圆的面积教学设计

1、圆的面积教学设计【教学内容】义务教育教科书数学（青岛版）六年制六年级上册第五单元信息窗3。【教学目标】1.正确认识圆的面积的含义，理解并掌握圆的面积计算公式，并能正确地计算圆的面积。 2.激发学生参与整个课堂教学活动的兴趣，在“猜想尝试交流改进有据转化发展验证总结应用”的过程中推导圆的面积计算公式，建立数学模型。发展学生的转化思想，极限思想。3.体会研究问题可能经历多次探究，了解刘徽的“割圆术”等圆的面积发展历史，有民族自豪感和开放看世界的情怀。【教学重难点】圆面积计算公式的推导。圆面的剪拼转化及圆面积公式的推导；极限思想的渗透。【教学准备】多媒体课件；每人一把剪刀，2张圆纸片。【教学过程】一

2、、创设情境、提出问题谈话：2008年北京奥运会，我们中国的奥运健儿共打破了43项世界纪录。这是2008北京奥运会闭幕式的中心舞台，读信息，你能提出什么数学问题？信息：圆形中心舞台的直径是20米；其中有一个直径1.6米的圆形升降舞台。预设1：圆形中心舞台的面积是多少？预设2：升降舞台的面积是多少？ 二、积极思考、引发猜想（一）认识圆的面积谈话：今天这节课咱们就来研究圆的面积。谈话：什么是圆的面积？说说看。预设：圆所占平面的大小叫做圆的面积。（课件呈现）【设计意图】基于以往的经验，学生很容易想到“圆的面积是圆所占平面的大小”。所以此处的设计比较简单。（二）基于以往经验探究圆的面积1.初步探索，独立

3、尝试谈话：以前咱们也接触过一些平面图形面积的求法，圆的面积怎么求咱们学过吗？预设：没求过。追问：那是不是就没有办法了呢？有什么好办法？先自己试试看。学生独立尝试，教师巡视发现有代表性的想法。【设计意图】“学生不是空着脑袋进课堂的”。由于在以往的学习中，学生已经多次接触过“将没学过的问题转化成学过的问题来解决”的转化思想，所以对于“圆的面积”的求解一定会有些模糊的初步的想法。教师此处放手让学生自己动手尝试，将自己的设想付诸实践，在此过程中逐步清晰“转化”的思路，同时也能感受到“圆的面积”与以往所学的平面图形面积的不同，聚焦难点，激发进一步研究的愿望。2.展示交流，确定转化思路谈话：同学们一定有些

4、想法，可能也会遇到一些解决不了的困难，没关系，咱们一起交流一下，说不定就能受到启发。谈话：你们是怎么想的？谁来说说？预设： 外切正方形。 内接正方形。 转化成小扇形。在交流中引导学生发现都是运用了转化的方法。3.观察比较：谈话：同样是转化，大家转化的结果有没有哪些有相似之处？预设：前两种都是用画正方形的方法。都是想把圆的面积转化为正方形的面积。不同是一个是在圆外面画正方形，一个是在圆内画正方形。4.确立范围：谈话：这两个正方形的面积等于圆的面积吗？预设：不等于。谈话：具体说说？预设学生会发现：外面的正方形（外切正方形）比圆的面积大，里面的正方形（内接正方形）比圆的面积小。圆的面积最大不会超过外

5、面的正方形，最小不会小于里面的正方形，它的面积范围在大正方形与小正方形之间。5.逐步逼近，体验极限：（1）启发思考谈话：还能更接近吗？（2）举例说明谈话：怎样才能更接近圆的面积？ 预设：继续割。追问：怎么割？指一指。（指名上黑板演示）（3）课件直观演示，引导推想：割成正八边形。【课件展示】谈话：这样我们就把圆形转化成了正八边形。真的更近了还能接近吗？怎么办？预设：继续割。割成正十六边形。（课件演示）谈话：还能不能接近了？ 继续割谈话：同学们想一想，这样不断割下去，可以割多少次？预设：无数次。谈话：如果我们继续割下去，会怎样？预设：多边形的边几乎和圆重合了。（4）引导发现规律：谈话：也就是说我们

6、割的次数越多，所割成的多边形面积就越接近圆的面积。（5）类比延伸：谈话：同样的，从里面画正方形的面积也可以更接近圆的面积。（课件演示）（6）小结提炼：谈话：咱们同学们的这种想法非常符合我国古代数学家“刘徽”的割圆术的想法，是一种无穷逼近的极限思想。（板书 极限思想）谈话：其他方法中是不是也蕴涵着这样的思想呢？我们还会研究。【设计意图】学生在转化中自然想到与以往熟悉的正方形进行联系，通过比较确立了圆的面积范围：“比外切正方形小，比内接正方形大，在两者之间。”体会在圆的面积研究发展过程中是如何一步步逼近圆的面积的；之后，借助课件展示和想象，进一步渗透“割得越多，多边形边数越多越接近圆的面积”的极限

7、思想。6.思路调整，适时点拨（1）谈话：这样的方法能不能进行圆面积的计算？（学生有争议）（2）启发思考谈话：我们刚才自己已经尝试进行了转化，遇到一些困难。这时候我们要静下心来想一想：我们转化的目的是什么？是不是随便转化？转化有没有一定的依据呢？ （3）想一想谈话：圆的面积可能跟什么有关系？预设：半径、直径、圆周率（4）方法指导谈话：是呀，看来我们解决问题除了得有好点子转化，还得有依据的进行转化。【设计意图】本节课中圆形面积的转化对学生来说有一定的难度。借助以往经验的转化后学生会发现不论是转化为正方形还是转化成三角形都有一部分难以处理的弓形面积。此时学生会不知所措，需要进一步的点拨指导。在教师指

8、导下学生思考“是不是随便转化，有没有一定的依据”，同时又考虑“圆的面积可能与什么有关”，引导学生主动将转化的活动与探求面积计算方法的目的结合起来，主动联系半径的重要作用，有据转化，进一步发展学生的转化思想，提高了学生的逻辑思维能力。三、操作验证、总结公式1.基于课上经验开展有据转化（1）探究活动谈话：现在的你跟刚才的你可不一样了，想不想带着你的新经验，自己动动手，折一折，剪一剪，再转化一次试试？有结果后在小组里交流一下。学生自主活动。活动小提示：我这样剪的依据是剪一剪，我要把圆形转化成现在的剪法能转化成想要的图形吗？能接近想要图形吗？还能更接近吗？（2）展示交流谈话：有结果了吗？哪个小组来说一

9、下？你们是怎么剪的？怎么选的？预设1（四分法）：我们将圆形剪成了4个大小相等的扇形。又拼成了一个平行四边形。教师引导学生发现：拼成的图形是否标准的长方形（平行四边形），同时肯定经过新的剪拼法已经很接近我们熟悉的图形了。预设2（八分法）：我们将圆形剪成了8个大小相等的扇形，然后拼起来。教师引导观察：分成8份比分成4份拼成的图形更接近标准的平行四边形。（3）引导想象谈话：还可以更像吗？分成32份，64份，128份还可以继续分吗？可以分多少次？推理：分的份数越多，拼成的图形就越接近标准长方形。谈话：我们操作的次数是有限的，但是我们的想象却是无限的，可以不断地想下去。（4）课件展示，验证猜想：谈话：我

10、们来看一下，事实跟你们的想象是不是一样，注意观察拼成的图形发生了怎样的变化。课件演示：8份，16份，32份谈话：继续分下去，会怎样？谈话：你发现了吗，拼成的图形发生了怎样的变化？预设1：底边的弧看起来就接近直的线段了。预设2：图形就更像长方形了。底边的弧线越来越直了。（5）引导辨析谈话：是真的变直了吗？预设：不是，只是随着分数的增多越来越不明显了，可以忽略不计了。追问：图形的形状呢？预设：越来越接近长方形了。（6）小结谈话：这么说来圆形经过我们无数次的剪、拼，就可以用转化成长方形。2.联系比较，推导公式（1）比较谈话：转化前后什么变了，什么没变？预设：形状变了，面积没变。谈话：转化后的图形各部

11、分与之前的圆形有怎样的联系？预设：转化后长方形的长是圆形周长的一半，宽是圆的半径。（2）课件直观演示：长方形的长是圆的周长的一半，宽是圆的半径。谈话：宽是圆的半径吗？结合课件帮助理解：转化后的图形虽然看起来是长方形，但是小圆弧仍然是存在的，转化后的宽就是之前圆的半径。（3）推导公式：谈话：我们可以用解决长方形（平行四边形）面积的计算方法来求圆的面积。追问：长方形的面积怎么求？预设：长方形的面积=长×宽。谈话：长方形的长是圆周长的一半，那么宽呢？是圆的半径。谈话：圆周长的一半我们用来表示，半径呢？预设：，也就是，等于r；再乘r，得r。长方形面积= 长 × 宽圆形面积=圆周长的

12、一半 × 圆的半径 = × r = × r = r × r = r（4）提炼方法：谈话：也就是说，我们要求圆的面积只要知道什么就行了？预设：圆的半径。谈话：之前我们猜测圆的面积与半径有关，得到验证了吗？预设：圆的面积是半径平方的倍。（5）回顾质疑谈话：同学们静静的回顾一下，刚才我们是怎样得到圆的面积的计算公式的。预设：我们把圆沿半径剪成若干个小扇形，拼成近似的长方形，长方形的长是圆周长的一半，长方形的宽是圆的半径，经过化简得出S=r。谈话：对于刚才这个过程，同学们有问题吗？【设计意图】极限思想的渗透是本节课的重要内容。“探究提示”指导学生思考“现在的剪法

13、能转化成想要的图形吗？能接近想要图形吗？还能更接近吗？”这样学生在操作活动中，边做边思，边想象边进一步尝试，认识到“剪的份数越多，拼成的图形越接近标准的长方形”；同时借助直观课件演示将抽象的问题直观呈现给学生，“观察图形发生了怎样的变化” 使学生发现“弧线越来越不明显”“拼成的图形越来越接近长方形”，验证猜想，再一次发展极限思想。“找一找拼成的长方形与原来圆各部分有怎样的联系”，为学生进一步借助长方形面积公式推导圆面积公式做好铺垫，整个过程中，学生的空间观念也得到发展。四、应用公式，解决问题1.谈话：有了圆的面积公式，刚才我们提的问题能解决了吧？学生独立解决“圆形中心舞台的面积是多少？”问题。

14、指名说。完成情况反馈。2.练习：自选一道独立完成。结果反馈。【设计意图】数学源于生活，又服务于生活。把本节课所学知识应用到实际生活中，将数学与生活联系起来，让学生体会到数学是有用的，发展学生的应用意识。五、圆的面积发展历史介绍1.资料介绍：其实，今天我们研究的圆的面积问题，是古代三大几何难题之一：化圆为方。刘徽到底是怎样研究割圆术的呢？我们一起来看看。相关介绍刘徽的割圆术 开普勒与圆的面积公式2.谈话：谈话：这时，距离刘徽的割圆术时间已经过去了一千多年。谈话：咱们同学们在为自己祖国古老数学文明感到荣耀的同时，也要知道一个数学结论的得出可能是全世界数学家不断研究的结果，咱们也要敞开胸怀，以一种开

15、放的眼光来看世界。【设计意图】肖川教育的理想与信念中这样说：“先进的教学理念应该是把教学过程视为：知识的构建+情感丰富、细腻的纯化+态度与价值观的形成和完善以及思想的升华+智慧能力的培养。”培养“视野开阔、才思敏捷、具有雄浑浩博的哲学气质的人才。”在经历了观察、操作、想象、推理、归纳、应用等多种方式的探索后，对学生进行圆的面积研究发展的历史，有助于学生从中找到“自己的数学”与数学知识之间的联系，学生的认识向理论层次发展。同时，培养学生的民族自豪感和开放看世界的情怀。六、回顾反思谈话：今天这节课我们通过自己先猜想尝试确定了转化的思路，在交流中发现困难进行改进，明白了我们不但要转化，而且要有据转化，经过发展验证得出了圆面积的计算公式，总结应用，解决了我们提出的问题。自己经过克服困难研究出来的结论更让我们觉得有收获，是不是？说说这节课你有什么收获？（学生自由回答）学生可能谈到： 知识：怎样计算圆的面积方法：知道了圆的面积计算公式是怎么推倒来的，学会了极限的思想，化圆为方的转化方法感受：数学想象能解决我们动手操作解决不了的问题这节课马上就要结束了，圆的面积转化是不是只能将小扇形剪拼成长方形这一种方法？还有没有其他方法？之前