电磁场与电磁破ppt第一章矢量与场论(1)

1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 场的概念场的概念 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 第一章 矢量分析 1.1 场的概念场的概念 1.1.1 矢性函数矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点P， 它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭

2、头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量， 如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。 第一章 矢量分析 若某一矢量的模和方向都保持不变， 此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。 设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间Ga, b内的每一个数值t, A都有一个确定的矢量A (t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为 )(tAA 第一章 矢量分析 而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(

3、t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A (t)也可用其坐标表示为 zzyyxxetAetAetAA)()()(其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。 第一章 矢量分析 1.1.2 标量场和矢量场标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内， 除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；

4、 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。 第一章 矢量分析 在研究物理系统中温度、 压力、 密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述， 这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场， 如温度场T(x, y, z)、电位场(x, y, z)等。然而在许多物理系统中， 其状态不仅需要确定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述， 因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。 第一章 矢量分析 标量场(x, y, z)的等值面方程为 .),(constzyx图 1-1 矢量场的矢量线 zzyyxAdAdAdx第一章 矢量分析 例例1-1 求数量场

5、=(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 22)(0)(yxzzyx或 第一章 矢量分析 例例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 第一章 矢量分析 1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导数标量场的方向导数 图 1-2

6、 方向导数的定义 第一章 矢量分析 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)， )()(0MM 的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 )()(lim000MMlMMM第一章 矢量分析 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为 coscoscos0zxxlM 证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数在M0处可微

7、，故 zzyyxxMM)()(0第一章 矢量分析 两边除以，可得 coscoscoszyxzzyyxx当趋于零时对上式取极限，可得 coscoscoszyxl第一章 矢量分析 例例1-3 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222第一章 矢量分析 而 222)(,2,2zyxzuztyuzxxu数量场在l方向的方向导数为 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点M处沿l方向的方向导数 324232132131Ml

8、第一章 矢量分析 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度 coscoscoszyxl标量场(x, y, z)在l方向上的方向导数为 在直角坐标系中，令 ),cos(coscoscoslGGlGlezeyexGeeelzyxzyx第一章 矢量分析 矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢量。 由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G, l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为 Glmax第一章 矢量分析 在标量场(M)中的一点M处，其方向为函数(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场(M)在

9、M点处的梯度，用grad(M)表示。在直角坐标系中， 梯度的表达式为 zyxexexexgrad梯度用哈密顿微分算子的表达式为 grad第一章 矢量分析 设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。 uufufgradvufufgradvuuvvvuugradvvgraduvvugradvuuvuvugradvvgraduuvgradvuvugradvgraduvugraduccucgraducugradcgradc)( )()( )()(1(1)()()()()()(0022或或或或或或第一章 矢量分析 例例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量

10、r=xex+yey+zez的模， 即 ， 证明： 222zyxr. rrrgradr证：证： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrgradrzyx222222因为 第一章 矢量分析 rzzyxzzyxxzrryzyxyzyxyyr222222222222所以 rrrzeyexererzeryerxrgradrzyxzyx)(1第一章 矢量分析 例例1-5 求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：解： 由例1-2知r的梯度为 )(1zyxzeyexerrgradr点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, 2222zyxr 所以r在M点处的梯度为 zxeer

11、gradr2121r在M点沿l方向的方向导数为 lrlrM第一章 矢量分析 而 zyxeeelll323231所以 21322132203121Mlr第一章 矢量分析 例例1-6 已知位于原点处的点电荷q在点M(x, y, z)处产生的电位为 ，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-，求电场强度E。 rq4解：解： rrqrqE144根据f(u)=f(u)u的运算法则， rrrrr2111rrqrrqrrqrqE232441414第一章 矢量分析 1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.3.1 矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来

12、表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为dS，即 ndsdS n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图1-3(a)所示； 第一章 矢量分析 图 1-3 法线方向的取法 第一章 矢量分析 将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分： SSndSAdS如果曲面是一个封闭曲面，则 dSAS第一章 矢量分析 1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度 VdSASV0lim称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度

13、的定义式为 VdSAdivASV0lim第一章 矢量分析 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积， 即 AdivAzAyAxAeAeAeAezeyexAzyxzzyyxxzyx)(AAABABA)()(第一章 矢量分析 1.3.3 散度定理散度定理 VSdSAAdV)1()(niVAdSAiSiiSniSdSAdSAi1niViSAdVVAdSA1)(第一章 矢量分析 例例1-7 已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。 解：解： 21SSSdSrdSrdSr220cosSSrdSdSr3211111HHHdxdy

14、HHdxdyzdxdyydxdyxdydzdSrSSSSS第一章 矢量分析 例例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 ),(42rrrrrzeyerrrqDzy求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见图 1-4)。 图 1-4 例 1-8 图 第一章 矢量分析 解：解： qRRqdSRqDdSdSDSSS222444SdSD由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 第一章 矢量分析 例例1-9 原点处点电荷q产生的电位移矢量 ，试求电位移矢量D的散度。 rrqrrqD3244解：解： 0)( 33434,34,344,4,4452222522522522333

15、333rzyxrqzDyDxDDdivDrxrqrxrqyDrxrqxDrqzDrqyDrqxDerzeryerxqDxxxyxzyxzyx第一章 矢量分析 例例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 VSrdVdSrSdSr解：解： 根据散度定理知 而r的散度为 3zzyyxxr所以 3343433RRdVrdVdSrVVS第一章 矢量分析 1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 cdlFdlFWcosccdlAdlAcos第一章 矢量分析 图 1-5 矢量场的环量

16、第一章 矢量分析 1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度 SdlAcS0limSdlAnrotAcSmax0lim第一章 矢量分析 ArotAxxyyxzxyzzzyyxxzyxeyAxAezAxAexAyAeAeAeAezeyexA)(zyxxyxAAAzyxeeeA第一章 矢量分析 AAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(zzyyxxeAeAeAAzyx22222222222第一章 矢量分析 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 cSdlAdSA)( 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和， 即 此式称为斯托克斯定理或

17、斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。 第一章 矢量分析 例例1-11 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量(见图 1-6)。 图 1-6 例 1-11 图 第一章 矢量分析 解：解： 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。 22202222020222020202)cos2(cos2)cos(sincos)cos2(sin)sin()cos2()cos2(sin)(RdRRdRRdRRdRRdRRdRxdyydxdlAl第一章 矢量分析

18、 例例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解：解： 矢量场A的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)()()()()()(第一章 矢量分析 在点M(1，0，1)处的旋度 zyxMeeeA2n方向的单位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 7177327672nAM第一章 矢量分析 例例 1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 )(4433

19、zyxzeyexerqrrqE求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度E。 第一章 矢量分析 0443333330333zyxzyxerxyryxerzxrxzeryzrzyqrzryrxzyxeeeqE解：解： 第一章 矢量分析 1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系 图图 1-7 圆柱坐标系圆柱坐标系 第一章 矢量分析 zoo2zeeezzeer第一章 矢量分析 dzdlddlddlz,1,1321dzdlhddlhddlhzdzdddldldldVdzddldldSdzddldldSdzddldldSzzzz第一章 矢量分析 哈密顿微分算子的表示

20、式为 zezee1拉普拉斯微分算子 2的表示式为 22222211z第一章 矢量分析 1.5.2 球面坐标系球面坐标系 图图 1-8 球面坐标系球面坐标系 第一章 矢量分析 20oroeeereAeAeAArr第一章 矢量分析 drdlrddldrdlrsin,故拉梅系数分别为 sin, 1321rddlhrddlhdrdlhrddrdrdldldldVrdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrrsinsinsin22第一章 矢量分析 哈密顿微分算子的表示式为 erererrsin11拉普拉斯微分算子 2的表示式为 22222222sin1sinsin1rrrrrr第一章 矢量分析 例例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离rl时，其空间电位的表达式为 cos4),(20rqlr求其电场强度E(r, , )。 解：解： 在球面坐标系中，哈密顿微分算子的表达式为 erererrsin11第一章 矢量分析 erererErsin11因为 0sin42c