2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷)文

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014福建,文1)若集合p=x|2x<4,q=x|x3,则pq等于().a.x|3x<4b.x|3<x<4c.x|2x<3d.x|2x3答案:a解析:结合数轴,得pq=x|3x<4.故选a.2.(2014福建,文2)复数(3+2i)i等于().a.-2-3ib.-2+3ic.2-3id.2+3i答案:b解析:(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.故选b.3.

2、(2014福建,文3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于().a.2b.c.2d.1答案:a解析:根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2×1=2,宽为1,s=2×1=2.故选a.4.(2014福建,文4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为().a.1b.2c.3d.4答案:b解析:第一次循环n=1,判断21>12成立,则n=1+1=2;第二次循环,判断22>22不成立,则输出n=2.故选b.5.(2014福建,文5)命题“x0,+),x3+x0”的否定是().a.x(-,0),x3+x<

3、0b.x(-,0),x3+x0c.x00,+),x03+x0<0d.x00,+),x03+x00答案:c解析:全称命题的否定是特称命题,故该命题的否定是x00,+),x03+x0<0.故选c.6.(2014福建,文6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是().a.x+y-2=0b.x-y+2=0c.x+y-3=0d.x-y+3=0答案:d解析:直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y-3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选d.7.(2014福建,文7)将函数y=sin x的图象向

4、左平移2个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是().a.y=f(x)是奇函数b.y=f(x)的周期为c.y=f(x)的图象关于直线x=2对称d.y=f(x)的图象关于点-2,0对称答案:d解析:y=sin x的图象向左平移2个单位,得y=f(x)=sinx+2=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,a不正确;f(x)的周期为2,b不正确;f(x)的图象关于直线x=k(kz)对称,c不正确;f(x)的图象关于点k+2,0(kz)对称,当k=-1时,点为-2,0,故d正确.综上可知选d.8.(2014福建,文8)若函数y=logax(a>0,且a1)的图象如图所示,则下列函

5、数图象正确的是().答案:b解析:由题中图象可知loga3=1,所以a=3.a选项,y=3-x=13x为指数函数,在r上单调递减,故a不正确.b选项,y=x3为幂函数,图象正确.c选项,y=(-x)3=-x3,其图象和b选项中y=x3的图象关于x轴对称,故c不正确.d选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故d选项不正确.综上可知选b.9.(2014福建,文9)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().a.80元b.120元c.160元d.240元答案:c解析:

6、设容器的底长x米,宽y米,则xy=4.所以y=4x,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x+20x=20x+4x+80,x(0,+).所以f(x)20×2x·4x+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元.故选c.10.(2014福建,文10)设m为平行四边形abcd对角线的交点,o为平行四边形abcd所在平面内任意一点,则oa+ob+oc+od等于().a.omb.2omc.3omd.4om答案:d解析:因为m是ac和bd的中点,由平行四边形法则,得oa+oc=2om,ob+od=2o

7、m,所以oa+ob+oc+od=4om.故选d.11.(2014福建,文11)已知圆c:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域:x+y-70,x-y+30,y0.若圆心c,且圆c与x轴相切,则a2+b2的最大值为().a.5b.29c.37d.49答案:c解析:由题意,画出可行域,圆心c,且圆c与x轴相切,所以b=1.所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为a(-2,1),b(6,1),所以a-2,6.所以a2+b2=a2+11,37,所以a2+b2的最大值为37.故选c.12.(2014福建,文12)在平面直角坐标系中,两点p1(x1,y1),p2

8、(x2,y2)间的“l-距离”定义为|p1p2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点f1,f2的“l-距离”之和等于定值(大于|f1f2|)的点的轨迹可以是().答案:a解析:不妨设f1(-a,0),f2(a,0),其中a>0,点p(x,y)是其轨迹上的点,p到f1,f2的“l-距离”之和等于定值b(大于|f1f2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当x<-a,y0时,上式可化为y-x=b2;当-axa,y0时,上式可化为y=b2-a;当x>a,y0时,上式可化为x+y=b2;当x<-

9、a,y<0时,上式可化为x+y=-b2;当-axa,y<0时,上式可化为y=a-b2;当x>a,y<0时,上式可化为x-y=b2;可画出其图象.(也可利用前三种情况,再关于x轴对称)故选a.第卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2014福建,文13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为. 答案:0.18解析:由几何概型可知1801 000=s阴影s正方形=s阴影1,所以s阴影=0.18.故答案为0.18.14.(2014福建,文

10、14)在abc中,a=60°,ac=2,bc=3,则ab等于. 答案:1解析:由余弦定理可知:cos a=b2+c2-a22bc=4+c2-32×2c=12,所以c=1.故答案为1.15.(2014福建,文15)函数f(x)=x2-2,x0,2x-6+lnx,x>0的零点个数是. 答案:2解析:当x0时,令f(x)=x2-2=0,得x=±2,x=-2.当x>0时,f(x)=2x-6+ln x,f'(x)=2+1x>0.所以f(x)单调递增,当x0时,f(x)<0;当x+时,f(x)>0,所以f(x)在(0,

11、+)上有一个零点.综上可知共有两个零点.故答案为2.16.(2014福建,文16)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于. 答案:201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当成立时,则a2,b2,c=0,此种情况不成立;(2)当成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当成立时,则a=2,b2,c0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证

12、明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014福建,文17)在等比数列an中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和sn.分析:(1)等比数列中已知两项,从而求得公比q,结合通项公式an=a1qn-1或an=amqn-m得an的通项公式.(2)借助(1)的结论,先求得bn,可得bn为等差数列,利用等差数列求和公式sn=n(a1+an)2,求得sn.解:(1)设an的公比为q,依题意,得a1q=3,a1q4=81,解得a1=1,q=3.因此,an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以数列bn的前n项和sn=n(b1+bn)2=

13、n2-n2.18.(本小题满分12分)(2014福建,文18)已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x).(1)求f54的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.分析:对于(1),可把x=54代入f(x)的解析式,认真运算,便可求得结果,另外也可先化简再求值,化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好,注意化简的最终形式一般为f(x)=asin(x+).对于(2),根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性,准确求出周期与单调区间.解法一:(1)f54=2cos54sin54+cos54=-2cos4-sin4-cos4=2

14、.(2)因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+4+1,所以t=22=.由2k-22x+42k+2,kz,得k-38xk+8,kz.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kz.解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+4+1.(1)f54=2sin114+1=2sin34+1=2.(2)t=22=.由2k-22x+42k+2,kz,得k-38xk+8,kz.所以f(x)的单调递增区间为k-38,k+8,kz.19.(本小题满分12分)(2014福建,文19)如图,三棱锥

15、a-bcd中,ab平面bcd,cdbd.(1)求证:cd平面abd;(2)若ab=bd=cd=1,m为ad中点,求三棱锥a-mbc的体积.分析:(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种,结合本题条件,可证明cd垂直于平面abd内的两条相交直线即可证得cd垂直于平面abd.(2)三棱锥体积v=13sh,但要注意转换顶点和底面,对于本题,可将sabm求出,高即为cd=h,代入公式可求得,也可借助图中关系,利用va-mbc=va-bcd-vm-bcd求得.解法一:(1)ab平面bcd,cd平面bcd,abcd.又cdbd,abbd=b,ab平面abd,bd平面abd,cd平面abd.(2)由ab

16、平面bcd,得abbd,ab=bd=1,sabd=12.m是ad的中点,sabm=12sabd=14.由(1)知,cd平面abd,三棱锥c-abm的高h=cd=1,因此三棱锥a-mbc的体积va-mbc=vc-abm=13sabm·h=112.解法二:(1)同解法一.(2)由ab平面bcd知,平面abd平面bcd,又平面abd平面bcd=bd,如图,过点m作mnbd交bd于点n,则mn平面bcd,且mn=12ab=12.又cdbd,bd=cd=1,sbcd=12.三棱锥a-mbc的体积va-mbc=va-bcd-vm-bcd=13ab·sbcd-13mn·sbcd

17、=112.20.(本小题满分12分)(2014福建,文20)根据世行2013年新标准,人均gdp低于1 035美元为低收入国家;人均gdp为1 0354 085美元为中等偏下收入国家;人均gdp为4 08512 616美元为中等偏上收入国家;人均gdp不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均gdp如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均gdp(单位:美元)a25%8 000b30%4 000c15%6 000d10%3 000e20%10 000(1)判断该城市人均gdp是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到

18、的2个行政区人均gdp都达到中等偏上收入国家标准的概率.分析:(1)该城市人均gdp即为求平均值,利用公式代入认真运算,可得人均gdp,判断其所在范围,可知是否达到中等偏上收入国家标准.(2)从5个行政区中随机抽取2个,列出所有基本事件,再找出抽到的2个行政区人均gdp都达到中等偏上收入国家标准的基本事件.利用古典概型概率公式可求得其概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均gdp为8 000×0.25a+4 000×0.30a+6 000×0.15a+3 000×0.10a+10 000×0.20aa=6 400.因为6 4004 0

19、85,12 616),所以该城市人均gdp达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:a,b,a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e,共10个.设事件“抽到的2个行政区人均gdp都达到中等偏上收入国家标准”为m,则事件m包含的基本事件是:a,c,a,e,c,e,共3个,所以所求概率为p(m)=310.21.(本小题满分12分)(2014福建,文21)已知曲线上的点到点f(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点p处的切线l与x轴交于点a,直线y=3分别与直线l及y轴交于点m,n.以mn

20、为直径作圆c,过点a作圆c的切线,切点为b.试探究:当点p在曲线上运动(点p与原点不重合)时,线段ab的长度是否发生变化?证明你的结论.分析:(1)根据题意,可知曲线上的点到点f(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,结合抛物线的定义可得曲线的方程;或利用求方程的一般做法,设点坐标,建立几何关系,转化为代数关系,整理便可得到其方程.对于(2),先求导,得斜率,利用点斜式可得直线l的方程,与y=0联立,得a点坐标,与y=3联立,得m点坐标,直线y=3与y轴的交点n易知,进而得出圆心和半径,结合勾股定理可得|ab|为定值,问题得证.解法一:(1)设s(x,y)为曲线上任意一点,依题意,点s到f

21、(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点f(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.(2)当点p在曲线上运动时,线段ab的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=14x2,设p(x0,y0)(x00),则y0=14x02,由y'=12x,得切线l的斜率k=y'|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得a12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得m12x0+6x0,3.又n(0,3),所以圆心c14x0+3x0,3

22、,半径r=12|mn|=14x0+3x0,|ab|=|ac|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点p在曲线上运动时,线段ab的长度不变.解法二:(1)设s(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,点s(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)同解法一.22.(本小题满分14分)(2014福建,文22)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点a,曲线y=f(x)在点a处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函

23、数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,+)时,恒有x<cex.分析:(1)由题意可知点a的横坐标为0,先求出f(x)的导函数f'(x),则曲线y=f(x)在点a处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g(x)=ex-x2,只需g(x)>0在(0,+)上恒成立即可,利用导数得到g(x)的单调性,从而得证.(3)中存在性问题处理,可结合(2)的结论,合理利用ex>x2,只是将ex>x2

24、的x2中一个x赋值即可,所以可令x0=1c,当x>x0时,ex>x2>1cx,利用不等式的传递性来解决问题.或根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x0.可构造函数,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0满足条件即可得证.解法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.令f'(x)=0,得x=ln 2.当x<ln 2时,f'(x)

25、<0,f(x)单调递减;当x>ln 2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln 2时,f(x)有极小值,且极小值为f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.由(1)得,g'(x)=f(x)f(ln 2)=2-ln 4>0,即g'(x)>0.所以g(x)在r上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex.(3)对任意给定的正数c,取x0=1c,由(2)知,当x>0时,x2<ex.所以当x>x0时,ex>x2>1cx,即x<cex.因此,对任意