一阶微分方程

1、第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念第二节第二节 常见的一阶微分方程常见的一阶微分方程第一节第一节 微分方程的概念微分方程的概念一一.实例实例例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.设曲线方程为 y = y(x),则1|,0 xyxycxxdxy221c122xy例2. 质量为m的物体自由落下, t =0 时,初始位移和初速度分别为,00vS求物体的运动规律.设运动方程为S=S(t),则,)(gtS 0000|,|vSSStt两次积分分别得出:,)(1cgttS,21)(212ctcgttS条件代入:,0201Scvc,21)(002Stvg

2、ttS二二. 概念概念1. 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例)未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章内容2. 阶:未知函数的最高阶导数的阶数.例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.n阶方程一般形式:0),()( nyyyyxF必须出现3. 解:如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解.如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同通解不含任意常数的解特解必须独立n阶方程通解一般形式:),(21ncccxyy 4. 定解条件:确定通解中任意常数值的条件.定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;定解条件中自变量

3、取相同值时,叫做初始条件.5. 几何意义:通解积分曲线族特解积分曲线例:验证 是 的通解cyx22yxy对 用隐函数求导法得:cyx22yxy故 是方程的解,cyx22且含有一个任意常数.通解第二节第二节 几种常见的一阶微分方程几种常见的一阶微分方程本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.一一. 可分离变量的方程可分离变量的方程一阶微分方程一般形式:0),( yyxF我们研究其基本形式:),(yxfdxdy如果可化成:dyygdxxf)()(1)则(1)称为可分离变量的方程.解法: 1.分离变量:dyygdxxf)()(2.两边积分:dyygdxxf)()(3.得出通解:CxFyG)()(只

4、写一个任意常数例:xydxdy2).1 (xdxdyy21xdxdyy21,|ln12Cxy2112xCCxeeey任意常数,记为C2xCey 绝对值号可省略1|,).2(022xyyxyxyxydxxxdyyy2211dxxxdyyy2211122)1ln()1ln(Cxy)(),1 (1222CeCxCy定解条件代入:C=2故特解为:).1 (2122xy例例 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定

5、是同解变形,因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(

6、lnueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二.齐次方程齐次方程如果方程(1)可化成:)(xydxdy齐次方程解法:令 化成可分离变量方程.xyu xuy dxduxudxdy)(udxduxudxxuudu1)(例:22xxyydxdy1)(2xyxydxdy12uudxduxudxxduu1)11 (xCuulnln1xyu xyu xyCey 例例 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为xC

7、xysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)(说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例 求解求解. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则ud

8、xxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx可可分分离离变变量量为为积积分分，得得.|lnsinCxxy 还原，得原方程的通解为还原，得原方程的通解为解解（易知，是齐次方程）（易知，是齐次方程）原原方方程程化化为为,cosxdxudu ,|lnsinCxu 4/11三三.一阶线性方程一阶线性方程一般形式:)()(xQyxPdxdy(2):0)(xQ0)(yxPdxdy(3)一阶线性齐次方程一阶线性非齐次方程:0)(xQ自由项方程(3)是可分离变量方程,其通解为:dxxPCey)(方程(2)的通解常数变易法设(2)的通解:dxxPexCy)()(代入方程(2):dxxP

9、dxxPexPxCexCy)()()()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP)()()(则方程(2)的通解:)()()(CdxexQeydxxPdxxP(4)注:1. 一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4) 计算皆可;.2. 公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;3.dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(非齐次方程的特解齐次方程的通解非齐次方程解的结构例:xexydxdyxcos22cos222Cdxexeeyxdxxxdxcos2Cxdxex)(sin2Cxex例: 求方程 满足初始条件 的特解.ydxdyyx)(21|3xy将 y

10、视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:yxydydx1yyQyyP)(,1)(11Cdyyeexdyydyy)(Cyy由 得:1|3xy2C故所求特解为:)2( yyx例例解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 0 sin1 的特解的特解满足满足求求 xy

11、xxyxy,1)(xxP ,sin)(xxxQ CdxexxeCxydxxdxx11sin);( Cdxexxexx|ln|ln|sin解解例例 Cdxxxxx|sin|16/17 Cxdxxsin1 .cos1Cxx Cdxxxxx|sin|1由由所求特解所求特解 C cos101 C .cos11)(xxxy 7/17四四.贝努里方程贝努里方程一般形式:) 1 , 0( ,)()(nyxQyxPdxdyn当 n= 0 或1时,这是线性方程.当 时,可以化成线性方程:1 , 0n两端同除以,ny),()(1xQyxPdxdyynn),()()(1111xQyxPdxydnnn令,1 nyz则

12、).()1 ()()1 (xQnzxPndxdz关于 z 的线性方程求出通解后再还原回 y例:2yyxy211yxyxy两端同除以,2yxyxyy1112令,1 yz,11xzxz111Cdxexezdxxdxx)(1Cxx代入,1 yz通解为.cxxy例例 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 4 2的的通通解解求求yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令

13、令解得解得.224 Cxxy解解，得得两两端端除除以以 y例例 ,22 Cxxz,dxdyydxdz21 由由22 2xzxdxdz 原方程化为原方程化为11/17还原，得原方程的通解还原，得原方程的通解例例 解微分方程解微分方程.xexyyyx2222 解解变形为变形为,2)1(1yyz 令令,dxdyydxdz2 则则,xexzdxdzx22 原方程化为原方程化为 222Cdxexeezxdxxxdx 解解之之，得得所求通解为所求通解为).2(22Cxex 1221 yxexyyx方方程程）（Bernoulli).2(222Cxeyx 12/17五五.全微分方程全微分方程0),(),(dy

14、yxQdxyxP对于微分方程),(yxdUCyxU),(则通解为全微分方程注: (1).当P(x,y),Q(x,y)在单连域D内具有一阶连续偏导数,且xQyP时,上述方程为全微分方程.(2).DyxCdyyxQdxyxPyxUyyxx),( ,),(),(),(00000(3). 对于非全微分方程,有时可以找到函数 , 使得),(yx0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx全微分方程积分因子(4). 观察法往往很实用.例:0)(2)(2dyyxydxxyxQyyP2因为全微分方程取, 0, 000yxCdyyxydxxyxUyx00)(2)(),(Cyxyx3223221解法一:

15、解法二:02)2(22dyyxdxxydydxy0)32()2()(322ydxdxyd0)322(322yxxydCyxyx3223221例:0 xdyydx非全微分方程由于2)(yxdyydxyxd则 是积分因子,21yCyx同乘以积分因子并积分得通解:xyx1,12易知 也是积分因子例:0)1 ()1 (xdyxyydxxy非全微分方程变形0)()(xdyydxxyydxxdy0)()(22ydyxdxyxxyd则 是积分因子,221yx0)(22ydyxdxyxxyd.|ln1Cyxxy注意注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型其他类型的微分方程往往可以化成上述类型例:yyxy2

16、sincos1视 x 为 y 函数,可化成线性方程yxydydx2sincos通解为:2sincoscosCdyeyexydyydy)sin1 (2sinycey思考)(, 1) 1 (,)() 1()(), 1 )(. 111xyydtttyxdttyxxyxx求内有连续导数且满足在设.e)(, e,e, 0)() 13()( ),(d)(d)(),() 1(d)()(d)(31131221111xxyCxCyxyxxyxxyxtttyttyxxyxtttyxxyttyxxxxxxx故把初始条件代入得：分离变量并求解得：再求导并整理得：整理得：求导得：等式两端同时关于)(,)21()(), 0)(. 222224224tfdxdyyxfetftftyxt求上连续且满足在设.e ) 14()(. 1, 1)0() 1 (.4