复变函数教学资料41PPT学习教案

1、会计学1复变函数教学资料复变函数教学资料41 很显然，通过某一枪的命中情况比较二人命中率是不合适的，比较容易理解的是通过二人各自命中环数的平均值来比较。,7.810481059101101098989981089（环）对于甲选手，命中环数的平均值为对于乙选手，命中环数的平均值为第1页/共38页.8 . 81016101710181039104101010981091010976（环） 从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更高些。 如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较两随机变量平均值的大小。第2页/共38页Xkp1 2 31254131例例1 1 设某离散型

2、随机变量 的分布列为X如果对随机变量连续进行 次取值，问这 个值的平均值应是多少？（假设 相当大）NNN 由于 是随机取值的， 个值分别是多少无法确定，但由分布列的定义，从理解解NX第3页/共38页NNNNX3125241131.12253125241131可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均。论上讲 次取之中有 次取到1， 次取到2, 次取到3，从而所求平均值应为：3N4NN125N第4页/共38页Xkp kxxx21 kppp21kkkpxXE1如果级数 绝对收敛，即 kkkpx 1kkkpx 1期望或均值，记为 ，即XE收敛，则和 为随机变量 的数学kkkpx 1X定义定义

3、1 1 设离散型随机变量 的分布列为X第5页/共38页 通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水平。下面我们举例来说明。如果级数 不绝对收敛，即kkkpx 1kkkpx 1 不收敛，则称随机变量 的数学期望不存在。X例例2 2 对服从（01）分布的随机变量 ，其分布列为：X第6页/共38页由数学期望定义解解例例3 3 设 ，求 . .pnBX, XE已知二项分布的分布列为解解nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,1 。pXPpXP10,1 .0110011pppXPXPXE求 的数学期望.X第7页/共38页 ,100knkknnknkppCkkXPkXEnkkn

4、kknppCnp1111,1npppnpn11已知泊松分布列为：解解则 的数学期望为X例例4 4 设 服从参数为 的泊松分布,求 XEX第8页/共38页 , 2 , 1 , 0,!kekkXPk从而 ekkkXPkXEkkk00! , 2 , 1k对应的概率为,kkxXP21例例5 5 设随机变量 取值为 kxkkk21X求 的数学期望. .Xeekekk11!1第9页/共38页 例例6 6 某种奖券销售单位为提高大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值 1 元，每 500 万张设若干奖项如下： 但 是发散的，所以随机变量X 的数学期望不存在。111kkkkkxXPx, 2ln11

5、1kkk无穷级数解解 kkkkkkkkxXPx212111第10页/共38页奖 项个 数奖品价值（元）特等一等二等三等纪念1101001000100001500500703.5试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？第11页/共38页X 1500 500 70 3 0.5 07234561022222110511051105110511051 kp 456105170105150010511500 XE010515 . 01051323 设某购买者得到的奖金数为 ， 则 为一随机变量，其分布列为 解解XX从而 的数学期望为X第12页/共38页 元元0043. 0)100005 . 01000310

6、070105001500(10516 即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的.4.1.2 4.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 定义定义2 2 设 为连续型随机变量，概率密度X第13页/共38页 dxxxfxE 反之，如果积分 发散，则 dxxfx为 ，如果积分 绝对收敛，即 xf dxxxf记为 。即XE的值为连续型随机变量 的数学期望或均值，X称随机变量 的数学期望不存在。X dxxxf dxxfx 收敛，则称积分 第14页/共38页 ,0,1abxfbax,其它.，从而 badxabxdxxxfxEab211例例7 7 设 服

7、从 区间上的均匀分布，求 的数学期望。ba,XX已知 的概率密度为解解X正好是 区间的中点。ba,第15页/共38页 0 xexf , 0, 0, xx ,0 从而 dxexdxxxfXEx0已知 的概率密度为解解.100dxedexxx 例例8 8 设 服从参数为 的指数分布，求 的数学期望。XXX第16页/共38页 例例9 9 对服从正态分布 的随机变量 ,求其数学期望.2,N则所求数学期望为: ,2222dxexdxxfxXEx已知 的概率密度为解解 2221,2xfxex XX第17页/共38页作变换 ，得到xtdte tdteXEtt222222022 即正态分布 的第一个参数 就是

8、随机变量 的均值。2,N X第18页/共38页4.1.3 4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望1 1、离散型随机变量函数的数学期望、离散型随机变量函数的数学期望, 2 , 1)( kpxXPkkkkkpxg1 如果级数 收敛，则 ,xgY 为连续函数g定理定理1 1 设离散型随机变量 的分布列为X第19页/共38页 kkkpxgXgEYE1X -1 0 2 341834181kP试计算： 和 .12,2XEXEXE例例10 10 设离散型随机变量 的分布列为X特别的，离散型随机变量 只取有限值，则 的数学期望一定存在。 XgX第20页/共38页 ;8114138324108

9、11 XE ;83141383241081122222 XE 41583341181312 XE.47 由数学期望的定义得解解第21页/共38页, 0,2 , 1 , 0,!kekkXPk从而 ekkXEYEkk!022ekkkk!11 例例11 11 设 服从参数为 的泊松分布，试计算 的数学期望. 2XY X已知 的分布列为：解解X第22页/共38页 11!111kkkke 1111!1!11kkkkkkke 2112!1!2kkkkkke eee 2第23页/共38页2.2.连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望 果 收敛，则 dxxfxg .dxxfxgXgEYE定理

10、定理2 2 设连续型随机变量 的概率密度为X,),(XgYxf g 为连续函数，如第24页/共38页 其它。，,02,0,21xxf例例12 12 已知 服从 上的均匀分布，计算 的数学期望。2 , 0XYsinX已知 的概率密度为解解X第25页/共38页则所求 的数学期望为：XYsin dxxfxXEYEsinsin. 021sin20dxx3.3.二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望定理定理3 3 （1 1） 如果 是二维离散型随机变YX,yxg,是关于 和 的二元连续函数，xy, 2 , 1, jipyYxXPijji量，其分布列为第26页/共38页 ;,1,ijjiji

11、pyxgYXgEZE则YXgZ,ijjijipyxg1,绝对收敛，若的数学期望为则 的数学期望为:YXgZ, dxdyyxfyxg ,绝对收敛，续函数，若（2 2）如果 是二维连续型随机变量，概率YX ,密度为 , 是关于 和 的二元连yxf,yxg,xy第27页/共38页 .,dxdyyxfyxgYXgEZE 例例13 13 设随机变量 的概率密度为 YX ,试计算 和 . XEXYE., 0120 , 10,6,其他，xyxxyyxf由定义，解解.,dxdyyxxfXE 第28页/共38页dxydyxx 1012026dxxxx10432212.52.,dxdyyxxyfXYE dxdyy

12、xx 10120226dxxxxx1054323316.154第29页/共38页4.1.44.1.4、数学期望的性质、数学期望的性质数，且 都存在，则数学期望有以 YEXE, ;) 1 (CCE ;)2(XECCXE ;)3(YEXEYXE 如果 是两个随机变量， 为任意常,X Yc如果 与 相互独立，则)4(XY下四条常见的性质。第30页/共38页 .YEXEXYE证明证明 数学期望的四条性质中，前两条比较直观，容易理解和证明，我们只证明第（3）和第（4）条 。（3 3） 设 是离散型随机变量，分布列为 YX , 2 , 1, jipyYxXPijii则由数学期望的定义，第31页/共38页i

13、jjijijjiipypx1,1, .YEXE如果 为连续型随机变量，类似可以证明。 YX ,1ijiji jEXYxyp（4 4） 设 是连续型随机变量，概率密度为 ，则由 的独立性可得 YX ,yxf,X Y第32页/共38页 .,yfxfyxfYX dxdyyfxxyfYX dxdyyyfdxxxfYX YEXEdxdyyxxyfXYE ,从而其中 分别为 与 的边缘概率密度， yfxfYX,xy第33页/共38页性质（3）和性质 （4）可以推广到多个随机;2121nnXEXEXEXXXE 推论推论2 2 设随机变量 相互独立，nXXX,21 .2121nnXEXEXEXXXE 推论推论1 1 设随机变量 的数学期望nXXX,21 都存在，则变量，我们写成下面的推论. .且数学期望都存在，则第34页/共38页 例例14 14 设随机变量 相互独立，nXXX,21 10iXppPk1nip, 2 , 1, 10 试证 服从二项分布并求 .nXXXX 21, pnBXE 证明证明 由于每个 可能., 2 , 1niXi 取值为0或1，则 可能取值nXXXX 21且服从同一个（01）分布：为0，1，2，n.第35页/共38页取值为 1，而其余 个取值