三角函数图象和性质总结的很全面,不看后悔

1、角函数专题辅导课程安排项目内容课时安排专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路5课时专题辅导二三角函数的图像性质及解题思路12课时专题辅导三形如y = Asin（ax+毋）函数的基本性质及解题思路4课时专题辅导四综合训练6课时专题辅导五结业考察2课时专题辅导六数学函数学习方法及二轮复习方法探讨2课时制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时学习目标：1. 掌握常用公式的变换。2. 明确一般三角函数化简求值的思路。第一部分三角函数公式1、两角和与差的三角函数：cos(a + 3 )=cosa cos3 -sin a sin 3cos(a-3 )=cosa cos3 +si

2、n a sin 3sin(a± 3 )=sina cosi 3 ± cos a sin 3tan(a+ 3 )=(ta na +ta n3 )/(1-tana tan3 )tan(a-3 )=(ta na -ta n3 )/(1+ta na tan32、倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos a =2/(tana +cot a )cos(2 a )=(cos a )A2-(sina )A2=2(cosa )A2-1=1-2(sina )A2tan(2 a )=2tan a /(1-ta门人2a )cot(2 a )=(cotA2 a -1)/(2cot a )3

3、、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sin (a ± B)= sina co少 士 cos sinB sin/ = 2siz cos cos(a 士 B )=cosa cosP+si nsi n0 cos/ = cos « - si n2a2 2=2cos ： -1 = 1 - 2sin :=COS2j =1+cos2：21 cos2：tan2：4、同角三角函数的基本关系式：(1) 平方关系： si n2 二'cos2 ： =1,1 ta n2 ： - se£： ,1 cot2 二-esc2：(2) 倒数关系: sin 二 csc J =1,co

4、s 二 secx =1,tan tcott=1,si n： 丄 cos：(3) 商数关系：tan,cot ：COSsi na第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核 心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换.如，-(:;亠 l-：J - - - (: -)5 ， 2- (：£、)(: 一 2 1 -， 2 ， 2一）,21，tan( ) ，

5、那么544-110，且 cos( )=229R 490COS(二')/7291、2、已知tan（黒亠卩）兀tan(o +)的值是 III42sin( ) ，求23322如:5:33、已知:-,:为锐角，si n-x,cos2=y，cos（、； I-） ，则y与x的函数关系5111 y5cx(*x<1)1、2、三角函数名互化（切割化弦），如求值 sin50；（1 亠.,3tan10；）/1sin ： cos：，：、已知1,tan（：-）1 -cos2：2，求 tan(: -2 )的值III3（3）公式变形使用（tan：；二tan ： =tam.很一；1+ tatan ：。1、A、B

6、 为锐角，且满足 tan Ata nB =ta nA+ta nB+1，则 <s A B =ill 止2三角形2、ABC，tan A tan B . 3 - . 3 tan Atan B， sin Acos A = 3，4III等边 三角函数次数的降升（降幕公式：cos2 :1 cos2：公式:21 cos 2： = 2cos 二,1-cos2： = 2sin22:)。如.2,sin -匕竺空与升幕21、3若（二，一二），化简22、1 1-一cos2：为 2 2f( x) =5sin xcosx 5j3cos2 xJ3( x R)递增区间asin 2n5兀"八評Z）1、2、式子结

7、构的转化（对角、函数名、式子结构化同）。如sin 二 1 tan 二 tan=（cos 二一sin ：）cot a +csca1 tan2 ；?a1 -ta n21 sin :-求证：一2 a1 -2si n2 23、2cos4 x- 2cos2 x +1化简：2兀22ta门（玄-x）sinIIIJIx）1 cos2x2常值变换主要指“ 1”的变换（1二sin2x =tan 才=si n$ = | 等）。cos2 x2 2=sec x -tan x = tan x cotx如已知 tan： =2，求 sin :亠sin 芒 cos： -3cos :3（答: 3）51、正余弦"三兄妹

8、一sinx士cosx、sinxcosx”的内存联系 "知一求二”。如若 sinx士cosx=t，贝U sinxcosx = （答：-A）,2特别提醒：这里t -'、2宀2；2、若亡:"0,二）,sin 二 ' cos： =1求tan的值。4 + 77III33、2已知sin2: 2sin :=k （:4），试用k表示sin- cos的值iii d - k2（8）、辅助角公式中辅助角的确定：asinx bcosxa2 b2 sin *亠（其中门角所在的象限由a, b的符号确定，r角的值由tan n - b确定）在求最值、化简时起着重要作用。a如（1） 若方程s

9、i nx J3cosx = c有实数解，则c的取值范围是 . III 2,23（2） 当函数y=2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是III 2（3）如果 f x =sin x"厂 2cos（x，：:）是奇函数，则 tan ：: =III 2专题辅导二三角函数的图像性质及解题思路课时：10课时学习目标：1会求三角函数的定义域2会求三角函数的值域3会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法。如y二sinx与y二COSX的周期是二.4会判断三角函数奇偶性5会求三角函数单调区间6对y=Asin（x亠）（A0,门0）函数的要求（1）五点法作简图（2）会写 y 二 sin x 变为

10、y = Asin（，x 亠）（A0,u , 0）的步骤（3）会求y =AsinC，x ）的解析式（4）知道 y =Acos（x ）， y = Atan（，x ）的简单性质7知道三角函数图像的对称中心，对称轴8能解决以三角函数为模型的应用问题（一）、知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象的作图方法:五点法：先取横坐标分别为0,，二，归,2二的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来,2 2就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。3y=tanx丿y彳P丿一兀-匹厂2、正弦函数y =sin x(x ：二R)、余弦函数y = cosx(x ：= R)的

11、性质：(1) 定义域：都是Ro(2) 值域：都是1-1,11,对y二sinx，当x=2kqkZ时，y取最大值1；当3兀x=2kk 二Z 时，y取最小值一1 ；对y =cosx，当x = 2k二k Z 时，y取最大值1,当x = 2k二二k 时，y取最小值一1。女口一.31(1) 若函数y = a bsin(3x + )的最大值为一，最小值为一，则a=, b = _622 1a ,b=1 或 b _ -1)；2(2) 函数 f(x)=sin x + J3cosx (二=)的值域是 / -1,22 2(3) 若2a + B =兀，贝U y =cos B -6sin a的最大值和最小值分别是 、/7

12、 ,5(4) 函数 f (x)=2cosxsin(x+f) £in 2 x 十sin xcosx的最小值是 ,此时 x(答：2； k (k Z)；1211(5)己知 sin cos ，求 t 二 sin ： cos的变化范围 /0,22(6 ) sin2 工"2sin2 ： = 2cos：,求 y = s i n -八 s i n ：的最值 / ymax = 1 ,ymin =22-2 )特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质y = sin xy = cosxy = tan x定义域RR=iX|xER且x

13、 Hk兀牡兀kZ » I2值域-1户1-1,+1R周期性2兀2-31奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性-2+2k 兀,-+2i 2上为增函 数；匸+2k2竺+2kn2上为减函 数(k Z )(2k 1 X ,2 k兀;上为增函数25 ,(2 k +1 班 上为减函数(Z )£+恋+町上为增函数(炮)4、周期性：y =sin x , y =cosx的最小正周期都是 2 -；f (x) = Asin(X亠")和f (x) = Acos( x亠")的最 小正周 期都是2兀T =M如(1) 若 f(x) =si n ，则 f(1) + f (2) +f (3)卄 1

14、1+ f(2003) = III 1/23(2) 函数 f (x) =cos4 x 2sinxcosxsin4x 的最小正周期为 III 兀(3) 设函数f (x) = 2sinx)，若对任意x R都有f(xjm f(x)乞f (x2)成立，25则|xi -X2 |的最小值为III2 5、奇偶性与对称性：(1)正弦函数y二sinx(xR)是奇函数，对称中心是k ,0 k Z，对称轴是直线x =k k Z ；2 余弦函数y =cosx(xR)是偶函数，对称中心是f31)x轴的直线,k ,0 Z，对称轴是 I2丿'丿直线x=k二k Z ；(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

15、对称中心为图象与 x轴的交点)。女口(1)函数y = sin.i匹一2x |的奇偶性是 、(答：偶函数)；f( -5 二(答：-5);12 丿3(2)已知函数 f (xax bsin x 1(a,b 为常数)，且 f(5)=7,则(3)函数y =2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是k兀 兀k兀 兀(答：(- J)(k Z)、x二 (k Z);2828(4)已知f(x)二sin( x r ) 、3 cos( x)为偶函数，求r的值。2*WJI(答石(k.Z)6、单调性：k Z上单调递增，在调递减；y =cosx在2k二,2k二二丨k三Z上单调递减，在！2k二二，2k理宀2

16、 . k三Z上单调递 增。特别提醒，别忘了 k Z !7、三角形中的有关公式：(1) 内角和定理：三角形三角和为 兀，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和 与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余锐角三角 形:二 三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方VMWWAJWWMflMVWWW%IWWV_UWWlArwVWVMWWWhrwWWMWU!WWVMWWM%IUWUVMVW!WU_和大于第三边的平方(2) 正弦定理：-abC2R(R为三角形外接圆的半径).sin A sin B sin C注意：正弦定理的一些变式：i a：b：c=

17、s in A :si nB：si nC ；abcii si nA,si nB,si nC ； iii a = 2Rsi nA,b = 2Rsi nB,b = 2Rs inC ；2R2R2R已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：三角形的形状.2 2二 b c -2bccosA,cos A =b2c2 a22bc等，常选用余弦定理鉴定(4)面积公式：s = *aha = * absin= -2r (a b c)(其中r为三角形内切圆半径)如ABC 中，若 sin2 Acos2 B - cos2 Asin2 B = sin2 C，判断 ABC 的形

18、状(答：直角 三角形)。特别提醒:(1 )求解三角形中的问题时，一定要注意A B C -二这个特殊性：A + BCA B -二-C,sin(A - B )= sirC , sincos ； (2)求解三角形中含有边角混合关22系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) ABC中，A、B的对边分别是 a b，且A=60：, a =-G, b =4，那么满足条件的 ABC A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定(答：C);(2) 在 MBC中，A > B是sin Ansi nB成立的条件(答：充要)；(3) 在 MBC 中，(1 +tan A)( 1 +tan B )

19、= 2，贝U iog2 sinC =1(答：-一)；2(4) 在，ABC中，a , b分别是角 A、 B、 C 所对的边，若(a +b +c)(sin A +sin B sinC ) =3a sin B，则 NC =（答: 60 ）；a2 +b2 c2(5)在.;ABC中，若其面积S，则.C =4J3（答：30 ）；（6）在.ABC中，A=60：,b=1，这个三角形的面积为 ,3，则. ABC外接圆的直(答:返)；32 B C=一，2径是 1（7）在厶ABC 中，a、b、c是角 A、B、C 的对边，a . 3,cos A，则 cos32 2b c的最大值为（答:3易）；（8）在厶ABC中AB=

20、1 , BC=2，则角 C的取值范围是(答:小兀0：C ）；645 ).（9）设O是锐角三角形 ABC的外心，若.C =75，且 AOB BOC COA的面积 满足关系式 S aob S boc =、3s.coa，求.A （答： 8、反三角函数：（1） 反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在，一内（-1空a乞1）。IL 2 2（2）反正弦 arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取 值范围 分别是n Jin n,0,二,（,）.2 22 2在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜

21、角、h到l2的角、h与I?的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？TtTtrJT（0-,0-,0J，0,二，0,二）,0,：）,0,二.2 2 29、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标 准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若：，卩匸（0,二），且tan ：、tan :是方程x2 -5x 6 = 0的两根，则求二的值3兀（答：）;4（2） AABC 中，3sin A+4cos B = 6,4sin B+3cosA = 1，则 N C =算（答：一）;3（3）若 0 _ ： ： ： :： 2

22、二且 si n 士 ' sin ： sin =0, cos 土 " co cos =0 ,求二的值2- （答：）.3专题辅导三形如y = Asin（x ）函数的基本性质及解题思路课时：4课时学习目标：1掌握 形如y = Asin（，x ）函数的基本性质。2、知道解题方法。1几个物理量：A :振幅;f二丄频率（周期的倒数）T相位；初相;（一）、知识要点梳理2、函数y二Asin（x ）表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如f（x）二Asin（x）（A.0, I ：:|）的图象如图所示， 则215 兀f （x） = （答：f（x）=2sin（ x+）；23

23、3、函数y =AsinC 'X ）图象的画法：“五点法”一一设 X z：x ：'，令X = 0,n3兀一，二 2-求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：2 2这是作函数简图常用方法。4、函数y = Asin（X亠賦） k的图象与y =sin x图象间的关系：函数y = sin x的图象纵 坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移| ：: |个单位得y=sin的图象；1 函数y二s in x图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数©y二si nx：代*的图象；函数 y = sin图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数 y二As

24、in（x，）的图象；函数 y二Asin（x ）图象的横坐标不变， 纵坐标向上（knO）或向下（k0），得到y = Asin（x + ®）+k的图象。要特别注意，若由y =sin“x得到y = sinx亠仃的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，如©（1）函数y=2sin（2x） -1的图象经过怎样的变换才能得到y =sinx的图象？4（答：y =2sin（2x ）-1向上平移1个单位得y=2sin（2 x ）的图象，再向左平44n移一个单位得y二2sin 2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y二2sin x的图象，最后将8一 1纵坐标缩小到原来的 1即得y =sin x的图

25、象）；2x 笄x(2)要得到函数y=cos(二)的图象，只需把函数 y = sin的图象向平移 2 42个单位(答：左；丄);2(3) 将函数y =2sin(2x 一匚)1图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，、34、这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ;若不唯一，求出模最小的向量(答：存在但不唯一，模最小的向量a=(_,-1)；6(4) 若函数f (x ) = cosx+|sinx(x 10,2兀】)的图象与直线y = k有且仅有四个不同 的交点，贝U k的取值范围是(答:皿)附录一、三种基本变换规律：1. 平移变换规律(1) 水平平移：y= f(x+)的图象，可由y= f(x)的

26、图象向左( >0),或向右( v 0)平移|个单位得到。(2) 垂直平移：y= f(x)+b的图象，可由y= f(x)的图象向上(b> 0)或向下(bv 0)平移|b| 个单位得到。2. 对称变换规律(1) y=- f(x)与y= f(x)的图象关于x轴对称。(2) y= f(-x)与y= f(x)的图象关于y轴对称。1 ,-,(3) y= f(x)与y= f(x)的图象关于直线 y= x对称。-1(4) y= f ( x)与y = f(x)的图象关于直线 y = x对称。(5) y= f( x)与y= f(x)的图象关于原点对称3. 伸缩变换规律(1) 水平伸缩：y= f( 3X

27、)( 3> 0)的图象，可由y= f(x)的图象上每点的横坐标伸长(0<31V 1)或缩短(3> 1)到原来的倍(纵坐标不变)得到。(2) 垂直伸缩:y= Af(x)( A>0)的图象，可由y= f(x)的图象上每点的纵坐标伸长(A> 1)或缩短(0v Av 1)到原来的A倍(横坐标不变)得到。注：函数y= Asin( 3x+ )( A> 0, 3> 0)的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变 换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数y=Af( 3X+ ' ) ( A>0, 3> 0)也成立。例1:要得到函数y= sin(2x

28、 f)的图象，只需将函数y= sin2x的图象()3(A) 向左平移n个单位但)向右平移n个单位33(C)向左平移n个单位 (D)向右平移n个单位例3:如果直线I沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原 来的位置，那么直线I的斜率是()(A) -1(B) - 3(C) 3(D)3例4：设函数f(x) = 1 1 x2 (-1< x< 0)，则函数y= f -1(x)的图象是()(A)(B)例5:将y= 2x的图象()(A)先向左平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位 再作关于直线y= x对称的图象(B) 先向右平行移动1个单位(D)先向下平行移动1个单

29、位 ,可得到y= log 2( x+1)的图象。例6:函数y=tan(X -扌)在一个周期内的图象是()变换得到?sinxcosx+ 1的图象可由y= sinx的图象经过怎样的平移和伸缩5、研究函数y =Asi性质的方法：类比于研究y =s in x的性质，只需将y二Asi n(x中的 x 看成y二si n x中的x，但在求y = As in (xJ的单调区 间时，要特别注意 A和的符号，通过诱导公式先将 -化正。如函数sin( -2x -)的递减区间是(答:5兀k,k( k Z )；1212X 兀(2) y = log ! cos( + )的递减区间是 2343 3 二(答：6k ,6k(k

30、 Z);4 4(3) 设函数f(x)二Asin( x小)(A = 0,u ,0,)的图象关于直线x =r对223称，它的周期是二，贝U1A、f (x)的图象过点(0,)25 兀jtB、f (x)在区间I，上是减函数123C、f (x)的图象的一个对称中心是(,0)12D、f (x)的最大值是A(答：C);(4)对于函数f x =2sini2x 给出下列结论：I 3丿 图象关于原点成中心对称； 图象关于直线x 成轴对称；12 图象可由函数 y二2sin 2x的图像向左平移 一个单位得到；3 图像向左平移一个单位，即得到函数 y=2cos2x的图像。12其中正确结论是(答：)；(5)已知函数f(x

31、)=2sin()图象与直线y=1的交点中，距离最近两点间的距离为二，那么此函数的周期是3(答：)6、正切函数y =tanx的图象和性质：(1) 定义域：x|x ，k Z。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数2的定义域了吗？(2) 值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；(3) 周期性：是周期函数且周期是二，它与直线y二a的两个相邻交点之间的距离是一个周期二。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如y =sin2x,y=sin x的周期都是兀，但y =

32、 sinx兀 十兀1H+ cosx 的周期为一，而 y =| 2sin（3x-一）+ -|,y =| 2sin（3x）+2|, y =| tanx|的周 2 6 26期不变；（4） 奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,0 k. Z ,特别提醒：正（余）12丿切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与 x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5） 单调性：正切函数在开区间|二，; k二kZ内都是增函数。但 要注意在整个定义域上不具有单调性。专题辅导四综合训练课时：4课时学习目标：1掌握一些常见题型的解法。（三）例题讲解例1求函数y - -tan（2x-

33、）的定义域，周期和单调区间。4例 2 已知函数 f（x） =2sin（2x_）4（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域；（3）求函数的周期;（4）求函数的最值及相应的x值集合；（5）求函数的单调区间；（6）若x 0,，求f （x）的取值范围；4（7）求函数f （x）的对称轴与对称中心；（8）若 f（x ）为奇函数，-0,2 二），求；若 f （x ）为偶函数，： 0,2 二），求1 丫例3(1)将函数八护曲盲的图象向平移个单位得到函数象向y =*sin 2c的图象(只要求写出一个值)1兀兀兀 要得到y cos(2x - -)的图象，可以把函数 y二sin(x -石)cos(x -©

34、)的图 .个单位(只要求写出一个值).平移例4.设xR,函数f (x)二cos2( X0,0 ：: ：:)，已知f (x)的最小正周期为JITL1卓，且f ( ). (1)求和的值；(2)求的单调增区间.84例5.如下图，某地一天从 6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(3 x+ $ )+b(1) 求这段时间的最大温差(2) 写出这段曲线的函数解析式y温度/0c30 20 时间/h10xA y 二sin(x ) B6ity = sin (x )6A .有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值3.函数y=1+cosx的图象(A)关于x轴

35、对称(C) 关于原点对称(B)关于y轴对称(D) 关于直线x=对称2(四)练习题-、选择题TT1将函数y =sin .x . 0)的图象向左平移'个单位，平移后的图象如图所示，则平移后6的图象所对应函数的解析式是C. y =sin(2x §) D y = sin(2x §)sin x +a2.设a 0，对于函数f x(0 ： x ：二)，下列结论sin x正确的是7T 314. 已知函数f(x)=2sin x( >0)在区间/ 上的最小值是一2，贝U的最小值等于3 42 3A.B.C.2D.33 25. 设点P是函数f(x) =sinx的图象C的一个对称中心，

36、若点P到图象C的对称轴上的距A.2 nB.nC.JI26.已知a R，函数f (x)二 sin x -|a|,xR为奇函数,则 a =()(A) 0(B) 1(C)- 1(D )± 1离的最小值7，则f(x)的最小正周期是7为了得到函数y =2sin(°), x R的图像，只需把函数36D.y = 2sin x, x ：= R的图像上所有的占八、(A) 向左平移 二个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6(B) 向右平移二个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的6(C) 向左平移 二个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6(D)向右平移二个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6-倍(纵坐标不变)3丄倍(纵坐标不变)33倍(纵坐标不变)3倍(纵坐标不变)8.已知函数 f(x) (sin x cosx)-2 2sin x cosx，则f(x)的值域是（A）屮（B）严厂1(C)-1(D)19函数y A sin（x 3） |的最小正周期是（ 2n2A.B. nC.D. 4 n10.函数f x =tan I X盲的单调增区间为A.k二，k 1 i, k ZC.k二一，k Z4Pk Z11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是(A) “sin x -I 6丿(B) y =sin2x- I 6丿f兀)