第8章非标准期权定价方法

1、第第8章章 非标准期权定价方法非标准期权定价方法 n8.1 提前执行欧式期权定价提前执行欧式期权定价n8.2 提前结束美式期权定价提前结束美式期权定价n8.3 百慕大期权定价百慕大期权定价n8.4 组合欧式期权定价组合欧式期权定价n8.5 组合美式期权定价组合美式期权定价n8.6 资产互换期权资产互换期权n为了激励员工的工作热情，有的公司向员工或管理层为了激励员工的工作热情，有的公司向员工或管理层发放期权。假设期权的有效期为发放期权。假设期权的有效期为5 5年，员工得到期权后年，员工得到期权后不能立即执行，不能立即执行，4 4年后才能执行。从第年后才能执行。从第4 4年开始到第年开始到第5 5

2、年年末，员工在任何时刻都可以执行期权。这相当于延期末，员工在任何时刻都可以执行期权。这相当于延期执行美式期权或者提前执行欧式期权。执行美式期权或者提前执行欧式期权。n在现实中欧式期权可以到期执行，也可以提前执行。在现实中欧式期权可以到期执行，也可以提前执行。美式期权可以在有效期内任何时刻执行，也可以提前美式期权可以在有效期内任何时刻执行，也可以提前结束，到期后再执行。欧式期权也可以在有效期内开结束，到期后再执行。欧式期权也可以在有效期内开辟一个执行窗口，然后关闭该窗口，到期后再执行。辟一个执行窗口，然后关闭该窗口，到期后再执行。这类期权我们称为百慕大期权。作者在这类期权我们称为百慕大期权。作者

3、在20132013年提出百年提出百慕大期权定价模型。标准欧式期权和标准美式期权只慕大期权定价模型。标准欧式期权和标准美式期权只能执行一次，组合期权可以执行多次。作者（能执行一次，组合期权可以执行多次。作者（20132013）提出组合美式期权定价模型。提出组合美式期权定价模型。 8.1提前执行欧式期权定价提前执行欧式期权定价n假设假设 为欧式期权的期限，为欧式期权的期限， 为欧式期权提前执行窗为欧式期权提前执行窗口开始时间，也是欧式期权封闭窗口的结束时间；口开始时间，也是欧式期权封闭窗口的结束时间； 为欧式期权执行窗口的结束时间，为欧式期权执行窗口的结束时间， 。欧式期权。欧式期权封闭时间窗口的

4、长度为封闭时间窗口的长度为 年，执行时间窗口的长度年，执行时间窗口的长度为为 。提前执行欧式期权获得的收益可以投资到远。提前执行欧式期权获得的收益可以投资到远期无风险利率资产中。提前执行欧式看涨期权和提前期无风险利率资产中。提前执行欧式看涨期权和提前执行欧式看跌期权的定价模型分别为：执行欧式看跌期权的定价模型分别为：n )(211)()(TTrrTqTEeedNXedNSec)(121)()(TTrqTrTEeedNSedNXepT1TTT 101T1TT Tn如果提前时间等于欧式期权的期限，如果提前时间等于欧式期权的期限， ，这时，提，这时，提前执行欧式期权的价值等于美式期权的价值。前执行欧

5、式期权的价值等于美式期权的价值。n为了简单起见，这里假设零息债券利率曲线为水平线，为了简单起见，这里假设零息债券利率曲线为水平线，与现实有一定的误差。在现实中可以使用零息债券利与现实有一定的误差。在现实中可以使用零息债券利率曲线和远期利率。率曲线和远期利率。 TTqrXSd)5 . 0()/ln(21Tdd1201Tn例题例题8-1 计算提前执行欧式期权的价值计算提前执行欧式期权的价值n假设提前执行欧式期权的期限为假设提前执行欧式期权的期限为3年，年，1年后提年后提前执行欧式期权。股票的当前价格为前执行欧式期权。股票的当前价格为20元，执元，执行价格为行价格为20元。无风险利率为元。无风险利率

6、为5.00%，股票，股票对数收益率的标准差为对数收益率的标准差为30%，标的资产不派，标的资产不派息。求提前执行欧式期权的价值。息。求提前执行欧式期权的价值。n解：因为解：因为5485. 033 . 03)3 . 05 . 005. 0()20/20ln(21d0289. 033 . 05485. 02dn期限为期限为3年的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值分别年的欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值分别为：为：7083. 0)(1dN5116. 0)(2dN2917. 07083. 01)(1dN4884. 05116. 01)(2dN36. 55116. 0207083. 020305. 030

7、eecE57. 22917. 0204884. 02030305. 0eepEn提前提前2年执行欧式看涨和看跌期权的价值分别为：年执行欧式看涨和看跌期权的价值分别为：n期限为期限为3年的美式看涨期权和美式看跌期权的价值分别年的美式看涨期权和美式看跌期权的价值分别为：为：92. 536. 5)13(05. 0)(1eeccTTrEEe84. 257. 2)13(05. 0)(1eeppTTrEEe23. 6Ac00. 3Apn比较三种期权的价值我们可以看出比较三种期权的价值我们可以看出:n美式期权的执行时间最早，期权的价值也最大，美式期权的执行时间最早，期权的价值也最大，看涨看跌期权的价值分别为

8、看涨看跌期权的价值分别为6.23，3.00。n欧式期权的执行时间最短，欧式期权的价值最欧式期权的执行时间最短，欧式期权的价值最小，分别为小，分别为5.36，2.57；n提前执行欧式期权的执行时间居于美式期权和提前执行欧式期权的执行时间居于美式期权和欧洲期权之间，期权的价值居欧式期权和美式欧洲期权之间，期权的价值居欧式期权和美式期权之间，分别为期权之间，分别为5.92，2.84。8.2 提前结束美式期权定价提前结束美式期权定价n假设假设 为美式期权的到期时间，为美式期权的到期时间， 为美式期权执行窗为美式期权执行窗口的结束时间，口的结束时间， 。也就是说，美式期权在现在。也就是说，美式期权在现在

9、至至 期间执行，执行时间长度为期间执行，执行时间长度为 ； 至至 期间封闭，期间封闭，封闭时间长度为封闭时间长度为 ，相当于提前结束一个美式期权。，相当于提前结束一个美式期权。在这种情况下，提前结束美式看涨和提前结束美式看在这种情况下，提前结束美式看涨和提前结束美式看跌期权的价值分别为：跌期权的价值分别为：n其中：其中： )(21)(1)()(TTrTqrAeedXNdNSec)(1)(21)()(TTrTqrAeedNSedXNpTTqrXSd)5 . 0()/ln(21Tdd12T1T1TTT 101T1T1T1TT1TT n例题例题8-2 计算提前结束美式期权的价值计算提前结束美式期权的

10、价值n假设提前结束美式期权的期限为假设提前结束美式期权的期限为3年，年，1年后提前结束年后提前结束美式期权，到期后再执行美式期权。股票的当前价格美式期权，到期后再执行美式期权。股票的当前价格为为20元，执行价格为元，执行价格为20元。无风险利率为元。无风险利率为5.00%，股票对数收益率的标准差为股票对数收益率的标准差为30%，标的资产不派息。，标的资产不派息。求提前求提前2年结束美式期权的价值。年结束美式期权的价值。 n解：提前解：提前2年结束美式看涨期权和看跌期权的价值分别年结束美式看涨期权和看跌期权的价值分别为：为：n 提前结束美式期权的价值小于美式期权的价值。提前结束美式期权的价值小于

11、美式期权的价值。64. 523. 6)13(05. 0)(1eeccTTrAAe71. 200. 3)13(05. 0)(1eeppTTrAAe8.3 百慕大期权定价百慕大期权定价n为了便于推导百慕大期权定价模型，我们假设为了便于推导百慕大期权定价模型，我们假设 为百为百慕大期权的到期时间，慕大期权的到期时间， 百慕大期权的开始执行窗口百慕大期权的开始执行窗口时间，时间， 为结束执行窗口时间，为结束执行窗口时间， 。百慕大。百慕大期权的执行窗口时间为期权的执行窗口时间为 ，在执行窗口时间之前，在执行窗口时间之前和执行窗口时间之后，百慕大期权均不能执行。相当和执行窗口时间之后，百慕大期权均不能执

12、行。相当于在提前执行欧式期权上，又提前结束了一个美式期于在提前执行欧式期权上，又提前结束了一个美式期权。百慕大看涨期权的价值和百慕大看跌期权的价值权。百慕大看涨期权的价值和百慕大看跌期权的价值分别为：分别为： )()(2121)()(TTrTTrrTqTBedNXedNSec)()(1221)()(TTrTTrqTrTBedNSedNXepT TT1T2T2TTTT21012TT 12TT n或者或者n如果百慕大期权的开始执行时间等于零，如果百慕大期权的开始执行时间等于零， ，开始，开始结束时间等于期权的有效期限，结束时间等于期权的有效期限， ，百慕大期权的，百慕大期权的价值等于美式期权的价值

13、；价值等于美式期权的价值；n如果百慕大期权的开始执行时间等于期权的有效期如果百慕大期权的开始执行时间等于期权的有效期限，限， ，开始结束等于期权的有效期限，开始结束等于期权的有效期限， ，百慕大期权的价值等于欧式期权的价值。百慕大期权的价值等于欧式期权的价值。 TTqrXSd)5 . 0()/ln(21)(12TTrEBecc)(12TTrEBeppTdd1201TTT 2TT 1TT 2n例题例题8-3 计算百慕大期权的价值计算百慕大期权的价值n假设百慕大期权的期限为假设百慕大期权的期限为3年，年，1年后开始执行百慕大年后开始执行百慕大期权，期权，2年后停止执行百慕大期权，到期时再执行百慕年

14、后停止执行百慕大期权，到期时再执行百慕大期权。标的股票当前价格为大期权。标的股票当前价格为20元元/股，百慕大期权股，百慕大期权的执行格为的执行格为20元元/股，对数收益率的标准差为股，对数收益率的标准差为30%，无风险利率为无风险利率为5.00%。求百慕大期权的价值。求百慕大期权的价值。n解：解：根据百慕大期权定公式。百慕大看期权的价值分根据百慕大期权定公式。百慕大看期权的价值分别为：别为： 64. 536. 5)12(05. 0)(12eeccTTrEB70. 257. 2)12(05. 0)(12eeppTTrEB表表8-1 非标准美式期权定价公式非标准美式期权定价公式 期权名称看涨期权

15、看涨期权看跌期权看跌期权提前执行欧式提前执行欧式期权期权提前结束美式提前结束美式期权期权百慕大期权百慕大期权)(1TTrEEeecc)(1TTrEEeepp)(1TTrAAeecc)(1TTrAAeepp)(12TTrEBecc)(12TTrEBeppn表表8-2 五种期权价值比较表五种期权价值比较表 期权名称期权名称看涨期权看涨期权看跌期权看跌期权欧式期权欧式期权5.365.362.572.57美式期权美式期权6.236.233.003.00提前执行欧式期权提前执行欧式期权5.925.922.842.84提前结束美式期权提前结束美式期权5.645.642.702.70百慕大期权百慕大期权5.

16、645.642.702.70n假设零息债券利率曲线是一条水平线，从表假设零息债券利率曲线是一条水平线，从表8-2中我中我们可以得出以下几点结论。们可以得出以下几点结论。n（1）在期权有效期内欧式期权到期执行，执行时间最）在期权有效期内欧式期权到期执行，执行时间最短，期权的价值最小。短，期权的价值最小。n（2）美式期权的执行时间最长，期权的价值最大。）美式期权的执行时间最长，期权的价值最大。n（3）期权的执行时间相等，期权的价值也相等，与期）期权的执行时间相等，期权的价值也相等，与期权的执行时间先后顺序无关。例如，提前结束美式期权的执行时间先后顺序无关。例如，提前结束美式期权在第权在第1年执行，

17、百慕大期权在第年执行，百慕大期权在第2年执行，提前执行年执行，提前执行欧式期权在第三年执行，这三种期权的价值相等。欧式期权在第三年执行，这三种期权的价值相等。 n（4）提前执行欧式期权的价值等于延期执行美式期权）提前执行欧式期权的价值等于延期执行美式期权的价值。的价值。 8.4 组合欧式期权定价组合欧式期权定价n组合欧式期权的执行价格相同，均等于组合欧式期权的执行价格相同，均等于 。在组合欧。在组合欧式期权的有效期权内，可以执行多次欧式期权。假设式期权的有效期权内，可以执行多次欧式期权。假设组合欧式期权的有效期限为组合欧式期权的有效期限为1年每月月底执行一次期权，年每月月底执行一次期权，共执行

18、共执行12次欧式期权，执行时间分别在次欧式期权，执行时间分别在1月底、月底、2月底月底等。为了确定组合欧式期权的当前价值，我们假设在等。为了确定组合欧式期权的当前价值，我们假设在组合欧式期权的有效期权内共执行组合欧式期权的有效期权内共执行 次欧式期权，每次欧式期权，每次执行期权的时间为次执行期权的时间为 。第。第 个欧个欧式期权的当前价值为：式期权的当前价值为：n ), 2 , 1(nii)()(, 2, 1,itriqtiEdNXedNSeciii)()(, 1, 2,iqtitriEdNSedNXepiiinttt,21Xnn其中：其中： 为期限为为期限为 年的无风险零息债券利率，如果年的

19、无风险零息债券利率，如果无风险零息债券利率曲线不是水平线，期限不同，无无风险零息债券利率曲线不是水平线，期限不同，无风险利率也不同风险利率也不同:n组合欧式期权的价值为：组合欧式期权的价值为：iritiiiittqrXSd)5 . 0()/ln(2, 1iitdd1, 2)()(, 2, 111,itriniqtniiEECdNXedNSecciii)()(, 1, 211,iqtinitrniiEECdNSedNXeppiiin例题例题8-4 计算组合欧式期权的价值计算组合欧式期权的价值n假设组合欧式期权的期限均为假设组合欧式期权的期限均为3年，每年年末执行一次年，每年年末执行一次欧式期权。

20、标的股票当前价格为欧式期权。标的股票当前价格为20元元/股，组合期权股，组合期权的执行格为的执行格为20元元/股。对数收益率的标准差为股。对数收益率的标准差为30%。无风险利率为无风险利率为5.00%，零息债券利率曲线为水平直线，零息债券利率曲线为水平直线，标的资产不派息。求组合欧式期权的价值。标的资产不派息。求组合欧式期权的价值。n解：这三个期权都是欧式期权，期限分别为解：这三个期权都是欧式期权，期限分别为1年、年、2年年和和3年。下面为第年。下面为第1个期权定价。个期权定价。n 3167. 013 . 01)3 . 05 . 0005. 0()20/20ln(21 , 1d0167. 01

21、3 . 03167. 01 , 2dn其他两个期权价值的计算过程不再叙述，计算结果列其他两个期权价值的计算过程不再叙述，计算结果列在表在表8-3中。中。6242. 0)(1dN5067. 0)(2dN3758. 06242. 01)(1dN4933. 05067. 01)(2dN84. 25067. 0206242. 020105. 01 ,ecE87. 13758. 0204933. 020105. 01 ,epEn表表8-3 组合欧式期权定价组合欧式期权定价 1d2d)(1dN)(2dN)(1dN iEc,iEp,1 10.9510.9510.31670.31670.01670.01670

22、.62420.62420.50670.50670.37580.37580.49330.49332.842.841.871.872 20.9050.9050.44780.44780.02350.02350.67280.67280.50940.50940.32720.32720.49060.49064.244.242.332.333 30.8610.8610.54850.54850.02890.02890.70830.70830.51160.51160.29170.29170.48840.48845.365.362.572.57合合计计12.4412.446.776.77itiitre)(2dN

23、8.5 组合美式期权定价组合美式期权定价n 在期权的有效期内，组合美式期权的买方可以执行多在期权的有效期内，组合美式期权的买方可以执行多次美式期权。假设组合美式期权的有效期限为次美式期权。假设组合美式期权的有效期限为1年每月年每月月初至月底执行一次美式期权，共执行月初至月底执行一次美式期权，共执行12次美式式期次美式式期权，执行时间分别在权，执行时间分别在1月初至月初至1月底、月底、2月初至月初至2月底等。月底等。如果月初至月底标的资产的价格低于执行价格，也可如果月初至月底标的资产的价格低于执行价格，也可以放弃执行，一个月最多只能执行一次期权。为了确以放弃执行，一个月最多只能执行一次期权。为了

24、确定组合美式期权的当前价值，我们假设在组合美式期定组合美式期权的当前价值，我们假设在组合美式期权的有效期内共执行权的有效期内共执行 次期权，美式期权的结束时间分次期权，美式期权的结束时间分别为别为 。第。第 个美式期权的当前价个美式期权的当前价值相当于一个百慕大期权的当前价值。值相当于一个百慕大期权的当前价值。 ，相当于，相当于当前时刻；当前时刻； ), 2 , 1(nii00tnttt,21nn 组合美式期权的价值为：组合美式期权的价值为： )(, 2, 1,1)()(iiiiittritriqtiAedNXedNSec)(, 1, 2,1)()(iiiiittriqtitriAedNSed

25、NXepiiiittqrXSd)5 . 0()/ln(2, 1iitdd1, 2)()()(, 2, 111,1iiiiittritriqtniniiAACedNXedNSecc)()( )(, 1, 211,1iiiiittriqtitrniniiAACedNSedNXeppn例题例题8-5 8-5 计算组合美式期权的价值计算组合美式期权的价值n假设组合美式期权的期限均为假设组合美式期权的期限均为3 3年，从每年年初开始执年，从每年年初开始执行期权，到年终结束，每年只能执行一次美式期权，行期权，到年终结束，每年只能执行一次美式期权，3 3年共执行年共执行3 3次。标的股票当前价格为次。标的股

26、票当前价格为2020元元/ /股，组合期股，组合期权的执行格为权的执行格为2020元元/ /股。对数收益率的标准差为股。对数收益率的标准差为30%30%。无风险利率为无风险利率为5.00%5.00%，无风险零息债券利率曲线为水平，无风险零息债券利率曲线为水平直线，标的资产不派息。求组合美式期权的价值。直线，标的资产不派息。求组合美式期权的价值。n解：第解：第1个期权就是美式期权，有效期限为个期权就是美式期权，有效期限为1年；第年；第2个期权是期限为个期权是期限为2年的欧式期权，提前年的欧式期权，提前1年执行，第年执行，第3个期权是期限为个期权是期限为3年的欧式期权，提前年的欧式期权，提前1年执

27、行。下面年执行。下面仅介绍第一个期权定价过程，计算结果列在表仅介绍第一个期权定价过程，计算结果列在表8-4中。中。 3167. 013 . 01)3 . 05 . 0005. 0()20/20ln(21 , 1d0167. 013 . 03167. 01 , 2d6242. 0)(1 , 1dN5067. 0)(1 , 2dN3758. 06242. 01)(1 , 1dN4933. 05067. 01)(1 , 2dN99. 2)5067. 0206242. 020()01 (05. 0105. 01 ,eecA96. 1)3758. 0204933. 020()01(05. 0105. 0

28、1 ,eepAn表表8-4 组合美式式期权定价组合美式式期权定价 itiAc,iAp,1 10.9510.9510.31670.31670.01670.01670.62420.62420.50670.50670.37580.37580.49330.49332.992.991.961.962 20.9050.9050.44780.44780.02350.02350.67280.67280.50940.50940.32720.32720.49060.49064.464.462.452.453 30.8610.8610.54850.54850.02890.02890.70830.70830.5116

29、0.51160.29170.29170.48840.48845.635.632.702.70合合计计13.0813.087.117.11id, 1iitreid, 2)(, 1 idN)(, 2 idN)(, 1 idN )(, 2 idN 8.6 资产互换期权资产互换期权n资产互换期权就是把一种资产换成另一种资产的期权，资产互换期权就是把一种资产换成另一种资产的期权，互换期权的标的资产有两种资产，他们的当前价格分互换期权的标的资产有两种资产，他们的当前价格分别为别为 和和 。互换期权执行时，买方支付资产。互换期权执行时，买方支付资产 去去购买资产购买资产 。互换期权也分欧式期权和美式期权，欧

30、。互换期权也分欧式期权和美式期权，欧式期权在到期执行，美式期权在到期日之前任何时刻式期权在到期执行，美式期权在到期日之前任何时刻都可以执行。欧式看涨和看跌互换期权的价值为：都可以执行。欧式看涨和看跌互换期权的价值为：n 1S1S2S2S)()(),(22112121dNeSdNeSSScTqTqE)()(),(11222112dNeSdNeSSSpTqTqEn美式看涨和看跌互换期权的价值为：美式看涨和看跌互换期权的价值为： rTTqTqAedNeSdNeSSSc)()(),(22112121rTTqTqAedNeSdNeSSSp)()(),(11222112TTeSeSdTqTq21115 .

31、 0)/ln(21Tdd122122212n其中：其中： 和和 分别是资产分别是资产1 1和资产和资产2 2的收益率；的收益率； 为现为现在距到期日的时间，年；在距到期日的时间，年； 和和 分别是资产分别是资产1 1和资产和资产2 2价格对数收益率的标准差；价格对数收益率的标准差； 为资产为资产1 1和资产和资产2 2对数收对数收益率之间的相关系数；益率之间的相关系数； 和和 分别为标的资产的分别为标的资产的现值。现值。n对于资产互换期权的买方，就像持有包括两种资产的对于资产互换期权的买方，就像持有包括两种资产的投资组合，资产投资组合，资产1 1是空头，资产是空头，资产2 2是多头。资产组合的

32、是多头。资产组合的方差等于资产的方差与协方差之和。因为一种资产的方差等于资产的方差与协方差之和。因为一种资产的权重为权重为1 1，另一种资产的权重为，另一种资产的权重为-1-1，因此他们之间的协，因此他们之间的协方差为负数。方差为负数。n对于欧式互换期权，到期时如果对于欧式互换期权，到期时如果 ，就执行期权；，就执行期权；如果如果 ，就放弃执行期权，让期权自然作废。对，就放弃执行期权，让期权自然作废。对于美式互换期权，在期权有效期内任何时刻都可以执于美式互换期权，在期权有效期内任何时刻都可以执行期权。行期权。12TqeS11TqeS2221SS 21SS 1q2qTn例题例题8-6 8-6 计算美式互换期权的价值计算美式互换期权的价值n假设有一份期限为假设有一份期限为2 2年美式互换期权，用年美式互换期权，用1 1单位的上证单位的上证综指交换综指交换1 1单位的沪深单位的沪深300300指数。沪深指数。沪深300300的当前价格为的当前价格为21772177点，派息率为点，派息率为2.0%2.0%，波动率为，波动率为15%15%。上证综指的当。上证综指的当前价格为前价格为20142