高考数学一轮复习第4章 第3节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 (2)

1、1 / 11 三角恒等变换 考试要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin_cos_ cos_sin_； (2)cos( )cos_cos_sin_sin_； (3)tan( )tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22

2、sin cos ； (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2； (3)tan 22tan 1tan2. 提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中 的特殊情况 (2)二倍角是相对的，如2是4的 2倍，3 是32的 2 倍 3辅助角公式 asin bcos a2b2sin()其中sin ba2b2，cos aa2b2. 常用结论 1公式的常用变式 tan tan tan( )(1tan tan )； 2 / 11 sin 22sin cos sin2cos22tan 1tan2； cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2. 2降幂公式 sin2

3、1cos 22； cos21cos 22； sin cos 12sin 2. 3升幂公式 1cos 2cos22； 1cos 2sin22； 1sin sin 2cos 22； 1sin sin 2cos 22. 4半角正切公式 tan 2sin 1cos 1cos sin . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立( ) (2)公式 asin xbcos x a2b2sin(x)中 的取值与 a，b的值无关( ) (3)cos 2cos22112sin22.( ) (4)当 是第一象限角时，sin 21cos 2.( ) 答案

4、 (1) (2) (3) (4) 3 / 11 二、教材习题衍生 1已知 cos 35，是第三象限角，则 cos4 为( ) a210 b210 c7 210 d7 210 a cos 35， 是第三象限角， sin 1cos245. cos4 22(cos sin )22 3545 210.故选 a. 2(多选)若 tan 2xtanx45，则 tan x 的值可能为( ) a63 b62 c63 d62 bd 设 tan xt，因为 tan 2xtanx42t1t2t11t2t(t1)21t2t21t215， 所以 t232， 故 tan xt62.故选 bd. 3计算：sin 108 c

5、os 42 cos 72 sin 42 _. 12 原式sin(180 72 )cos 42 cos 72 sin 42 sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 sin(72 42 ) sin 30 12. 4 / 11 4若 tan 13，tan()12，则 tan _. 17 tan tan()tan()tan 1tan()tan 12131121317. 第 1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考点一 公式的直接应用 应用公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律 例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反” (2)注意与同角

6、三角函数基本关系、诱导公式的综合应用 (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用 典例 1 (1)(2020 全国卷)已知 (0，)，且 3cos 28cos 5，则sin ( ) a53 b23 c13 d59 (2)已知 ， 为锐角，tan 43，cos()55. 求 cos 2 的值； 求 tan()的值 (1)a 由 3cos 28cos 5，得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 23或 cos 2(舍去) 又(0，)，sin 0， sin 1cos2123253，故选 a. 5 / 11 (2)解 因为 tan 43， 所以 sin

7、43cos . 因为 sin2cos21，所以 cos2925， 因此 cos 22cos21725. 因为 ， 为锐角，所以 (0，). 又因为 cos()55，所以 sin() 1cos2()2 55， 因此 tan()2. 因为 tan 43，所以 tan 22tan 1tan2247， 因此，tan()tan2()tan 2tan()1tan 2tan()211. 跟进训练 1(2020 全国卷)已知 2tan tan 47，则 tan ( ) a2 b1 c1 d2 d 由已知得 2tan tan 11tan 7，得 tan 2. 2(2019 全国卷)已知 0，2，2sin 2co

8、s 21，则 sin ( ) a15 b55 c33 d2 55 b 由二倍角公式可知 4sin cos 2cos2. 0，2，cos 0， 2sin cos ，tan 12，sin 55.故选 b. 考点二 公式的逆用和变形 6 / 11 两角和、差及倍角公式的逆用和变形的技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 (2)公式的一些常用变形 sin sin cos()cos cos ； cos sin sin()sin cos ； 1 sin sin 2 cos 22； sin 22sin cos sin2cos22tan tan21； cos 2cos2sin2c

9、os2sin21tan21tan2； tan tan tan( )(1tan tan ) 公式的逆用 典例 21 (1)(2020 全国卷)已知 sin sin31，则 sin6( ) a12 b33 c23 d22 (2)化简sin 101 3tan 10_. (1)b (2)14 (1)由 sin sin31，得 sin sin cos 3cos sin 31， 整理得32sin 32cos 1， 即 332sin 12cos 1， 即 3sin61， sin633，故选 b. 7 / 11 (2)sin 101 3tan 10sin 10 cos 10cos 10 3sin 10 2si

10、n 10 cos 10412cos 10 32sin 10sin 204sin(30 10 )14. 点评：(1)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式 (2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题 公式的变形 典例 22 (1)若 0，则 (1sin cos )sin 2cos 222cos _. (2)化简 sin26sin26sin2的结果是_ (1)cos (2)12 (1)由 (0，)，得 022，

11、cos 20， 22cos 4cos222cos 2. 又(1sin cos )sin 2cos 2 2sin 2cos 22cos22 sin 2cos 2 2cos 2sin22cos222cos 2cos ， 故原式2cos 2cos 2cos 2cos . (2)原式1cos2321cos232sin2 8 / 11 112cos23cos23sin2 1cos 2 cos 3sin2 1cos 221cos 2212. 跟进训练 1设 acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 ，b22(sin 56 cos 56 )，c1tan2391tan239，则 a，b，c

12、的大小关系是( ) aabc bbac ccab dacb d 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得 acos 50 cos 127 cos 40 cos 37 cos 50 cos 127 sin 50 sin 127 cos(50 127 )cos(77 )cos 77 sin 13 ，b22(sin 56 cos 56 )22sin 56 22cos 56 sin(56 45 )sin 11 ，c1tan2391tan2391sin239cos2391sin239cos239cos239 sin239 cos 78 sin 12 .因为函数 ysin x，x0，2为增函数，所以 s

13、in 13 sin 12 sin 11 ，所以 acb.故选 d. 2(多选)(2020 徐州期中)在abc中，c120 ，tan atan b2 33，下列各式正确的是( ) aab2c btan(ab) 3 ctan atan b dcos b 3sin a cd 在abc中，c120 ，所以 ab60 ， 所以 tan(ab)tan atan b1tan atan b2 331tan atan b 3，解得 tan atan b13. 由于 tan atan b2 33，tan atan b13. 9 / 11 所以 tan a和 tan b为方程 x22 33x130的两个根， 所以

14、tan atan b33. 所以 cos b 3sin a. 故 ab错误，cd正确故选 cd. 考点三 利用“角的变换”求值 三角公式求值中变角的解题思路 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角” 典例 3 (1)已知 cosx613，则 cos xcosx3( ) a32 b 3 c12 d33 (2)若 0，2，且 sin613，则 cos3_. (3)已知 sin6 14，则 cos232 _. (1)d (2)2 616 (3)

15、78 (1)法一：cos xcosx3cosx66cosx66 2cosx6cos633，故选 d. 法二：cos xcosx3cos xcos xcos 3sin xsin 332sin x32cos x 332cos x12sin x 3cosx6 33，故选 d. 10 / 11 (2)由于角 为锐角，且 sin613， 则 cos62 23， 则 cos3cos66 cos6cos 6sin6sin 6 2 233213122 616. (3)cos3 cos26 sin6 14， cos232 2cos23 12142178. 点评：常见的配角技巧：2()()，()，22，22，222 等 跟进训练 1已知 sin4210，2， ， 则(1)cos _； (2)sin24_. (1)35 (2)17 250 (1)由 2， 知 434，54， cos41sin24121027 210， cos cos