可降阶方程与幂级数解法(第十六课时)

1、$4.3高高阶阶微微分分方方程程的的降降阶阶和和幂幂级级数数解解法法( )(11)( )( ,.(2,)0(11).3.)4kkknF t xxxx xxtx (1)(1)方方程程不不显显含含或或更更一一般般地地, ,方方程程不不显显含含即即不不显显含含自自变变量量 的的方方程程. .(3)(3)知知道道k k个个线线性性无无关关特特解解的的可可降降阶阶的的齐齐次次线线性性一一微微些些方方程程类类型型分分方方程程. .( )(1)( )(1)( ,)0kknF t xxx 形形如如的的方方程程( ),kxyynk若若令令则则方方程程降降为为关关于于的的阶阶方方程程()( , ,)0(2)n k

2、F t y yy (2)如如果果能能求求得得方方程程的的通通解解12( ,),n kyt c cc 即即( )12( ,),kn kxt c cc k再再经经 次次积积分分便便得得方方程程(1)(1)的的通通解解为为: :12( ,)nxt c cc 5454110.d xd xdtt dt例例求求方方程程的的解解(2)t不不显显含含自自变变量量 的的方方程程( )( ,)0(3)nF x xx ,(3)xyx 只只要要令令并并把把看看成成是是新新的的自自变变量量, ,则则方方程程可可降降低低一一阶阶. .11( , ,)0nndydyG x ydxdx (?)xy 22()0 xxx例例求求

3、解解方方程程(3)齐齐次次线线性性微微分分方方程程111( )( )0(4)nnnnnd xdxa tat xdtdt 12,(4),1kkxxxkxx yk 设设是是方方程程的的 个个线线性性无无关关解解 若若令令则则方方程程可可降降低低 阶阶, ,做做类类似似的的变变换换, ,可可将将方方程程(4)(4)降降低低 阶阶. .,特特别别地地 对对一一个个二二阶阶微微分分方方程程 只只要要知知道道其其一一个个特特解解 就就可可将将其其化化成成一一个个一一阶阶微微分分方方程程, ,1(5)y设设 是是方方程程的的一一个个非非零零特特解解，12)(yxuy 令令代入代入(5)式式, 得得, 0)(

4、)()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即( )( )0(5)yP x yQ x y考考虑虑二二阶阶微微分分方方程程解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为( )112211().(6)P x dxyy CCedxy 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 vsin230,.txxxxtt例例已已知知是是方方程程的的解解试试求求方方程程的的通通解解2

5、( ),(7)p tt 解解这这里里由由公公式式可可得得212221212sin1()sinsin(cot )1(sincos ).ttxccdttt ttccttctctt 定理定理4.3.24.3.2、二阶齐次线性方程幂级数求法、二阶齐次线性方程幂级数求法作法作法,0 nnnxay设解为设解为( ),( )P x Q xx将将展展开开为为的的幂幂级级数数，比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 确定确定y.0的解的解求方程求方程 yyxy,0nnnxay 设方程的解为设方程的解为解解例例2 2,10 nnnxnay则则21)1( nnnxanny, 0, yyxyyy

6、y带入带入将将,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,804aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常数是任意常数aa思考题思考题 什么情况下采用什么情况下采用“幂级数幂级数”解法求解解法求解微分方程？微分方程？思考题解答思考题解答 当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.一、一、 试用幂级数求下列各微分方程的解试用幂级数求下列各微分方程的解: :1 1、1 xxyy；2 2、0)( myymxyx. .)(为自然数为自然数m二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、21,032 xyxyy； 2 2、0,0cos0022 ttdtdxaxtxdtxd. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、 3231112xxCeyx )12(53112 nxn； 2 2、