由递推公式求通项的9种办法经典总结(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业精析由递推公式求通项的 9 种方法1an1anf(n)型型把原递推公式转化为把原递推公式转化为a an n1 1a an nf f( (n n) )，再利用累加法再利用累加法( (逐差逐差相加法相加法) )求解求解，即即a an na a1 1( (a a2 2a a1 1) )( (a a3 3a a2 2) )( (a an na an n1 1) )a a1 1f f(1)(1)f f(2)(2)f f(3)(3)f f( (n n1 1)例 1已知数列an满足a112，an1an1n2n，求an.解由条件，知an1an1n2n1nn11n1n1

2、，则(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)112 1213 13141n11n，所以ana111n.因为a112，所以an1211n321n.2 2a an n1 1f f( (n n) )a an n型型把原递推公式转化为把原递推公式转化为a an n1 1a an nf f( (n n) )， 再利用累乘法再利用累乘法( (逐商相乘法逐商相乘法) )求解求解，即由即由a a2 2a a1 1f f(1)(1)，a a3 3a a2 2f f(2)(2)，a an na an n1 1f f( (n n1)1)，累乘可得累乘可得a an na a1 1f f(1)(1)f f(2

3、)(2)f f( (n n1)1)例 2已知数列an满足a123，an1nn1an，求an.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解由an1nn1an，得an1annn1，故ananan1an1an2a2a1a1n1nn2n1122323n.即an23n.3 3a an n1 1papan nq q( (其中其中p p，q q均为常数，均为常数，pqpq( (p p1)1)0)0)型型对于此类问题对于此类问题， 通常采用换元法进行转化通常采用换元法进行转化， 假设将递推公式假设将递推公式改写为改写为a an n1 1t tp p( (a an nt t) )， 比较系数可知比较系数可知t

4、tq qp p1 1， 可令可令a an n1 1t tb bn n1 1换元即可转化为等比数列来解决换元即可转化为等比数列来解决例 3已知数列an中，a11，an12an3，求an.解设递推公式an12an3 可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，则t3.故递推公式为an132(an3)令bnan3，则b1a134，且bn1bnan13an32.所以bn是以b14 为首项，2 为公比的等比数列所以bn42n12n1，即an2n13.4 4a an n1 1papan nq qn n( (其中其中p p，q q均为常数，均为常数，pqpq( (p p1)1)0)0)型型(1)(1)

5、一般地一般地， 要先在递推公式两边同除以要先在递推公式两边同除以q qn n1 1， 得得a an n1 1q qn n1 1p pq qa an nq qn n1 1q q，引入辅助数列，引入辅助数列 b bn n 其中其中b bn na an nq qn n，得，得b bn n1 1p pq qb bn n1 1q q，再用，再用精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业待定系数法解决；待定系数法解决；(2)(2)也可以在原递推公式两边同除以也可以在原递推公式两边同除以p pn n1 1，得，得a an n1 1p pn n1 1a an np pn n1 1p pq qp pn n，引入

6、辅助数列，引入辅助数列 b bn n 其中其中b bn na an np pn n，得，得b bn n1 1b bn n1 1p pq qp pn n，再，再利用叠加法利用叠加法( (逐差相加法逐差相加法) )求解求解例 4已知数列an中，a156，an113an12n1，求an.解法一：在an113an12n1两边乘以 2n1，得 2n1an123(2nan)1.令bn2nan，则bn123bn1，根据待定系数法，得bn1323(bn3)所以数列bn3是以b13256343为首项，以23为公比的等比数列所以bn34323n1，即bn3223n.于是，anbn2n312n213n.精选优质文档

7、-倾情为你奉上专心-专注-专业法二：在an113an12n1两边乘以 3n1，得3n1an13nan32n1.令bn3nan，则bn1bn32n1.所以bnbn132n，bn1bn232n1，b2b1322.将以上各式叠加，得bnb132232n132n.又b13a135652132，所以bn13232232n132n1 132n1132232n12，即bn232n12.故anbn3n312n213n.5 5a an n1 1papan nananb b( (p p1 1，p p0 0，a a0)0)型型精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令这种

8、类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a an n1 1x x( (n n1)1)y yp p( (a an nxnxny y) )，与已知递推式比较与已知递推式比较，解出解出x x，y y，从从而转化为而转化为 a an nxnxny y 是公比为是公比为p p的等比数列的等比数列例 5设数列an满足a14，an3an12n1(n2)，求an.解设递推公式可以转化为anAnB3an1A(n1)B，化简后与原递推式比较，得2A2，2B3A1，解得A1，B1.令bnann1.(*)则bn3bn1，又b16，故bn63n123n，代入(*)式，得an23nn1.6 6a an n1 1papar

9、 rn n( (p p00，a an n0)0)型型这种类型一般是等式两边取对数后转化这种类型一般是等式两边取对数后转化为为a an n1 1papan nq q型数型数列，再利用待定系数法求解列，再利用待定系数法求解例 6已知数列an中，a11，an11aa2n(a0)，求数列an的通项公式解对an11aa2n的两边取对数，得 lgan12lganlg1a.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业令bnlgan，则bn12bnlg1a.由此得bn1lg1a2bnlg1a，记cnbnlg1a，则cn12cn，所以数列cn是以c1b1lg1alg1a为首项，2 为公比的等比数列所以cn2n1l

10、g1a.所以bncnlg1a2n1lg1alg1alga1a2n1lga12n，即 lganlga12n，所以ana12n.7 7a an n1 1AaAan nBaBan nC C( (A A，B B，C C为常数为常数) )型型对于此类递推数列对于此类递推数列， 可通过两边同时取倒数的方法得出关系可通过两边同时取倒数的方法得出关系式式例 7已知数列an的首项a135，an13an2an1，n1,2,3， ，求an的通项公式解an13an2an1，1an12313an，1an11131an1.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业又1a1123，1an1是以23为首项，13为公比的等比数列，1an12313n123n，an3n3n2.8.8.)(1nfaann型型由原递推关系改写成由原递推关系改写成),() 1(2nfnfaann然后再按奇偶分然后再按奇偶分类讨论即可类讨论即可例 8.已知数列 na中，, 11a.21naann求na解析：.21naann2212naann，故22nnaa即数列 na是奇数项和偶数项都是公差为 2 的等差数列，*, 1, 1,Nnnnnnnan