第2节偏导数与高阶导数

1、 返回一一. .偏导数偏导数二二. .高阶偏导数高阶偏导数三三. .偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用8.28.2 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数目的要求目的要求: :一一. .理解多元函数的偏导数的概念理解多元函数的偏导数的概念二二. .熟练掌握求一阶和二阶偏导数的方法熟练掌握求一阶和二阶偏导数的方法重点：重点：一一. .一阶、二阶偏导数计算一阶、二阶偏导数计算三三. .熟练掌握偏导数在经济分析中的应用熟练掌握偏导数在经济分析中的应用二二. .偏导数的经济应用偏导数的经济应用 与一元函数类似，二元函数关于自变量的变与一元函数类似，二元函数关于自变量的变 数学上，人们将这种

2、变化率称之为数学上，人们将这种变化率称之为偏导数偏导数。第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数而对另一个自变量求变化率而对另一个自变量求变化率。我们可按实际需要，我们可按实际需要，把其中的一个自变量视为常数把其中的一个自变量视为常数情况下，二元函数的自变量都是情况下，二元函数的自变量都是彼此无关彼此无关的，的，化率仍然是一个十分重要的概念。由于在通常的化率仍然是一个十分重要的概念。由于在通常的所以所以，繁啦！烦 多元函数的偏导数是一元函数多元函数的偏导数是一元函数导数的推广导数的推广, ,其计算往往是借用一其计算往往是借用一元函数的导数计算公式和方法元函数的导数计算公式和方法, ,

3、但但实际计算往往较繁实际计算往往较繁. . 在推广中有一些东西将起在推广中有一些东西将起质质的的变化变化. .我们通常介绍二元函数的情我们通常介绍二元函数的情形形, , 所得结果可以推广到更高元的所得结果可以推广到更高元的函数中函数中, , 一般一般不会遇到不会遇到原则性问题原则性问题. .第二节 偏导数与高阶偏导数一一 、偏导数的定义及其计算、偏导数的定义及其计算在西方经济学中，柯布在西方经济学中，柯布- -道格拉斯生产函道格拉斯生产函,LcKQ 这里这里 为常数，为常数，, c 当劳动力投入不变时当劳动力投入不变时,产产量对资本投入的变化率为量对资本投入的变化率为dKdQ 当资本投入不变时

4、，产当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率量对劳动力投入的变化率dLdQ 该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，的条件下，Q表示产量表示产量.别表示投入的劳动力数量和资本数量，别表示投入的劳动力数量和资本数量，0, 0 KL分分数为数为引例引例LKc1 .KQ 1 LKc.LQ 对另一个变量的变化率对另一个变量的变化率. . 第二节 偏导数与高阶偏导数 （1 1）函数的偏改变量（偏增量）函数的偏改变量（偏增量） : 2中中空空间间 R函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处的偏增量为处的偏增量为: :及及000(,)(,)xz

5、f x yf xy 000(,)(,)yzf xyf xy1. 1. 二元函数的偏增量和全增量二元函数的偏增量和全增量 zx ),(),(0000yxfyxxf zy ),(),(0000yxfyyxf 第二节 偏导数与高阶偏导数OxyzD),(yxfz )0 ,(00yxQ0y),(000zyxP沿此曲线计沿此曲线计算的函数在算的函数在点点 P 处的增处的增量为偏增量量为偏增量zxx zx 第二节 偏导数与高阶偏导数（2 2） 函数的全改变量（全增量）函数的全改变量（全增量） : 2中中空空间间R或或函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处的全增量为处的全增量为: :00( ,)(,

6、)zf x yf xy z ),(),(0000yxfyyxxf 第二节 偏导数与高阶偏导数2. 2. 偏导数概念偏导数概念 设函数设函数 z = f (x, y) 在点在点(x0, y0)的某一邻域内的某一邻域内有定义有定义, ),(),(0000yxfyxxf xyxfyxxfx),(),(lim00000 则称此极限值为则称此极限值为z=f (x,y)在点在点(x0,y0)处对处对x的的,),(00yxxz 记为记为xxfxxfxfx)()(lim)(0000 一元函数导数一元函数导数如果极限存在如果极限存在,函数有增量函数有增量相应相应(1)定义定义当当y 固定在固定在y0 , 而而

7、x 在在x0 处有增量处有增量x时时, 偏导数偏导数.),(00yxxf ),(00yxfx),(00yxzx或或第二节 偏导数与高阶偏导数即即),(00yxfx类似地类似地, 函数函数z = f (x, y)在点在点(x0, y0)处对处对y的偏导数为的偏导数为),(00yxfy也可记为也可记为,00yyxxyz .),(),(lim00000yyxfyyxfy .),(00yxyf ),(00yxfy),(00yxzy或或变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数若函数),(yxf 在点),(00yx 处关于),(yxf在点处处),(00yx可偏导.),(),(lim00000 xyx

8、fyxxfx 2. 2. 偏导数概念偏导数概念在区域 D内的任一点若函数),(yxf内可偏导.处均可偏导 , 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, , zy ( , ) , f x yy , yz ( , ) , yfx y , zx ( , ) , f x yx , xz ( , ), xfx y 分别记作函数在区域上的偏导数.一般仍称为),(yxf在区域 D则称函数第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数的概念可以推广到偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数二元以上的多元函数.如函数如函数 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx),(zyxfx xzyxfzyxxf

9、x ),(),(lim0),(zyxfy yzyxfzyyxfy ),(),(lim0 0),(zyxfz zzyxfzzyxfz ),(),(lim0 0第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数 注意！偏导数的符号yzxz ,是一个整体记号,z 与yx ,的商.dxdy不能像一元函数那样将看成是yzxz , 全导数全导数)(xf dxxfdy)( 第二节 偏导数与高阶偏导数xyxfyxxfxzx ),(),(lim0可以看出可以看出: 定义定义xz 时时, 变量变量 y 是不变的是不变的, 实际上实际上,是对函数是对函数),(yxf, 将将 y 视为常数视为常数, 关于变量关于变量

10、 x 按按一元一元函数导数的定义函数导数的定义进行的：进行的：xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf 2.2.偏导数的计算偏导数的计算 求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数相应的一元函数的导数. 实质上是求实质上是求忘记了忘记了, 请赶快复习一下请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式如果一元函数的求导方法和公式2.2.偏导数的计算偏导数的计算 多元函数的偏导数的计算方法多元函数的偏导数的计算方法,没有任何没有任何技术性的新东西技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时, ,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看

11、成中的某一个看成变量变量, ,自变量均视为自变量均视为常数常数, , 的求导方法的求导方法进行计算即可进行计算即可 . .方法方法:其余的其余的 n1个个 然后然后按一元函数按一元函数2.2.偏导数的计算偏导数的计算 )( 1 aaxax ln)( aaaxx 将将 y 看成常数时看成常数时, , 将将 x 看成常数时看成常数时, , 解解是对幂函数求导是对幂函数求导. .是对指数函数求导是对指数函数求导. .例例1 求函数求函数 的偏导数的偏导数.)0( xxzyxz .1 yyxyz .ln xxy 2.2.偏导数的计算偏导数的计算 例例2 求函数求函数 的偏导数的偏导数.22eyxz 例

12、例2 求函数求函数 的偏导数的偏导数.22eyxz yz xz 解解xyxyx)(e2222 .e222yxx yyxyx)(e2222 .e222yxy 2.2.偏导数的计算偏导数的计算 例例3 求函数求函数 在点在点(1, 3) 处对处对x 和和 y 的偏导数的偏导数.222),(yxyxyxf 例例3 求函数求函数 在点在点(1, 3) 处处对对x 和和 y 的偏导数的偏导数.222),(yxyxyxf 解解),(yxfx),(yxfy将点将点(1,3)代入上式，得代入上式，得)3 , 1(xf, 96)3 ,(2 xxxf221), 1(yyyf 可得可得, 62)3 ,( xxfyy

13、f22), 1( 所以所以 , 8612)3 , 1( xf , 83212 )3 , 1( yf. 43212 . 4322)3 , 1( yf,22yx .22yx 在求在求定点处定点处的导数时，的导数时，先代入固定变量取值，先代入固定变量取值，然后再求导，可简化求导计算。然后再求导，可简化求导计算。2.2.偏导数的计算偏导数的计算 或或例例4 设设 ,arcsin)1()2(),(22yxyyxyxf 求求 ),1 , 2(xf解解)1 ,(xf),0(yf)1 , 2(xf所以所以二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算例例 求函数求函数 的偏导数的偏导数.)sin(32yxeuz

14、对对x求偏导数就是视求偏导数就是视y, z为常数，对为常数，对x求导数求导数xu yu zu 同理同理因为因为2)1 ,( xxxf2)2(2 xx,0 解解),cos(232yxxez ).1 , 0(yf)1 , 0(yf1), 0( yyyf18 yy. 8 ,)2(2 x,42y ),cos(3322yxeyz ).sin(32yxez 2.2.偏导数的计算偏导数的计算 .),()0 ,0(),(0)0 ,0(),(),(22的的偏偏导导数数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例5 5解解,)0 , 0(),(时时当当 yx.)()(22222yxxyy .)()(22222yxy

15、xx 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求),(yxfx22222)(2)(yxxxyyxy ),(yxfy22222)(2)(yxyxyyxx ,)0 , 0(),(时时当当 yx由偏导数定义可知：由偏导数定义可知：0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx xx 0lim00(0,)(0,0)(0,0)limyyfyffy yy 0lim022222()( , )(0,0)( , ),()0( , )(0,0)xy yxx yfx yxyx y 22222()( , )(0,0)( , ).()0( , )(0,0)yx xyx yfx yxyx y . 0 .0 故故)(22y

16、xxy 2.2.偏导数的计算偏导数的计算 小结小结二、多元函数的偏导数的概念与计算二、多元函数的偏导数的概念与计算 , zx .yz 一、多元函数的连续性一、多元函数的连续性),(),(lim00,00yxfyxfyyxx . 0lim00 zyxP52 3. 确定并画出下列函数的定义域确定并画出下列函数的定义域:;)2(yxz 解解 yxyx00函数的定义域为函数的定义域为. , 0, 0),(2yxyxyxD 要使函数有意义须满足要使函数有意义须满足作业讲评:Oxy .arccos)4(22yxzu Solution. 012222yxyxz 022222yxyxz所求定义域为所求定义域为

17、.0,| ),(22222 yxyxzzyxD作业讲评:.)(lim)4( 22)0,0(),(xyyxyx Solution. )ln(2)ln(0222222yxyxyxxy ttttyxln2lim022 ttlnlimt2 20 0 02lim0 tt. 0)ln(lim22 yxxyyxP58 1. 求下列极限求下列极限 xyyxyx)(lim 22)0,0(),( )ln()0,0(),(22lim yxxyyxe )ln(2lim 2222)0 , 0(),(yxyxyx 由夹逼准则由夹逼准则 即即 xyyxyx)(lim 22)0 , 0(),( )ln()0 , 0(),(2

18、2lim yxxyyxe 0 00 00 0elim ),() y , x( . 1 1 P59.4.P59.4.讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性解解),(lim0yxfkxyx ,0)sin(),()3(22 yxxyyxf),0 , 0(22 yx),0 , 0(22 yx22220)sin(limxkxkxkxyx 2220)1 ()sin(limxkkxkxyx 21 kk .)0 ,0(),(以以外外的的点点均均连连续续在在除除所所以以函函数数yxf,)0 , 0(22时时当当 yx.,),(故故连连续续为为初初等等函函数数yxf,)0 , 0(22时时当当 yx.),(li

19、m00不不存存在在yxfyx 复习二、多元函数的偏导数的概念与计算 , zx .yz 一、多元函数的连续性),(),(lim00,00yxfyxfyyxx . 0lim00 zyx 二元初等函数在其定义区域内处处连续二元初等函数在其定义区域内处处连续.3.3.二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义 当当 y = y0时时, 曲面曲面z = f (x, y)与平面与平面 y = y0 的交线方程的交线方程为为, ),(0 yyyxfz在点在点 M0(x0, y0, z0) 处处由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意义知 ：fx (x0, y0) 几何意义几何意义是是 ),(0

20、yyyxfz对对x 轴的切线斜率轴的切线斜率. zxy),(00yx ),(0yyyxfz .tan),(00 yxfx同理同理.tan),(00 yxfy二元函数二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面的图形表示空间一张曲面.曲线曲线即即fx (x0, y0), 第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数4.4.偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？对于二元函数偏导数与连续的关系如何？连续连续.)0, 0(0, 00,),(222222关关系系点点的的偏偏导导数数与与连连续续性性的的在在讨讨论论函函数数 yxyxyxxyyxf解解)

21、0 , 0(xfxx 00lim0一元函数可导与连续的关系：一元函数可导与连续的关系：可导可导由偏导数定义由偏导数定义xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 . 0 )0 , 0(yf. 000lim0 yyyfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 例例第二节第二节 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数所以，函数在所以，函数在(0, 0) 处对变量处对变量 x，y 的偏导数存在的偏导数存在.让让 沿直线沿直线 而趋于（而趋于（0,0），），),(yx)0( kkxy220limyxxykxyx 它将随它将随k k的不同而具有不同的值，的不同而具有不同的值，2200limyxxyyx

22、 结论：结论：二元函数偏导数存在二元函数偏导数存在, ,但未必连续但未必连续. .则有则有)1(lim2220kxkxx 所以函数在所以函数在(0,0)处不连续处不连续.不存在不存在.因此极限因此极限21kk 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求4.4.偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 例例 说明二元函数说明二元函数 ，在点，在点(0,0)处是连续的处是连续的, 但在但在(0,0)点偏导数不存在点偏导数不存在.22),(yxyxf 解解),0 , 0(lim2200fyxxy 所以，函数所以，函数 在点处在点处(0,0)连续连续.22),(yxyxf 又因为又因为xxx00)(lim22

23、0 极限不存在，极限不存在，因为因为,lim0 xxx ),(00yxfx所以偏导数不存在所以偏导数不存在. 结论：结论：二元函数二元函数连续连续, ,但但偏导数偏导数未必未必存在存在. .4.4.偏导数与连续的关系偏导数与连续的关系 对多元函数来说对多元函数来说, ,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系. .这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续， 可见，多元函数的理论除了与一元函数的理可见，多元函数的理论除了与一元

24、函数的理论有许多论有许多类似类似之处，也是还有一些之处，也是还有一些本质本质的差别。的差别。二、高阶偏导数 xzx 设函数设函数 z = f (x, y) 在区域在区域 D内有偏导函数内有偏导函数 与与 ),(yxfx),(yxfy yzy xzy yzx有下列有下列四个二阶偏导数四个二阶偏导数按求导顺序不同按求导顺序不同, 偏导数偏导数. 则称其偏导数为二阶则称其偏导数为二阶且其偏导数仍存在且其偏导数仍存在, 22xz ),(yxzxx );,(yxfxx 22yz ),(yxzyy );,(yxfyy yxz 2),(yxzxy ),(yxfxy xyz 2),(yxzyx ),(yxfy

25、x ),( 混混合合偏偏导导).( 混混合合偏偏导导 一个多元一个多元函数的函数的 n 1 阶偏导数的偏导数阶偏导数的偏导数, 例例1 求求 的二阶偏导数的二阶偏导数.3233),(yxyxyxf ),(yxfxx),(yxfy,6332xyyx 解解),( yxfyy),(yxfxy),(yxfyx高阶偏导数的求导原则是高阶偏导数的求导原则是逐阶求导逐阶求导.二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数.同样可定义三阶、四阶以至同样可定义三阶、四阶以至 n 阶偏导数阶偏导数.n阶偏导数阶偏导数. 称为原来函数的称为原来函数的),( yxfx2239yxx ,663

26、yxy ,18322xyx ,182yx .18322xyx 1、先求一阶偏导数、先求一阶偏导数 2、再求二阶偏导数、再求二阶偏导数,zzxy称为称为一阶偏导数一阶偏导数 （低阶偏导数低阶偏导数）.二、高阶偏导数解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx二、高阶偏导数原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶

27、混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：二、高阶偏导数解解例例3 求求 的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数.xxyyeez xz yz yxz 2xyz 2 此例中两个二阶混合偏导数相等此例中两个二阶混合偏导数相等. 如果函数如果函数z =f (x, y)在开区域在开区域 D上二阶混合偏导数上二阶混合偏导数连续连续, .22xyzyxz ,xxyyeye ,xxyexe ,xxyxyexyee .xxyxyexyee 在什么条件下在什么条件下两个混合偏导数相等？两个混合偏导数相等？ 两个混合偏导数也未必一定相等两个混合偏导数也未必一定相等,数运算的次序不同，数运算的次序不同，但是由于求偏导但

28、是由于求偏导定理定理则在该区域上任一点处必有则在该区域上任一点处必有 即：二阶混合偏导数在即：二阶混合偏导数在连续连续的条件下与求导的的条件下与求导的次序次序无关无关,这给混合偏导数的计算带来了方便这给混合偏导数的计算带来了方便.二、高阶偏导数问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？解解322( ,)(0,0)( ,)0( ,)(0,0)x yx yf x yxyx y 例例4 4求求xx 0lim0.0 )0 ,0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0).0 , 0(),0 , 0(yxxyff时时，当当)0 , 0(),( yx),(yxfx2223222)(2)(

29、3yxxyxyxyx 222324)(3yxyxyx ),(yxfy2223223)(2)(yxyyxyxx 222235)(yxyxx yy 0lim0.0 )0 ,0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？.1 )0 ,0(xyfyfyfxxy )0 , 0(), 0(lim0).0 , 0()0 , 0(yxxyff 显然显然).0 ,0(),0 ,0(yxxyff),0(yfx,0 )0 ,( xfy,x yy 0lim0.0 )0 ,0(yxfxfxfyyx )0 , 0()0 ,(lim0 xxx 0lim 0,)(3),(222324yxyxyxyxfx),0 , 0(),( yx),0 ,