四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题（解析版）

1、1 / 19 2020 年春四川省棠湖中学高三第四学月考试年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 文科数学文科数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. .在每小题给的四个选项中，只有一项是在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. . 1.已知集合11ax x=，210bx x= ，则ab =（ ） a. ()1,1 b. ()1,2 c. ()1,2 d. ()0,1 【答案】b 【解析】 由2 |11, |10ax xbx x= 得：02axx=，11bxx= ， 则()1,2ab= ，故选 b. 2.若112

2、2aiii+= +，则复数a=（ ） a. 5i b. 5i + c. 5i d. 5i+ 【答案】d 【解析】 解：由题意可知：()()()12125aiiii+=+= ， 则515iaii=+ . 本题选择 d选项. 3.已知实数x、y满足约束条件103300 xyxyy+ ，则2zxy=+的最大值为（ ） a. 1 b. 2 c. 7 d. 8 【答案】c 【解析】 分析】 作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点c时，z取得最大值. 【详解】解：作出约束条件表示的可行域是以( 1,0),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部，如下图表2 / 19

3、示： 当目标函数经过点()2,3c时，z取得最大值，最大值为7. 故选：c. 【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 4.“1a ”是“直线30axy+=的倾斜角大于4”的（） a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件 c. 充分必要条件 d. 既不充分也不必要条件 【答案】a 【解析】 【分析】 设直线30axy+=的倾斜角为，则tana= ， 由“1a ”，可得4，再举特例34=，可得由“直线30axy+=的倾斜角大于4” 不能得到“1a ”，即可得解. 【详解】解：设直线30axy+=的倾斜角为，则tana= ，若“1a ”，

4、则tan1a= ，即4，即由“1a ”能推出“直线30axy+=的倾斜角大于4”， 若“直线30axy+=的倾斜角大于4”，不妨令34=， 则3tan14a= =，则不能得到“1a ”， 即“1a ”是“直线30axy+=的倾斜角大于4”的充分而不必要条件， 3 / 19 故选 a. 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角、充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属基础题. 5.如图 1，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1 丈=10 尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（

5、 ）尺. a. 5.45 b. 4.55 c. 4.2 d. 5.8 【答案】b 【解析】 如图，已知10acab+=，3bc =，2229abacbc= ()()9abacabac+=，解得0.9abac= ， 100.9abacabac+=，解得5.454.55abac= . 折断后的竹干高为 4.55尺 故选 b 6.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值金字塔底部形为

6、正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约 230 米因年久风化，顶端剥落10 米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） a. 128.5 米 b. 132.5 米 c. 136.5 米 d. 110.5 米 【答案】c 【解析】 【分析】 4 / 19 设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则230 43.141592h= ，即230 4146.42 3.14159h=米， 则胡夫金字塔现高大约为 136.4 米故选 c 【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答

7、案属于常规题型 7.已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） a. 若/ /m，/ /n，则/mn b. 若/ /m，n，则/mn c. 若mn，m，则/ /n d. 若m，/ /n，则mn 【答案】d 【解析】 【分析】 利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项 a中直线m，n还可能相交或异面， 选项 b中m，n还可能异面， 选项 c，由条件可得/ /n或n 故选：d. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题. 8.函数( )()sinf xax=+（其中0a ，0，2）的图象

8、如图，则此函数表达式为（ ） a. ( )3sin 24f xx=+ b. ( )13sin24f xx=+ c. ( )3sin 24f xx= d. ( )13sin24f xx= 【答案】b 【解析】 5 / 19 【分析】 由图象的顶点坐标求出a，由周期求出，通过图象经过点3,02，求出，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3a =，534422t=，则2142=， 图中的点3,02应对应正弦曲线中的点( ,0)， 所以1322+=，解得4=， 故函数表达式为( )13sin24f xx=+ 故选：b. 【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生

9、的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题. 9.已知sin()cos()66+=，则cos2=( ) a. 1 b. 12 c. 0 d. 1 【答案】c 【解析】 【分析】 利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得tan1=，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果. 【详解】由sincos66+=， 可得1331coscos2222sinsin+=+ 3131costan12222sin=， 222222cossin1 tancos20cossin1tan=+，故选 c. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的

10、，6 / 19 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 10.已知2ab=，2a b= 若1cab=，则|c的取值范围是（ ） a 1 32 2， b. 1 52 2， c. 2 3， d. 1 3， 【答案】d 【解析】 【分析】 先由题意，求出2ab+=，再由向量的几何意义，可得11 +cab，进而可求出

11、结果. 【详解】因为2ab=，2a b= ，所以22224444+=+=+=ababa b， 即2ab+=， 当c与ab+同向时，()+cab最小；当 c与ab+反向时，cab最大， 又1cab=， 所以11 +cab，即13c. 故选：d 【点睛】本题主要考查求向量模的范围，熟记向量的数量积运算，以及向量的几何意义即可，属于常考题型. 11.正三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成60角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） a. 4 b. 16 c. 163 d. 323 【答案】d 【解析】 【分析】 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积 【详解】如图

12、，正三棱锥abcd中，m是底面bcd的中心，则am是正棱锥的高，abm是侧棱与底面所成的角，即abm60，由底面边长为 3 得23 3332bm =， 7 / 19 tan60333ambm= = 正三棱锥abcd外接球球心o必在am上，设球半径为r， 则由222boombm=+得222(3)( 3)rr=+，解得2r =， 3344322333vr= 故选：d 【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键 12.若关于x的不等式ln10 xxkxk+ 在()1,+内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（） a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 【答案】c 【解

13、析】 【分析】 根据题意即可得出函数(1)yxlnx x=的图象恒在直线(1)1yk x=的上方，当直线(1)1yk x=与函数(1)yxlnx x=相切时，可设切点为0(x，0)y，从而可以得出()000000111yx lnxyk xlnxk=+ =，联立三式即可得出01kx=，根据01x 即可得出0k ，再根据即可得出1k ，从而得出整数k的最大值为 2 【详解】关于x的不等式10 xlnxkxk+ 在(1,)+内恒成立， 即关于x的不等式(1)1xlnxk x在(1,)+内恒成立， 即函数(1)yxlnx x=的图象恒在直线(1)1yk x=的上方 当直线(1)1yk x=与函数(1)

14、yxlnx x=相切时，设切点为0(x，0)y， 8 / 19 则()000000111yx lnxyk xlnxk=+ =，由得，000(1)1x lnxk x=，把代入得00(1)(1)1x kk x=，化简得01xk=+由01x 得，0k 又由得011klnx=+ 即相切时整数2k 因此函数(1)yxlnx x=的图象恒在直线(1)1yk x=的上方时，整数k的最大值为 2 故选c 【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二二填填空题：本题共空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题

15、5 分，共分，共 20 分分. . 13.求值：331log 15log 252=_ 【答案】1 【解析】 【分析】 根据对数运算,化简即可得解. 【详解】由对数运算,化简可得 331log 15log 252 1233=log 15log 25 33=log 15log 5 3=log 3=1 故答案为:1 【点睛】本题考查了对数的基本运算,属于基础题. 14.若等比数列na的前n项和为ns,且37s =，663s =，则9s =_ 【答案】511 【解析】 由等比数列的性质可得：()()263396sssss= ， 即：()()2697763ss= ，解得：9511s = . 9 / 19

16、 15.函数( )2sin2 3cosf xxx=的图像可由4sinyx=的图像至少向右平移_个单位长度得到. 【答案】3 【解析】 【分析】 结合辅助角公式对目标函数进行变形得( )4sin3f xx=，从而可得到正确答案. 【详解】解：13( )2sin2 3cos4sincos4sin223f xxxxxx=， 所以4sinyx=的图像至少向右平移3个单位长度得到( )2sin2 3cosf xxx=. 故答案为: 3. 【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了三角函数图像的平移变换.本题的关键是对目标函数的解析式进行整理变形. 16.已知抛物线c：22(0)ypx p=的焦点为f，且

17、f到准线l的距离为 2，直线1l：50 xmy=与抛物线c交于p，q两点（点p在x轴上方），与准线l交于点r，若| 3qf =，则qrfprfss=_. 【答案】67 【解析】 【分析】 由f到准线l的距离为 2，可求出2p =，抛物线c：24yx=，(1,0)f，再利用| 3qf =，q点的坐标，即可求出直线1l，联立直线1l与抛物线则可求出p点的坐标，再利用=qrfprfsqrqfsprpf=，即可得出答案 【 详 解 】 因 为f到 准 线l的 距 离 为2 ， 所 以2p =， 抛 物 线c：24yx=，(1,0)f . 设11(,)p x y，22(,)q xy，因为| 3qf =，

18、即22+1=3=2xx 所以22 2y = ， 代入直线1l：522+2 2502 2mm= 10 / 19 所以直线1l为：52502 2xy= 由2252502(25)4 502 24xyyyyx= 所以124 5y y = ，所以124 510yy=，152x = ， 所以216712 1=5112qrfprfsqrqfxsprpfx+=+ 故填：67 【点睛】本题考查抛物线的定义及几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、方程思想，属于中档题 三三. .解答题：共解答题：共 70 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .第第 1

19、7 21 题题为必考题，每个为必考题，每个试题考生都必须作答试题考生都必须作答. .第第 2223 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 17.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年 100 为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5分成 9 组，11 / 19 制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的a的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数. 【答案】(1) 0.

20、3a =； (2)36000；（3）2.04. 【解析】 【分析】 本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（）问，由高 组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为 1，计算出 a 的值；第（）问，利用高 组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于 3 吨的频率，再利用频率 样本容量=频数，计算所求人数；第（）问，将前 5 组的频率之和与前 4 组的频率之和进行比较，得出 2x2.5，再估计月均用水量的中位数. 【详解】（）由频率分布直方图，可知：月均用水量在0,0.5）的频率为 0.08 0.5=0.04. 同理，在0.5,1），1.

21、5,2），2,2.5），3,3.5），3.5,4），4,4.5）等组的频率分别为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由 1（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5 a+0.5 a， 解得 a=0.30. （）由（）100 位居民月均用水量不低于 3吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计 30万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 000 0.12=36000. （）设中位数为 x吨. 12 / 19 因为前 5组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21+0.2

22、5=0.730.5， 而前 4 组的频率之和为 0.04+0.08+0.15+0.21=0.480.5 所以 2x2.5. 由 0.50 （x2）=0.50.48，解得 x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨. 【考点】频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第 n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础 18.在abc中，d是bc上的点，ad平分bac，sin2sincb=. （1）求bdcd； （2）若1adac=，

23、求bc的长 【答案】（1）2；（2）3 22. 【解析】 【分析】 （1）在abd和acd中运用正弦定理，进行求解即可 （2）由sin2sincb=，利用正弦定理可得22abac=，利用余弦定理求出cos,cosbadcad，结合badcad= ，建立方程进行求解即可 【详解】解：（1）由正弦定理可得在abd中，sinsinadbdbbad=， 在acd中，sinsinadcdccad=， 又因为badcad= ，sin2sinbdccdb=. （2）sin2sincb=，由正弦定理得22abac=， 设dcx=，则2bdx=，则222254coscos24abadbdxbadcadab ad

24、+=，2222222acadcdxac ad+=. 因为badcad= ， 13 / 19 所以2254242xx=，解得22x =. 3 232bcx=. . 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理建立方程是解决本题的关键 19.如图，在四棱锥pabcd中，平面pad 平面abcd，papd=，abad=，papd，adcd，60bad=，m，n分别为ad，pa的中点 （）证明：平面bmn平面pcd； （）若6ad =，求三棱锥pbmn的体积 【答案】（）证明见解析；（）9 34 【解析】 【分析】 第一问先证明bm平面pcd，mn平面pcd，再根据面面平行的判定定理证明

25、平面bmn平面pcd第二问利用等积法可得13p bmnb pmnpmnvvsbm=，分别求出pmn的面积和 bm 的长度即可解决问题 【详解】（）连接bd，abad=，60bad=，abd为正三角形. m为ad的中点，bmad. adcd，,cd bm 平面abcd，bmcd. 又bm 平面pcd，cd 平面pcd，bm平面pcd. m，n分别为ad，pa的中点，mnpd. 又mn 平面pcd，pd 平面pcd，mn平面pcd. 又,bm mn 平面bmn，bmmnm=， 14 / 19 平面bmn平面pcd. （）在（）中已证bmad. 平面pad 平面abcd，bm 平面abcd，bm 平

26、面pad. 又6ad =，60bad=，3 3bm =. 在pad中，papd=，papd，23 22papdad=. m，n分别为ad，pa的中点， pmn的面积()211193 24424pmnpadss=， 三棱锥pbmn的体积13p bmnb pmnpmnvvsbm=199 33 3344=. 【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题，属中等难度题 20.已知1,0a，动点c在b：()2218xy+=上运动.线段ac的中垂线与bc交于d. （1）求d点的轨迹e的方程； （2）设m、n、p三点均在曲线e上，且0omonop+=，（o为原点），求mn的

27、范围. 【答案】（1）2212xy+=；（2）3, 6 【解析】 【分析】 （1）根据中垂线性质得到2 2bddabc+=，判断为椭圆，代入数据得到答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，设:mn ykxm=+，联立方程得到2412pmkxk=+，15 / 19 2212pmyk=+，212211311 2mnkxxk=+=+计算得到答案. 【详解】（1）()2 2 2 2bddabddcbcab+=+= d点轨迹是以a、b为焦点椭圆. 22a =，21c =，21b=，2212xy+=. （2）当mn斜率存在时，设:mn ykxm=+ 2222xyykxm+=+ ()222124220k

28、xmkxm+=，令两根为1x，2x. 由0omonop+=. ()12241 2pmkxxxk= +=+，()()12122221 2pmyyyk xxmk= += +=+. 代入2212xy+=，() ()222228411 21 2m kmkk+=+，即22412mk= +. 故()()2228 126 120kmk =+=+. 2121mnkxx=+()2226 111 2kkk+=+，221612kk+=+，21311 2k=+(3, 6. 当mnx轴时，易求3mn =，mn范围是3, 6. 【点睛】本题考查了轨迹方程，弦长范围，其中忽略掉斜率不存在的情况是容易犯的错误，意在考查学生的

29、应用能力和计算能力. 21.已知函数2( )ln2af xxaxxxx= +，ra （1）讨论函数( )f x的导函数( )g x的单调性； （2）若函数( )f x在1x =处取得极大值，求 a的取值范围 16 / 19 【答案】（1）见解析；（2）(1,)+ 【解析】 【分析】 （1）先求出( )11(0)axgxaxxx=，再对 a 分类讨论求出函数( )g x的单调性；（2）由题得( )lnfxxaxa=+，再对 a 分类讨论，根据函数在 x=1 处取得极大值，求出 a 的取值范围. 【详解】（1）( )lnfxxaxa=+，( )lng xxaxa=+，( )11(0)axgxaxx

30、x=， 当0a时，( )0gx，函数( )g x在()0,+上单调递增； 当0a 时，若10,xa，则( )0gx；若1,xa+，则( )0gx， 函数( )g x在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减 综上所述，当0a时函数( )g x在()0,+上单调递增， 当0a 时，函数( )g x在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减 （2）( )10g=，( )10f = 由（1）知，当0a时，( )fx在()0,+上单调递增， 若()0,1x，则( )0fx；若()1,x+，则( )0fx， ( )f x在()1,+上单调递增，在()0,1上单调递减，( )f x在1x =处取得极小值；

31、不合题意； 当1a =时，( )fx在()0,1上单调递增，( )fx在()1,+上是单调递减，( )( )10fxf=， ( )f x在()0,+上单调递减( )f x无极值，不合题意； 当01a时，11a，由（1）知，( )fx在10,a上单调递增，( )10f =， 若()0,1x，则( )0fx；若11,xa，则( )0fx， ( )f x在11,a上单调递增，在()0,1上单调递减，( )f x在1x =处取得极小值，不合题意； 17 / 19 当1a 时，101a，由（1）知，( )fx在1,a+上单调递减，( )10f =， 若1,1xa，则( )0fx；若()1,x+，则( )0fx ( )f x在1,1a上单调递增，在()1,+上单调递减， ( )f x在1x =处取得极大值，符合题意 综上所述，a的取值范围是()1,+ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 22.在平面直角坐标系 xoy中，直线 l的参数方程为22212xtyt= +（t为参数），以原点 o 为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin=+. （1）求直线 l的普通方程和曲线 c 的直角坐标方程； （2）设 p（0，-1），直线 l与