2022年2022年北航数学分析期中考题-答案

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载北京航空航天高校第一学期期中工科数学分析i试卷班号学号姓名成果题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一 运算下面各题（满分40 分,每个题目5 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1) 运算极限lim1+ x sin x -12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x. 0ex-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： lim1+ x sin x -21 = limxsin x.（ 3 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

2、载x0ex-1x0 x2 1+ x sin x + 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1=（ 2 分）22) 求下面无穷小的阶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 +t a nx -1-s ixn x . . 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：1 + tan x -1-骣sin x = 1tan x + 1+ tan x +sin x 1-sin x（ 3 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin x .1+÷=桫.cosx ÷1+ tan x +1-sin x1骣1+

3、÷sin x.÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim.桫cos x= 2为 1 阶2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x. 0x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3) 假设 f= sincos xx0 <x <p 求 f ' x .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 ： f =sincos xx=ecosxlnsin x.2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'骣c o s2 x ÷精品学习资料精选学习资料 - - -

4、欢迎下载f ' =ec oxsl n xs i n=ex c o s .xl -n ss ii nnx l n s i nx+÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=s i nx骣-c o xs.桫÷c o s2 xs i xnl n sxi +n÷s i nx.3 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ì.x =4) 假设 í.桫t sin t 、dy求.s i nx ÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载. y =t cost .dx

5、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dydydx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:=dtdxdt2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=cost +t sin t3 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cost -t sint2- xn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5) 假设 f x = x+2x +3e、 求 f x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 :f n x =犏臌x+2x +3e- x n精品学习资料精选学习资

6、料 - - - 欢迎下载轾 202- xn 12'- x n- 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= cnx+ 2 x +3e+ cn x+ 2x +3e3 分 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载+ c2x2 +''2x + 3e- xn- 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= -1x2 +2x +3e- x +精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n- 1-1n2x +2e- x + -n- 21nn -1e- x2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n-

7、 x轾22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载= -1e犏臌x-2n -1 x + n-3n + 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6) 求f x =ln x 在 x =2 的 n 阶 taylor 绽开 、并写出 peano 余项 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:f x =ln x =ln 轾 x -2 + 2轾= ln 2 犏1+犏臌x -22臌2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=ln 2 + ln轾犏1 +犏臌轾x -22-n骣 -k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=ln 2 +ln 犏1+x2= ln 2 +-

8、1 k - 1 .x2÷+ ox -2 n3 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载臌犏2. k= 1桫.2÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7) 假设函数f x =ex 、 判定函数的凹凸性.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载''x''x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解f x = e =e4 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载凸函数1 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8) 已知ì.míf x = .xsin 1 、 x 10、 xm 为正整

9、数 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.0、x =0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求:m满意什么条件,函数在m满意什么条件,函数在x = 0 连续, x =0 可导 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解:m 31,函数在x =0 连续2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 32 ,函数在x =0 可导数3 分二证明下面问题（10 分）1 骣s ÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.÷假设 s >0、 x1 >0、 xn+ 1 =.xn +2桫、

10、xn ÷证明数列 xn 单调有界,且极限为s .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明 :1 数列单调递减有下界5 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载桫xn+ 1 =1 骣2.xn +s ÷÷蕹xn ÷xn+ 1s 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.xn+ 1 -xn =1 骣珑x+2 珑ns 鼢-x鼢x=1 骣s-n2桫xxn.1 骣s 2 .桫 ss ÷÷= 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载桫nn2 下面说明极限为s 5 分1

11、骣s ÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载桫÷limnxn+ 1 =b .2 .b÷=b 、 b =sb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三. 证明下面问题（10 分）1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假设数列 xn 满意证明1 5 分xn+ 1 -xn<n 、 用 cauchy 收敛定理证明 xn 2收敛 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载" p .n 、 xn + pxn.xn+ pxn+ p- 1 +xn+ p- 1 -xn+ p- 2+ . +

12、xn + 1 -xn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.11+ . +1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2n+ p- 12n+ p- 22n骣骣1p ÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载.1-.÷÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 骣 11鼢 骣1.桫2÷÷1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载=n 珑p- 1 +p- 2+ .+1鼢=n.÷.n- 1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2珑桫22鼢 桫2.1&#

13、247; 2.÷桫2÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 柯西定理写正确5 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载" e >轾 10 、$n =/ l n+2n>1、n "p.、nx 、x< e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载犏 l nn + pn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载臌犏 e四 .证明下面不等式10 分x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载e- x +sin x < 1+、 2x . 0、p .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明 : 1 下

14、面每个式子2 分、共 6 分x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x =1+-2e- x -sin x、 x .0、p 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f ' x =f '' x =22 分x + ex - 1+ ex +cosx、 x . sin x、 x .0、p 0、 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f '' x >0、 x .0、 p 、f ' 0 =0 因此f ' x >0、 x .0、 p 精品学习资料精选学习资料 - -

15、- 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32 分f 0 =0 、 f x =x21+-2e- x -sin x >0、 x .0、p 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载五. （ 10 分） 假设函数f x 和 g x在a、 b 存在二阶导数,并且g'' x 10 、且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f a =f b =g a =g b =0 ,证明下面问题:精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

16、 欢迎下载1）在 a、b 内 g x 10；f q''g.fq精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2） 在 a、b内至少存在一点在证明 :1 下面每个式子2 分、共 6 分q、 满意=g q'' q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用反证法证明 、假设$q .a、 b、 g q0 . 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载g a -g b -g q ='g q =g x1 a -''''g x2 b

17、-q =0 .q =0 .g x1''''g x2 0、 x1 .0、 x2 .a、 qq、b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'g x1 -g x2 =g x3 x1 -x2 =0 .g x3 0、 x3 . x1x2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载冲突 、结论得证 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2令 fx =f x g ' x-f ' x g x. 2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f ' x =f xg '&

18、#39; x-f '' xg x2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f a =fb = 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f ' q =f q g '' q -f '' q g q =01 分 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载六10 分 假设函数f x 在 0、1存在二阶导数 、 f0 =0、 f1 =1、 并f ' 0 =f ' 1 =0、 求解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载和证明下面问题.精品学习资料精选学习资料

19、- - - 欢迎下载1) 写出f x 在 x =0、 x =1的 lagrange 余项的 taylor 公式 ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2) 证明在 0、1 至少存在一点q . 0、1 满意fq 3 4.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载''证明1 下面每个式子2 分'1''2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x =f 0 +f0 x +2 fx1 x、 x1 介于 0、 x 之间 .精品学习资料精选学习资料 -

20、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x =f 1 +f ' 1x -1 +1 f '' xx -1) 、 x介于 x、1之间 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2'1''21''2 ü.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x =f 0 +f0 x +f 2x1 x=f 2x1 x.1y 2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x = 1+1 f '' x 2 x -1.2.t精

21、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 1f '' xx2 = 1+21 f ''2x1 x -2ü.1.2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 .1f '' x x21f '' x x -1.2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1122.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.1maxf '' x 、f '' x x2x -1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 11.t精品学习

22、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而x2 + x -21 在0、1区间上的最大值1、2 分2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11七（ 10 分）证明下面问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假设fx 定义在 a、 b 上 . 假如对 a、 b内任何收敛的点列 xn 都有limnf xn 存在 、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 在 a、 b 上一样连续 .证明 : 1 写出不一样连续定义3 分 假如 f 在 a、 b上不一样连续、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载$e >0、$

23、s 、t.a、 b 、 st.1 、fsft.e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0nnnn n n 0n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2) 写出下面3 分有界数列必存在收敛子列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 sn 、 tn . a、b、 就存在 snk 、 tnk . a、 b、 lim snlim tn= a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载kkkk3) 下面结论4 分构造 sn1 、 tn1 、.snk 、 tnk 、. = zn 数列收敛且极限为a 、 2 分 精品学习资料精选学习资料

24、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就有已知条件limnf zn 存在 、 因此limkf snk =limkf tnk 2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 1冲突 .n八（ 10 分）附加题下面两个题目任选其一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1) 假设函数f n x= 1-1-cos x、 证明下面问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1骣 p ÷精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a) 对于任意的自然数n、 方程f n x =在.0、÷中仅有一根 .精品学习资料精选学习资料 - -

25、- 欢迎下载骣 p ÷2.桫 2 ÷1p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b) 设 xn. .0、÷、 满意f xn =、 就 limnxn =.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明 : 1 5 分桫.2 ÷骣 p ÷2n2骣 p ÷1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f n 0 =1、fn .÷=0、由介值定理$xn. .0、÷、 fn xn . 3 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载'f n x = -.桫2n sin x1-n- 1cosx<.桫 22p骣桫2 ÷0、 x . .0、÷2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因此根唯独 .2) 5 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 于 f骣珑1n珑arccos桫n骣鼢鼢= 1-1-桫n1、 limnn骣.1n.f.arccos= 1-桫ne- 1 、 （2 分）精品学