辽宁省大连市高考数学一模试卷文科解析

1、2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=1+2i，则=（）A12iB5+4iC1D22已知集合A=x|（x3）（x+1）0，B=x|x1，则AB=（）Ax|x3Bx|x1Cx|1x3Dx|1x33设a，b均为实数，则“ab”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4直线4x3y=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长为（）A6B3CD5下列命题中错误的是（）A如果平面外的直线a不平行于平面内不存在与a平行的直线B如果平

2、面平面，平面平面，=l，那么直线l平面C如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6已知数列an满足an+1an=2，a1=5，则|a1|+|a2|+|a6|=（）A9B15C18D307在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A6B4C2D08函数f（x）=的图象大致为（）ABCD9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BCD10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD11若关于x的方程2sin（2x+）=m在0，上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A（1，）B0，2C1，2）D1，12已

3、知定义在R上的函数f（x）为增函数，当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A（，0）BC（，1）D（1，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为14若函数f（x）=exsinx，则f'（0）=15过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为16我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之

4、剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，ABC的面积为，求ABC的周长18某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）8

5、0，90）90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）求四棱锥PABCD外接球的体积20已知函数f（x）=axlnx（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对x1，+），不等式f（x）a

6、（2xx2）恒成立，求实数a的取值范围21已知椭圆Q：+y2=1（a1），F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点（1）求椭圆Q的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，0），求|AB|的最小值四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C1的直角坐标方

7、程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲23已知a0，b0，函数f（x）=|x+a|+|2xb|的最小值为1（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2btab恒成立，求实数t的最大值2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z=1+2i，则=（）A12iB5+4iC1D2【考点】复数的基本概念【分析】由已知直接利用共轭复数的概念得答案【解

8、答】解：z=1+2i，=12i故选：A2已知集合A=x|（x3）（x+1）0，B=x|x1，则AB=（）Ax|x3Bx|x1Cx|1x3Dx|1x3【考点】交集及其运算【分析】求出两个集合，然后求解交集即可【解答】解：A=x|（x3）（x+1）0=x|1x3），B=x|x1，则AB=x|1x3，故选：D3设a，b均为实数，则“ab”是“a3b3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】判断命题的真假：若ab则a3b3是真命题，即aba3b3若a3b3则ab是真命题，即a3b3ab【解答】解：若ab则a3b3是真命题

9、，即aba3b3若a3b3则ab是真命题，即a3b3ab所以ab是a3b3的充要条件故选：C4直线4x3y=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦长为（）A6B3CD【考点】直线与圆的位置关系【分析】利用弦长公式|AB|=2，即可得出【解答】解：假设直线4x3y=0与圆（x1）2+（y3）2=10相交所得弦为AB圆心到直线的距离d=1，弦长|AB|=2=2=6故选：A5下列命题中错误的是（）A如果平面外的直线a不平行于平面内不存在与a平行的直线B如果平面平面，平面平面，=l，那么直线l平面C如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面D一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个

10、平面相交【考点】命题的真假判断与应用【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案【解答】解：如果平面外的直线a不平行于平面，则a与相交，则内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：，=a，=b，=l，在内取一点P，过P作PAa于A，作PBb于B，由面面垂直的性质可得PAl，PBl，则l，故B正确；如果平面平面，那么平面内的直线与平面有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确故选：C6已知数列an满足an+1an=2，a1=5，则|a1|+|a2|+|a6|=（）A9B15C18D30【考点】数列的求和【分析】利

11、用等差数列的通项公式与求和公式可得an，Sn，对n分类讨论即可得出【解答】解：an+1an=2，a1=5，数列an是公差为2的等差数列an=5+2（n1）=2n7数列an的前n项和Sn=n26n令an=2n70，解得n3时，|an|=ann4时，|an|=an则|a1|+|a2|+|a6|=a1a2a3+a4+a5+a6=S62S3=626×62（326×3）=18故选：C7在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A6B4C2D0【考点】简单线性规划【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y的最优解，然后求解z最大值

12、即可【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6故选：A8函数f（x）=的图象大致为（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x0，xR，当x0时，函数f（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x（0，1）时，函数是减函数，x1时，函数是增函数，并且f（x）0，选项B、D满足题意当x0时，函数f（x）=0，选项D不正确，选项B正确故选：B9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A4BC

13、D【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积故选D10运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）ABCD【考点】程序框图【分析】由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x22在区间1，2上的零点，且精确到0.3；模拟运行过程，即可得出结果【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x22在区间1，2上的零点，且精确到0.3；模拟如下；m=时，f（1）f（）=（1）×

14、0，b=，|ab|=d；m=时，f（1）f（）=（1）×（）0，a=，|ab|=d；程序运行终止，输出m=故选：B11若关于x的方程2sin（2x+）=m在0，上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A（1，）B0，2C1，2）D1，【考点】正弦函数的图象【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x0，上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x0，时，2x+，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x0，上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在

15、0，上有两个不等实根，得11m2m的取值范围是1，2）故选：C12已知定义在R上的函数f（x）为增函数，当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A（，0）BC（，1）D（1，+）【考点】函数单调性的性质【分析】根据题意，分析可得若不等式f（x1）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立，则有，解可得实数x1的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，若f（x1）+f（0）f（x2）+f（1），则有f（x1）f（x2）f（1）f（0），又由x1+x2=1，则有f（x1）f（1x1）f（1）f（0），又由函数f（x）为增函数，则不等式f（x1

16、）+f（0）f（x2）+f（1）恒成立可以转化为，解可得：x11，即实数x1的取值范围是（1，+）；故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为95【考点】众数、中位数、平均数【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50=90×30+20x，解得：x=95，故答案为：9514若函数f（x）=exsinx，则f'（0）=1

17、【考点】导数的运算【分析】先求f（x）的导数，再求导数值【解答】解：f（x）=exsinx，f（x）=（ex）sinx+ex（sinx）=exsinx+excosx，f'（0）=0+1=1故答案为：115过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：经过双曲线=1（a0，b0）的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y=x平行，=

18、1，解得e2=2，离心率e=故答案为：16我国古代数学专著孙子算法中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数128【考点】数列的应用【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即

19、70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233105×2=23或105k+23（k为正整数）由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：128三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC的内角，f（A）=4，BC=3，ABC的面积为，求ABC的周长【考

20、点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】（1）根据向量的坐标运用求解，函数f（x）解析式，化解即可求函数f（x）的最小值及此时x的值（2）由f（A）=4，BC=3，余弦定理和ABC的面积为建立方程组，求解b，c的长度可得ABC的周长【解答】解：（1）点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，=（，1），=（cosx，1sinx）函数f（x）=f（x）=3cosx+1sinx=42sin（x+）当x=，kZ时，f（x）取得最小值2；（2）f（A）=4，即42sin（A+）=4可得：A+=k，kZ0AA=又BC=3，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，即9=（b+

21、c）2bc又ABC的面积为，即bcsinA=，可得bc=3，那么b+c=2故得ABC的周长为：a+b+c=2+318某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数4575906030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，

22、从评分不低于80分的用户中任意取2名用户，求2名用户评分小于90分的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】（）作出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分分的人数为2，记为a，b，从6人人任取2人，利用列举法能求出两名用户评分都小于90分的概率【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大（）运用分层抽

23、样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为A，B，C，D，评分不小于90分分的人数为2，记为a，b，从6人人任取2人，基本事件空间为：=（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab），共有15个元素其中把“两名用户评分都小于90分”记作M，则M=（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共有6个元素所以两名用户评分都小于90分的概率为p=19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AD=AP=2，AB=

24、2，E为棱PD中点（1）求证：PD平面ABE；（2）求四棱锥PABCD外接球的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出PAAB，ABAD，从而AB平面PAD，进而ABPD，再由AEPD，能证明PD平面ABE（II）四棱锥PABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由此能求出四棱锥PABCD外接球的体积【解答】证明：（1）PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB，又底面ABCD为矩形，ABAD，PAAD，又PA平面PAD，AD平面PAD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD，AD=AP，E为PD中点，AEPD，AEAB=A，AE平面A

25、BE，AB平面ABE，PD平面ABE解：（II）四棱锥PABCD外接球球心是线段BD和线段PA的垂直平分线交点O，由已知BD=4，设C为BD中点，AM=2，OM=AP=1，OA=3，四棱锥PABCD外接球的体积是=3620已知函数f（x）=axlnx（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对x1，+），不等式f（x）a（2xx2）恒成立，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论；（2）通过转化可知a（x2x）lnx对x1，+）恒成立，分别设y1=a（x2

26、x），y2=lnx，利用x1，+）可知a0再记g（x）=ax2axlnx，通过举反例可知当0a1时不满足题意进而转化为函数的最值问题，利用当x1时lnxx1恒成立放缩即得结论【解答】解：（1）设切点为M（x0，f（x0），直线的切线方程为yf（x0）=k（xx0），f（x）=a，k=f（x0）=a，即直线的切线方程为yax0+lnx0=（a）（xx0），又切线过原点O，所以ax0+lnx0=ax0+1，由lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e（2）不等式axlnxa（2xx2）恒成立，等价于a（x2x）lnx对x1，+）恒成立设y1=a（x2x），y2=lnx，由于x1，+），且当a

27、0时y1y2，故a0记g（x）=ax2axlnx，则当0a1时，g（3）=6aln30不恒成立，同理x取其他值不恒成立当x=1时，g（x）0恒成立；当x1时，则a恒成立，等价于问题转化为求h（x）=当x1时的最大值又当x1时，lnxx1x（x1），即h（x）=1（x1），综上所述：a121已知椭圆Q：+y2=1（a1），F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点（1）求椭圆Q的方程；（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，0），求|AB|的最小值【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的

28、标准方程【分析】（1）由题意可知c=b=1，由此能求出椭圆的方程（2）设直线l方程为y=k（x+1），（k0），代入，得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，由此利用中点坐标公式、韦达定理、线段垂直平分线方程、弦长公式，结合已知条件能求出|AB|的最小值【解答】（本小题满分12分）解：（1）椭圆Q：+y2=1（a1），F1，F2分别是其左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与椭圆Q有且仅有两个交点，由题意可知c=b=1，a=，故椭圆的方程为（2）设直线l方程为y=k（x+1），（k0），代入，得（1+2k2）x2+4k2x+2k22=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），=，AB的垂直平分线方程为yy0=，令y=0，得，0k2|AB|=|x2x1|=2，|AB|的最小值|AB|min=四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为=4cos，直线l的参数方程为（t为