《勾股定理》全章复习与巩固基础-教师讲义

1、中正教育教师辅导讲义年级：八年级 课时数：3 学员姓名:辅导科目： 数学 学科教师:课程主题勾股定理全章复习与巩固基础授课类型T课本同步专题辅导T应用能力提升授课日期时段年 月 日 段（：00-: 00）1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;学习目标2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题教学内谷同步俺畑【知识网络】角三A求边长空IMF（加二角弔要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一

2、，其主要应用是:（1 ）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用.要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a b c,满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1 ）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：a2 b2与c2是否具有相等关系：若a2 b2 c2，则 ABC是以/ C为90°的直角三角形；若a2 b2> c2时， ABC是锐角三角形；若a2 b2<

3、c2时， ABC是钝角三角形.2. 勾股数. 2 2 2满足不定方程x y z的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形- -定是 直角三角形 要点诠释：常见的勾股数： 3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 9、40、41.如果（a、b、c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为 a、b c，且a b c,那么存在a2 b c成立.（例如中存在72 =

4、 24 + 25、92 =40 + 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关0、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的平方长.解：设第三边为x .当x为斜边时，由勾股定理得 X2 62 82 100 .当x为直角边时，由勾股定理，得22 影 2x 68 x 28 .所以这个三角形的第三边的平方为100或28.【变式】在厶 ABC中, AB= 15 , AC= 13,高AD= 12.求 ABC的周长.解：在 Rt ABD和 Rt AC

5、D中，由勾股定理，得 BD2 AB2 AD2 152 122 81 .2 2 2 2 2BD 9 .同理 CD AC AD 131225 .CD 5 当/ ACB> 90。时，BC= BD- CD= 9 5= 4. ABC 的周长为：AB+ BC+ CA= 15 + 4+ 13= 32.当/ ACB 90。时,BC= BD CD= 9 + 5= 14 . ABC的 周长为：AB+ BC+ CA= 15+ 14+ 13= 42.综上所述： ABC的周长为32或42.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用02、已知如图所示，在 ABC中, AA AO 20,32,D是BC上的一点，且 ADL A

6、C,求BD的长.解：过点A作AEL BC于E.11/ AB = AC BE = EC= BC=-22在 Rt ABE中，AB= 20 , BE= 16,3216.AE2 AB2BE2202 16214412,在Rt ADE中，设DE= x，贝U AD2AE2DE2144 x2,AD2 AC2 CD2,而 144 x2 202(16 x)2 ./ AD 丄 AC 在 Rt ADC中 , DC2 AC2 AD2已知 AB= 13 , AD= 12 , AC= 15 , BD= 5 ,求 DC的长.BD2 AB2,又由勾股定理的逆定理知/ ADB= 90°.4、如果ABC的三边分别为a、b

7、81,DC9 .c ,且满足a2c 50 6a 8b10c ,判断 ABC的形状.解：由a2b2c2506a 8b 10c,得6ab2 8b 1610c25 03)220 ,(b 4)20 ,(c 5)03, b 4,c 5. 324252, a2b22(a 3) (b4)2(c5)20c2.由勾股定理的逆定理得： ABC是直角三角形B处，蚂蚁急G6、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少 ？8cm解：如图所示.因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度.在图

8、中，由勾股定理，得AB232112130 .在图中，由勾股定理，得AB26282100 .10 cm .A点，沿圆柱表因为130> 100,所以图中的 AB的长度最短，为10cm，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_25_.（ n取3）.选择题1.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部 4 m处，则树折断之前高（）2.3.A.5 mB.7 mD.10 mC.8 m(1)(2)如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为（）A.1

9、5B.16C.17D.18放学以后，小红和小颖分手，分别沿着东南方向和西南方向回家,若两人行走的速度都是40m/min，小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红和小颖家的距离为（A.600mB. 800mC. 1000mD.不能确定4. 如图所示，在 ABC中，AB= AC= 5, BC= 6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）.A. 6 B . 12.24 D . 30(4)(7)5. 下列三角形中，是直角三角形的是（A.三角形的三边满足关系a b cB.三角形的三边比为C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为 9, 40, 416.某市在旧城改造中，

10、 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450 a 元B.225 a 元 C.150D.300 a 元7.如图所示，正方形网格中的 ABC若小方格边长为1,则厶ABC（A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对8.已知，如图长方形ABCD中, AB= 3 cm ,AD= 9cm，将此长方形折叠，使点 B与点D重合，折痕为EF,则厶ABE的面积为（2A.3 cm2B.4 cm2C.6 cmD.12 cm2二.填空题9.根据下图中的数据，确定A=, B=, x=10. 若一个三角形的三边长分别为6, 8

11、, 10,则这个三角形中最短边上的高为 11. 如图，B, C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得/ ABC= 45。，/ ACB= 45°, BC= 60米，则点A到岸边BC的距离是米.12. 在直角三角形中，一条直角边为11 cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 .13. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面2 积的和是16cm，则其中最大的正方形的边长为 cm .14. 如图，平面上 A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点 C在A的东南方向，在B的西南方向甲、乙两只蚂蚁同时从 A、B两

12、地出发爬向 C处，速度都是30cm /min.结果甲蚂蚁用了 2 min，乙 蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距 cm.15. 小明要把一根长为 70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm, 40cm, 30cm的木箱中，他能放进去吗？(填“能”或“不能”).16. 如图， ABC中，/ ACB= 90°, AC= BC= 1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为三.解答题17. 若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是20,求此三角形的面积.

13、18. 如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC= 1千米，BD= 3千米，CD= 3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向 A B两村送自来水铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W.19. 如图， ABC中，/ A= 90°, AC= 20, AB= 10,延长 AB到 D,使 CD DB= AC+ AB,求 BD的长.20. 如图，四边形 ABCD是边长为9的正方形纸片，B为CD边上的点，BC = 3.将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B处，点A的对应点为 A，折痕分别与 AD,

14、BC边交于点 M N.求BN的长.21如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB, PC,以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP连结CQ(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.(2) 若PA PB: PC=3 4: 5，连结PQ试判断 PQC的形状，并说明理由.AP=CQ证明：在厶 ABP与厶 CBQ中, / AB=CB, BP=BQ / ABC2 PBQ=60 / ABP=/ ABC-/ PBC=Z PBQ-Z PBC玄 CBQ a ABFA CBQ a AP=CQ由 PA PB: PC=3 4: 5 可设 PA=3a PB=4a, PC=5a连结PQ 在

15、厶PBQ中，由于 PB=BQ=4a且/ PBQ=60 PBQ为正三角形 a PQ=4a 于是在 PQC中, PQC是直角三角形1.【答案】C;2 2 22【答案】C;【解析】距离为AB 815289,AB=173. 【答案】C【解析】OA=40X 20=800m OB=40X 15=600m,在直角 OAB中, AB=1000m.14. 【答案】A;【解析】由题意 Sa bef Sa cef ,a S阴影 Sa abd 3 4 6 -25. 【答案】D;_ _ _ _ 一 1 26. 【答案】C；【解析】作高，求得高为 15 m，所以面积为20 15 150 m .27. 【答案】A;【解析】

16、ACf= 13, AB= 52, BC= 65,满足勾股定理.8. 【答案】C;【解析】设 AE= x，则DE BN 9- X，在Rt ABE中,AS2 AE2 = £E2, 9 + 2 = (9-a/ p -= 4、= 2.填空题9. 【答案】225; 144; 40;【解析】根据勾股定理直接求解即可.10. 【答案】8;11.【答案】30;2 2 212. 【答案】132 cm【解析】由题意112 n2n 1 ，解得n 60，所以周长为11 + 60+61 = 132.13. 【答案】4;【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积14. 【答案】100;【解析

17、】依题知 AC= 60 cm , BC= 80cm二 AB2= 602+802= 1002, AB=100cm2 2 2 215. 【答案】能；【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm,根据题意，得x =50 +40 +30 =5000,702=49 00，因为4900V 5000，所以能放进去.116. 【答案】丄;8三.解答题17. 解：设此直角三角形两直角边分别是3x , 4x，由勾股定理得:1 3x 4x 6x296.218.解：作A点关于CD的对称点A',连结AB,与CD交点为O.2 2 2A B A E BE2 23(1 3)2525所以铺设水管的总费用W为20000 X 5 = 100000 = 10万元.3x 2 4