n, 因此r(A),r(B)均不可能是n,所以选A【基础回顾】：牢记,n 方法三：利用矩阵方程解的情况与矩阵秩的关系设方程组BX=0，两边左乘A，得A(BX)=(AB)X=EX=XA(BX)=AO=0=> X=0,即BX=0有唯一零解，故同理设方程组，两边左乘，得 ，即

6、有唯一零解，故，选A(6)设为4阶实对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B) (C)(D) 【考点分析】：矩阵特征值的求解，对称矩阵必相似于对角阵，相似矩阵的秩相等【求解过程】：n 方法一：矩阵多项式方程与矩阵特征值的关系 由得矩阵的特征值满足方程，所以 由于为实对称矩阵，故可相似对角化，即，对角阵对角线上的元素为的特征值 由于的秩为，所以的秩也为，所以对角线上的元素一个为，其他为。综上，选D【基础回顾】：若给定矩阵的多项式方程，则的特征值满足，由此求得的值为矩阵的全部特征值n 方法二：用分块矩阵设按列分块为，由知的列向量组的极大无关组含个向量，不妨设为的列向量组的极大无关组，由于，即即得

7、由此可知是的特征值，且是对应的个线性无关的特征向量，故是的至少3重特征值。而r(A)=3<4,所以0也是A的一个特征值，于是A的全部特征值为-1，-1，-1,0；且每个特征值的重数等于其对应的线性无关的特征向量的个数。因此A相似于对角阵D=diag(-1,-1,-1,0),选D(7)设随机变量的分布函数 ，则=(A)0(B)1 (C)(D)【考点分析】：由分布函数求概率【基础回顾】：利用分布函数的性质：【求解过程】：,由分布函数F(x)得，所以，选C(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度, 为概率密度,则应满足(A)(B) (C)(D)【考点分析】：概率密度的性质和正态分

8、布和均匀分布的性质【求解过程】：由标准正态分布的性质得由均匀分布的性质得，所以。所以，即2a+3b=4,选A二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设求= .【考点分析】：参数方程求导、变上限积分求导【求解过程】：方法一：利用参数方程求导公式求解把t=0代入上式即可得，填0；方法二：消去参数再求导数。由得，且t=0时，x=1，则把x=1代入上式得，填0【自我总结】：方法一较常用，方法二仅作为参考。(10) = .【考点分析】：定积分的变量替换和分部积分【求解过程】：令，则填。(11)已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分= .【考点分析】：第二类曲

9、线积分、格林公式【求解过程】：n 方法一：用参数法求解第二类曲线积分，填0。n 方法二：加减弧线，利用格林公式求解。添加直线段如上图：，记。则为闭曲线且所围区域记为D,此时，由于积分域D关于y轴对称，且被积函数是x的奇函数，所以。填0n 方法三：凑全微分法被积表达式分为两部分，一部分易求出原函数，另一部分直接化为定积分，填0(12)设则的形心的竖坐标= .【考点分析】：三重积分的物理应用，形心坐标公式【求解过程】：如图所示：形心公式：三重积分的计算：n 方法一：截面法用先二后一的公式分别求解这两个三重积分。与Z轴垂直的截面区域的面积为。又所以，填n 方法二：柱坐标用柱面坐标计算三重积分所以，填

10、(13)设若由形成的向量空间的维数是2,则= .【考点分析】：向量空间维数的概念【求解过程】：n 方法一：矩阵初等变换因为，由形成的向量空间的维数是2，所以，。对矩阵进行初等行变换得：所以，a=6.填6n 方法二：向量空间与基底形成的向量空间的维数是2，其中不成比例，线性无关，是该向量空间的一组基，所以可由线性表出，即方程组有解。由有解，填6(14)设随机变量概率分布为则= .【考点分析】：概率分布基本性质，泊松分布及其性质【求解过程】：n 方法一：识记泊松分布的期望和方差根据概率分布的基本性质，可知，所以，。即随机变量X服从参数为1的泊松分布。则，所以，填2。n 方法二：推导泊松分布的期望和

11、方差同方法一求出，若不记得泊松分布的期望与方差的性质，可直接计算，填2【方法小结】：方法一：X 服从参数为的泊松分布，则其方法二：推导过程用到了的幂级数的展开式，但对于填空题来讲，方法一较为快速准确。三、解答题(1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求微分方程的通解.【考点】：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解【题解】：对应齐次方程的特征方程为：，特征根为：。故，对应齐次方程的通解为。非齐次项是单特征根，故设原方程的特解：。则，代入原方程得：即 。故，原方程的通解为：。【基础】：设二阶线性非齐次方程：若，则特

12、解，其中是与同次的多项式 0, 不是特征方程的根K= 1, 是特征方程的单根 2, 是特征方程的二重根若，则设特解为，其中，是m次多项式， 0,不是特征方程的根K=1,是特征方程的根 (16)(本题满分10分) 求函数的单调区间与极值.【考点】：函数的单调性和极值，变上限积分的求导【题解】：n 方法一：利用极值的第一充分条件判断极值。的定义域为，令得，的驻点为。为讨论的单调区间及驻点，列表如下：x-101-0+0-0+极小极大极小因此，的单调增加区间为及；单调减少区间为及，极小值为，极大值为。n 方法二：利用极值的第二充分条件判断极值。同方法一求出的导函数和驻点和单调区间。利用极值的第二个充分

13、条件，判断函数的极大值和极小值。，所以，是极大值，是极小值。(17)(本题满分10分)(1)比较与的大小,说明理由.(2)记求极限【考点】：定积分的不等式性质，分部积分，夹逼准则求极限【思路】：根据定积分的不等式性质求解(1)，再用(1)的结论结合夹逼准则求解(2)【题解】：(1) 当时，因为，所以，且不等号两侧不恒相等。因此(2) 由(1)知而：所以，而，故由夹逼定理知(18)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.【考点】：幂级数的收敛域及其和函数【思路】：利用幂级数和函数的性质和常见函数的幂级数展开式求和函数，利用比值法或公式法求收敛区间，再用莱布尼茨法则判断端点处的敛散性。【题解】

14、：利用比值法求收敛区间：记，所以，当，即时，绝对收敛，当时，发散，因此幂级数的收敛半径R=1，收敛区间为利用公式法求收敛区间：原级数只有偶数项不能直接用公式法求收敛区间令，则，故的收敛半径：，收敛区间为的收敛区间为即当时，是交错级数，由莱布尼茨法则知级数收敛，故幂级数的收敛域为。求和函数记为级数的和函数，则其中由幂级数和函数的性质得：所以。故，即就是左端幂级数的收敛域。由于与有相同的收敛域，又逐项求导保持收敛半径不变，所以的收敛区间为，当时，*式左端级数收敛，右端函数连续，故*式在处也成立。(19)(本题满分10分)设为椭球面上的动点,若在点的切平面与面垂直,求点的轨迹并计算曲面积分其中是椭球

15、面位于曲线上方的部分.【考点】：第一类曲面积分，曲面的切平面【思路】：先解出轨迹C的方程，把题目中的曲面积分化为二重积分求解【题解】：记，则椭球面S上P(x,y,z)处的法向量是，若S在P点处的切平面垂直于xOy平面，则P点处S的法向量垂直于，因而。因为P点在椭球面上，故所求P点应满足，即（它是椭圆柱面与平面的交线）故所求轨迹C的方程为。曲面积分的积分曲面在xOy平面上的投影即为的底面（曲线C围成的平面）在xOy面上的投影。投影区域为，即。注意：设曲面F(x,y,z)=0。直接将F(x,y,z)=0与z=0联立求其在xoy面上的投影有两个条件：1.F(x,y,z)=0可表示成z=G(x,y)的

16、形式；2.曲面与xoy平面相交，而且相交得到的曲线为曲面的边界曲线。本题中不满足第二个条件，故若直接将曲面方程与z=0联立得到的曲线方程所围的区域并不是曲面在xoy面的投影区域。记的方程为，由隐函数求导法则得：从而 故，其中（因为D关于y轴对称，且被积函数是关于x 的奇函数） (20)(本题满分11分)设已知线性方程组存在两个不同的解.(1)求(2)求方程组的通解.【考点】：线性方程组解的性质、有解条件及求通解【思路】：由有两个不同的解，得到，再求和方程组的通解。【题解】：n 方法一：利用线性方程组的解与方程组秩的关系。(1)有两个不同的解。当时，方程组无解；当时，即时，存在两个不同的解。故；

17、当时，；当，即时，方程组无解。综上有：(2)当时，所以方程组的通解为，其中是任意常数。n 方法二：用行列式。(1) 有两个不同的解，有故或。当时有，方程组无解。当时，若，则，方程组有无穷多解；否则方程组无解。故(2)同方法一。(21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为且的第三列为(1)求(2)证明为正定矩阵,其中为3阶单位矩阵.【考点】：正交矩阵、特征值、特征向量、正定矩阵等【思路】：(1)中运用矩阵A与标准型及变换矩阵Q直接的关系求解；利用正定矩阵的充要条件证明(2)【题解】：n 方法一：利用可逆矩阵二次型在正交变换下的标准型为，说明二次型矩阵A的特征值是1,1,0。又因的第三

18、列是，说明是矩阵A关于特征值的特征向量。因为A是实对称矩阵，特征值不同的特征向量正交。设A关于的特征向量为，则，即。取，那么是的特征向量。由有n 方法二：利用正定矩阵二次型在正交变换下的标准型为，说明二次型矩阵A的特征值是1,1,0。又因的第三列是，说明是矩阵A关于特征值的特征向量。因为A是实对称矩阵，特征值不同的特征向量正交。设A关于的特征向量为，则，即。可取，那么是的特征向量。又相互正交，只需单位化得：取，则故矩阵（2）n 方法一：正定矩阵与特征值的关系因为矩阵A的特征值为1,1,0，所以矩阵A+E的特征值为2,2,1。因其所有特征值均大于零，故A+E是正定矩阵n 方法二：利用正定的定义，则故，则（，故）。故A+E是正定矩阵。n 方法三：利用顺序主子式由于，故A+E的顺序主子式：，故A+E是正定矩阵。 (22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度【考点】：二维正态分布、边缘概率密度和条件概率密度。【思路】：根据概率密度的积分为1，可求得常数A，积分中用到