2011年四川高考数学—理科(答案及解析)

1、绝密启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷 ) 数学(理工类 ) 本试卷分第一部分 (选择题 )和第二部分 (非选择题 )。第一部分 1 至 2 页，第二部分 3 至 4 页，共 4 页考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分 150 分，考试时间 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 参考公式：如果事件 a、b 互斥，那么球的表面积公式p(a+b) =p(a)+p(b) 24sr如果事件 a、b 相互独立，那么其中 r 表示球的半径p(a b)=p(a) p(b) 球的体积公式如果事件 a 在一次试验中发生的概率是p，那么243vr在 n

2、 次独立重复试验中事件a 恰好发生 k 次的概率其中 r 表示球的半径n( )(1)(0,1,2,. )kkn knp kc ppkn第一部分（选择题共 60 分）注意事项：1.选择题必须使用2b 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。2.本部分共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、有一个容量为66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5 ，15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5，235) 9 23.5,27.5) 18 27.5 ，31.5

3、) 1l 31.5，35.5) 12 35.539.5) 7 39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在31.5 ，43.5) 的概率约是 (a)16 (b)13 (c)12（d）23答案： b 解析：从31.5到43.5共有 22，所以221663p。2、复数1ii= (a)2i（b）12i（c）0 （d）2i答案： a 解析：12iiiii3、1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (a)12ll，23ll13ll（b）12ll，23ll13ll (c)233lll1l，2l，3l共面（d）1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面答案： b 解析： a 答

4、案还有异面或者相交，c、d 不一定4、如图，正六边形abcdef 中，bacdef= (a)0 (b)be (c)ad (d)cf答案 d 解析：bacdefbaafefbfefceefcf5、5 函数，( )f x在点0 xx处有定义是( )f x在点0 xx处连续的 (a) 充分而不必要的条件 (b)必要而不充分的条件 (c)充要条件 (d)既不充分也不必要的条件答案： b 解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。6. 在abc中222sinsinsinsinsinbcbc. 则 a的取值范围是 (a)(0，6 (b) 6，) (c)(0，3 (d) 3，) 答案： c 解析：由题意正弦定

5、理22222222211cos023bcaabcbcbcabcaabc7已知( )f x是 r 上的奇函数，且当0 x时，1( )( )12xf x，则( )f x的反函数的图像大致是答案： a 解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。当10,0( )1,122xxy，故选 a 8.数列na的首项为3，nb为等差数列且1(*)nnnbaann.若则32b，1012b，则8a（a）0 （b）3 （c） 8 （d）11 b 解析：由已知知128,28,nnnbnaan由叠加法21328781()()()642024603aaaaaaaa9.某运输公司有12

6、名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往a地至少72 吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2 名工人，运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350 元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（a）4650 元（ b）4700 元（c） 4900 元（d）5000 元答案： c 解析：由题意设派甲，乙,x y辆，则利润450350zxy，得约束条件08071210672219xyxyxyxy画出可行域在12219xyxy的点75xy代入目标函数4900z

7、10.在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x，22x的两点，过这两点引一条割线， 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为（a）( 2,9)（b）(0,5)（c）(2,9)（ d）(1, 6)答案： a 解析：由已知的割线的坐标( 4,114 ),(2,21),2aaka,设直线方程为(2)yaxb，则223651(2)ba又2564( 2, 9)(2)yxaxbayaxb11. 已 知 定 义 在0,上 的 函 数( )f x满 足()3(2 )fxfx， 当0 , 2x时 ，2()2fxxx.设( )f x在22,2nn上的最大值为(*)n

8、ann，且na的前n项和为ns，则limnns（a）3 （b）52（c）2 （d）32答案： d解析：由题意1(2)( )3f xf x,在22,2 nn上，2111 ( )111331, ( )1,2,( ),3,( )( )( )lim1333213nnnnnnf xnf xnf xass12.在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量( , )a b.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m，则mn（a）415（b）13（c）25（d）23答案： d 基本事件：

9、26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1 ),(4,5),(4,3),3 515nc由其中面积为1的平行四边 形 的 个 数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其 中 面 积 为2的 平 行 四 边 形 的 个 数 为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其8的平行

10、四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1)二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分. 13.计算121(lglg 25)100=4. 答案：20解析：12111(lglg 25)100lg2041001014.双曲线22xy=1p46436上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点p 到左准线的距离是. 答案：565解析：8,6,10abc，点p显然在双曲线右支上，点p到左焦点的距离为14，所以1455645cdda15.如图， 半径为 r 的球 o 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是. 答案：22 r解析

11、：22222max224()srrrrrrs侧侧时，22222222rrrrrrr，则222422rrr16.函数fx（ ）的定义域为a，若1212xxafx =fx，且 （ ） （）时总有12x =xfx，则称 （ ）为单函数 .例如，函数fx（ ）=2x+1 （xr）是单函数 .下列命题：函数fx（ ）=2x（xr）是单函数；若fx（ ）为单函数，121212xxaxxfxfx，且，则 （）（）；若 f：ab 为单函数，则对于任意bb，它至多有一个原象；函数 f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数. 其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）答案：解析：错，12xx，正确。三、

12、解答题17、已知函数73( )sin()cos(),44f xxxxr(1)求( )f x的最小正周期和最小值；（2）已知44cos(),cos(),(0)552a，求证：2()20f解析：7733( )sincoscos sincos cossinsin44442 sin2 cos2sin()4f xxxxxxxxmax2 ,( )2tf x（2）4cos()coscossinsin(1)54cos()coscossinsin(2)5coscos00cos0222()2( )20ff18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费

13、，超过两小时的收费标准为2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。 各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 1,4 2；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1 1,2 4；两人租车时间都不会超过四小时。（）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望e；解析：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付 0 元为11 114 28p，付 2 元为21 112 48p，付4 元为31 114 416p则所付费用相同的概率为123516pppp(2)设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,

14、6,81(0)81 11 15(2)4 42 2161 11 11 15(4)4 42 42 4161 11 13(6)4 42 4161 11(8)4 416ppppp分布列02468p185165163161165591784822e19 ( 本小题共l2 分) 如图，在直三棱柱ab-a1b1c1中 bac=90， ab=ac=aa1 =1 d是棱 cc1上的一p是 ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面 bda (i) 求证： cd=c1d：(ii)求二面角 a-a1d-b的平面角的余弦值；( ) 求点 c到平面 b1dp的距离解析：（1）连接1b a交1ba于o,1/b p

15、1面bda,111,b pab pab pdod1面面面ba1/b pod,又o为1b a的中点，d为ap中点，1c1为ap,1acdpc d1c dcd,d 为1cc的中点。（2）由题意11,abac abaaabcc1面aa,过 b 作ahad,连接bh，则bhad,ahb为 二面 角1aadb的 平面 角。 在1aad中，11551,22aaada d,则2 52 53 525,cos5533 55ahahbhahbbh(3)因为11c b pdb pcdvv，所以1111133b pdpcdh sa bs,111ab11111244pcdpc cpc dsss, 在1b dp中，111

16、1955352 5544,5,.cos,sin32255252bdbppddbpdbp，1135315,22543b pdsh20 ( 本小题共12 分)设d为非零实数，12211*1(2(1)()nnnnnnnnnac dc dncdnc dnnn(1) 写出123,a aa并判断na是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；(ii)设*()nnbndann，求数列nb的前 n 项和ns解析： （1）1223(1)(1)adad dad d012231111(1)(1)1nnnnnnnnnnnnac dc dc dcdddaddada因为d为常数，所以na是以d为首项，1d为公比的等

17、比数列。（2）212021222120121(1)(1)2(1)3(1)(1)(1)2(1)3(1)(1)(1)nnnnnbnddsddddddnddddddnd2123(1)(1)2(1)3(1)(1) (2)nnd sddddnd（2）（1）2221 (1 (1) )(1)()(1)1(1)nnnnddsdd nddd nddd1(1)(1)nnsdnd21 ( 本小题共l2 分) 椭圆有两顶点a(-1 ，0) 、b(1，0)，过其焦点f(0，1) 的直线 l 与椭圆交于c、d两点，并与 x 轴交于点p直线 ac与直线 bd交于点 q (i)当|cd | =322时，求直线l 的方程； (

18、ii)当点 p异于 a、 b两点时，求证：op oq为定值。解析：由已知可得椭圆方程为2212yx，设l的方程为1(0),yk xk为l的斜率。则1212222222212122242122(2)2101221222kykxyyxxkkkxkxykxx xy ykk2422221212222288889()()22(2)(2)2kkkxxyykkkkl的方程为21yx22 ( 本小题共l4 分) 已知函数21( ), ( )32f xxh xx (i)设函数( )( )( )f xf xh x，求( )f x的单调区间与极值；( ) 设ar，解关于x的方程42233log (1)log()log (4)24f xh axx( ) 试比较1001(100) (100)( )kfhh k与16的大小 . 22、解析：（1）21( )32f xxx，1221( )